湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高二上学期10月月考数学试卷 一、单选题 1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，），则“，，”是“P，A，B，C四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 3．设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C．2 D． 6．设，，，则（        ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是 A．三棱锥的正视图面积是定值 B．异面直线所成的角可为 C．三棱锥的体积大小与点在线段的位置有关 D．直线与平面所成的角可为 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法不正确的是（   ） A．平面上存在定点使得的长度为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为 二、多选题 9．已知直线，圆，则下列结论正确的是（    ） A．直线l与圆C恒有两个公共点 B．圆心C到直线l的最大距离是 C．存在一个m值，使直线l经过圆心C D．当时，圆C与圆关于直线l对称 10．已知为圆：的弦，且点为的中点，点C为平面内一动点，若，则（    ） A．点C构成的图象是一条直线 B．点C构成的图象是一个圆 C．OC的最小值为2 D．OC的最小值为3 11．如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（    ） A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C．当时，点M的轨迹长度为 D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 三、填空题 12．已知函数，且，则函数的值是 ． 13．若，，，，则、、、由小到大的顺序为__________． 14．已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 四、解答题 15．在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长． 16．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程； (3)的外接圆方程． 17．如图，在四棱锥中，底面，，，，. (1)证明：平面； (2)求PB与平面所成角的正弦值. 18．实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求： (1)的最大值和最小值； (2)2x+y的最大值和最小值. 19．已知直线与圆交于两点． (1)求出直线恒过定点的坐标； (2)用点斜式写出直线方程，并求直线的斜率k的取值范围； (3)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B B D D D AD BC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】利用空间向量的共面定理进行推理可得结果. 【详解】当，，时， 即则有 又因为,所以， 根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面； 反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理， 设， 即, 即, 即，，， 因为，所以不止这一组， 故“，，”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件. 故选:A. 2．B 【分析】由直线方程得出斜率，再由斜率得直线倾斜角. 【详解】由可得直线斜率， 又， 所以. 故选：B 3．D 【分析】根据题意建立数据平均值与方差的等量关系，进而得到关于的函数关系，再求最值即可. 【详解】设数据平均数为，方差为，则，. 因为新数据的平均数比方差大，所以，可得， 则. 由，可得， 所以当时，取最大值，且的最大值为. 故选: D. 4．B 【分析】将利用二倍角公式及辅助角化为同名函数，然后根据求解即可. 【详解】, , 最小正周期. 故选：B 5．B 【分析】先求出，再求出，最后可求. 【详解】因为，故， 因为，故，而， 故，所以， 故， 所以， 故选：B 6．D 【分析】计算得到，，，得到大小关系. 【详解】，，. 故. 故选：D 7．D 【分析】由正视图三角形的底与高都是定值判断；利用空间向量夹角余弦公式判断；根据底面积确定高不确定判断，结合排除法可得结果. 【详解】 对于，正视图三角形的底边为的长，高为正方体的高，故棱锥正视图的面积不变，故正确，排除； 对于，分别以为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系， 设正方体边长为1，， ， ，解得， 异面直线所成的角可为，故正确，排除； 对于，三棱锥的底面积一定，高大小与点在线段的位置有关，所以体积的大小与点在线段的位置有关，故正确，排除，故选D. 【点睛】本题综合考查三视图、棱锥的体积、异面直线所成的角，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 8．D 【分析】确定动点的轨迹，结合轨迹判断A、D；结合基本不等式判断B、C. 【详解】由直线方程可得，因为，所以两条动直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆. 由，知圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 对于A：若定点为圆心，则的长度为定长，即圆半径，A正确； 对于B：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：，当且仅当时取等号，C正确； 对于D：点的轨迹是以为直径的圆，所以点到直线的距离的最大值是圆的半径，D错误. 故选：D. 9．AD 【分析】由直线系方程可得直线所过定点，由定点在圆内判定A；由圆心与定点间的距离判断B；由直线系方程说明C错误；由两圆半径相等，圆心关于直线对称判定D． 【详解】解：由直线，即， 得，解得，则直线过定点，， 圆化为，圆心坐标为， ，点在圆内部，直线与圆恒有两个公共点，故A正确； 圆心到直线的最大距离为，故B错误； 直线系方程不包含直线（无论取何值）， 而经过，的直线只有过，故C错误； 当时，直线为，圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为1，两圆的圆心关于直线对称，半径相等， 则当时，圆与圆关于直线对称，故D正确． 故选：AD． 10．BC 【分析】求出，将已知转化为向量关系，化简可得即可判断. 【详解】因为点为的中点，，， 所以, ，， 则, 即, 因为，则可得，可解得， 所以点C构成的图象是以M为圆心，3为半径的圆，故A错误，B正确； 所以可得OC的最小值为，故C正确，D错误. 故选：BC. 11．BC 【分析】根据正方体的侧面展开图，可判定A错误；连接，得到过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形，可判定B正确；取的中点，连接，证得平面，得到，得到点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在正方形内的部分，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据，求得点的轨迹方程，可判定D错误. 【详解】对于A中，如图所示，将正方形沿着展在平面， 在直角中，可得， 将沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，所以A错误； 对于B中，如图所示，连接， 因为为的中点，可得， 因为，所以， 所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形， 其中，且，可得高为， 可得等腰梯形的面积为， 所以B正确； 对于C中，取的中点，连接，因为为的中点，所以， 因为平面，可得平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在正方形内的部分， 如图所示，在直角中，由，可得， 所以，可得， 即当时，点M的轨迹长度为，所以C正确； 对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，设，其中， 则， 因为与垂直，可得，即， 令，可得；当，可得， 即直线与正方形的边的交点为， 可得，所以D不正确. 故选：BC. 12． 【分析】令，可证得为奇函数；利用求得，进而求得. 【详解】令     为奇函数     又     本题正确结果： 【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系. 13． 【分析】先用复数的模长公式求出模长，再比较即可 【详解】， 故答案为： 14．2 【分析】先分别对直线进行变形，求出每条直线恒过的定点，再利用两点间距离公式求出两定点间的距离，该距离即为两直线间的最大距离，最后利用两定点的连线与的垂直关系求出直线的斜率，进而求出． 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 15．(1) (2) 【分析】（1）由向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解； （2）由面积公式求出，即可得到，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以，由正弦定理可得，因为， 所以，又，所以. （2）因为的面积为，所以， 又，，所以， 所以，在中 ， 所以. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中点坐标公式可得，又，从而由截距式即可写出直线方程； （2）由B、C两点坐标可得直线的斜率，进而可得直线的垂直平分线的斜率，然后由点斜式即可写出直线方程； （3）设的外接圆方程为，将，，代入圆的方程，解方程组即可得答案. 【详解】（1）解：设边的中点的坐标为，则，， 所以边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即； （2）解：直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率， 由（1）知，中点的坐标为， 由点斜式得直线的方程为，即； （3）解：设的外接圆方程为，将，，， 代入方程得，解得，，， 所以的外接圆的方程为． 17．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 由，，，得， 而，则，又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 又，设PB与平面成角， ， 所以PB与平面所成角的正弦值为. 18．(1)最大值为0，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，当过点A的直线与圆相切时，斜率取到最值. （2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，截距取到最值. 【详解】（1）由题意知，圆的圆心坐标为(-1，2)，半径为2， 表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率， 设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4）， 即kx﹣y﹣4k＝0，由2，k＝0或， 结合图形知，的最大值为0，最小值为. （2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距， 当直线2x+y＝t和圆相切时，有2，∴t＝±， 故2x+y的最大值为，最小值为. 19．(1)； (2)；； (3)为定值. 【分析】 （1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标. （2）由（1）结合直线的点斜式写出方程，再利用圆心到直线距离小于半径求解即可. （3）设出直线的方程，与圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式求解作答. 【详解】（1） 将直线方程整理为：， 令，解得：，所以直线恒过定点. （2） 直线斜率为，由（1）得，直线的点斜式方程为：，即， 圆：的圆心，半径， 因为直线与圆交于两点，则圆心到直线距离，即，解得：， 所以直线斜率的取值范围为. （3） 设，，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，即有， 则直线，令直线方程为， 由得：，由（2）知：，，， 因此， 所以为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $