精品解析：吉林省吉林市桃源路亚桥中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度上学期阶段质量检测考试九年级数学科试题 本试卷共6页，满分120分答题时间：120分钟 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 已知的半径为6，若点在内，则点到圆心的距离可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ） A. AB、AC边上的高所在直线的交点 B. AB、AC边的垂直平分线的交点 C. AB、AC边上的中线的交点 D. ∠BAC与∠ABC角平分线的交点 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3 5. 如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若a 是方程的一个根，则代数式____． 8. 把抛物线向左平移2个单位．再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为_______． 9. 根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是__________． x 0 0.5 1 2 1 2 10. 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与A是对应点，点B'与B是对应点，点B'落在边AC上，连接A'B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A'B长为_____． 11. 如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接.若，则的度数为___________． 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 解方程： 13. 若二次函数的开口向下，求的值． 14. 如图，绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，求度数． 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 16. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，，水嘴高． （1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC． 17. 中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到万人． （1）求参观人数的月平均增长率． （2）按照这样的增长方式，请你估算出4月份参观人数是多少？ 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的，并直接写出点运动的路径的长度． 19. 如图，点，在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1）________；________； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出当时，的取值范围． 20. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 21 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 22. 【特例感知】函数也可记作， 列出表格：表1： … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 函数 表2 … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 … 画出图象： 形成概念】观察图表，思考并填写以下问题： （1）这两个函数图象都关于_____对称； （2）从列表可以看出：当自变量取一对相反数时，相应两个函数值相等． 具备以上特征的函数称为偶函数． 【知识应用】 （3）已知函数是偶函数，如图所示为函数图象的一部分，请补全图象并求出函数解析式． （4）过点作直线平行于轴，与函数图象的交点从左到右依次为点． ①观察在点至点之间的部分对应的函数图象， 直接写出随增大而增大时取值范围和此段函数的最大值与最小值； ②设为函数图象上一点，其横坐标为，连接，．直接写出的面积不小于1时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段质量检测考试九年级数学科试题 本试卷共6页，满分120分答题时间：120分钟 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知的半径为6，若点在内，则点到圆心的距离可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 已知的半径为，若点在内，则，据此即可得到答案． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， ∴点到圆心的距离可能是，选项A符合题意，B、C、D不符合题意， 故选：A． 3. 从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ） A. AB、AC边上的高所在直线的交点 B. AB、AC边的垂直平分线的交点 C. AB、AC边上的中线的交点 D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，据此可得出答案． 【详解】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，而外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆，掌握三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，熟记一元二次方程有实数根时是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，解不等式求出的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 选项A、B、D中值均大于1，不符合；选项C符合条件， 故选：C． 5. 如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到四边形共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 【详解】由题意得到，作出圆，如图所示， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 故选B． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 6. 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，以及根据二次函数的图像判断式子符号，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据二次函数的图像与性质，逐个判断，即可解题． 详解】解：①由图像可知，二次函数开口向下， 则， 故①错误； ②由图像可知，二次函数与轴有个交点， 则， 故②正确； ③当时，随增大而增大， 故③错误； ④由图知，当时，， 故④正确； 综上所述，正确的结论有2个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若a 是方程的一个根，则代数式____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值．把代入方程即可． 【详解】解：∵a 是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2 8. 把抛物线向左平移2个单位．再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为： ， 故答案为：． 9. 根据下列表格对应值：可求得关于的方程的解是__________． x 0 0.5 1 2 1 2 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的解，关键是观察表格，确定时x的值． 从表格中的数据可以看出，当时，；当时，，则关于x的方程的解是：或． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴关于x的方程的解是：或， 故答案为：或． 10. 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与A是对应点，点B'与B是对应点，点B'落在边AC上，连接A'B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A'B的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°，可得∠A'CB＝90°，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C， ∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45° ∴∠A'CB＝90° ∴A'B＝ 故答案为 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 11. 如图，为切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接.若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质得出∠OAB=90°，由直角三角形的性质得出∠AOB=90°-∠ABO=54°，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠OAD，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】∵AB为⊙O的切线， ∴∠OAB=90°， ∵∠ABO=36°， ∴∠AOB=90°-∠ABO=54°， ∵OA=OD， ∴∠ADC=∠OAD， ∵∠AOB=∠ADC+∠OAD， ∴∠ADC=∠AOB=27°； 故答案为：27°． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共11题，共87分） 12. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ，． 13. 若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知，，求得的值即可． 【详解】解：二次函数的开口向下， ，， 解得，， ． 14. 如图，绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，求度数． 【答案】 【解析】 【分析】先由直角三角形两锐角互余求出，再由旋转性质得到，，然后由等腰直角三角形性质得到，再由外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，则，， 由旋转性质可得，， 在中，，，则， 是的一个外角， ， 则． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余、旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、外角性质等知识，熟记与三角形角度相关知识是解决问题的关键． 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？” 【答案】CD=26寸． 【解析】 【分析】连接OA，由题意知CD过点O，且CD⊥AB，AE=BE=AB=5（寸），设圆形木材半径OA的长为x，可知OE=x-1，根据OA2=OE2+AE2列方程求解可得． 【详解】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10， ∴AE=BE=AB =5（寸）， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x ∵DE=1， ∴OE=x-1， 在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2 ， 解得：x=13 所以CD=26（寸）． 故答案为CD=26寸． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键． 16. “水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，，，水嘴高． （1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）根据题意可得抛物线的解析式为，将代入，即可求解； （2）令，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵． ∴， 把代入得： ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：令， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴点， ∴． 17. 中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到万人． （1）求参观人数的月平均增长率． （2）按照这样的增长方式，请你估算出4月份参观人数是多少？ 【答案】（1） （2）万人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意建立方程求出增长率是解题的关键． （1）设参观人数的月平均增长率为x，根据1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到万人建立方程求解即可； （2）用3月份的参观人数加上4月份在3月份的基础上增加的参观人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：设参观人数的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：参观人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：万人， 答：估算4月份参观人数是万人． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的，并直接写出点运动的路径的长度． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解， 【解析】 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，解题的关键是掌握旋转变换的性质，熟记弧长公式l． （1）利用中心对称变换性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可作出图形，再利用勾股定理求出，最后利用弧长公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求，则点的坐标； 【小问2详解】 解：如图所示： ∵， ∴点在旋转过程中经过的路径长． 19. 如图，点，在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1）________；________； （2）求的面积； （3）观察图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）将点代入求出a的值，再将点代入求解即可； （2）作轴于点E，轴于点F，根据割补法求解即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ， 解得：， ， 当时，； 【小问2详解】 解：作轴于点E，轴于点F， ，， ， ； 【小问3详解】 解：对于抛物线， ∵， ∴当时，y有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 20. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 21 综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 22. 【特例感知】函数也可记作， 列出表格：表1： … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 函数 表2 … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 … 画出图象： 【形成概念】观察图表，思考并填写以下问题： （1）这两个函数图象都关于_____对称； （2）从列表可以看出：当自变量取一对相反数时，相应两个函数值相等． 具备以上特征的函数称为偶函数． 【知识应用】 （3）已知函数是偶函数，如图所示为函数图象的一部分，请补全图象并求出函数解析式． （4）过点作直线平行于轴，与函数图象的交点从左到右依次为点． ①观察在点至点之间的部分对应的函数图象， 直接写出随增大而增大时的取值范围和此段函数的最大值与最小值； ②设为函数图象上一点，其横坐标为，连接，．直接写出的面积不小于1时的取值范围． 【答案】（1）轴；知识应用（3）；（4）①或；此段函数的最大值为；最小值为；②或或或或 【解析】 【分析】形成概念（1）由函数图象即可得到答案； 知识应用（3）根据偶函数图象性质补全图象，再由待定系数法及函数对称性确定函数解析式即可得到答案； （4）①根据题意，作出图象，数形结合即可得到答案；②由点的横坐标为，分情况得到，数形结合得到，再由的面积不小于1，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，这两个函数图象都关于轴对称， 故答案为：轴； （3）由形成概念可知，偶函数的图象关于轴对称，补全图象，如图所示： 当时，设解析式为， 将代入可得， 解得，即当时，； 函数图象关于轴对称， 当时，， 综上所述，； （4）如图所示： 当时，，则时，，解得或； 当时，，则时，，解得或； ①如图所示： 当随增大而增大时的取值范围是或； 此段函数的最大值为；最小值为； ②如图所示： 点的横坐标为， 当时，，则；当时，，则； 则当时，， ，则或， 解得或或， 即或或； 当时，， ，则或， 解得或或， 即或或； 综上所述，的面积不小于1时的取值范围是或或或或 ． 【点睛】本题考查函数图象与性质，涉及函数图象对称性、待定系数法求函数解析式、对称性求函数解析式、求直线与二次函数图象交点坐标、解一元二次方程、函数图象性质、平面直角坐标系三角形面积、绝对值不等式等知识，数形结合，熟练掌握二次函数相关题型解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $