精品解析：辽宁省本溪市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度（上）八年级期中检测 数学试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 5. 已知点在第四象限，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 9. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 4的平方根是_______． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 14. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 15. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长（小于）为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点F，作射线；④以点A为圆心，以长为半径画弧，交射线于H．根据以上作法，如果，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； （3）在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 18. 为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 19. 如图，点在第一象限，且，点A的坐标为．设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）若，求P点坐标． 20. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度； 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中BC的长度 1 图②中BD的长度 5 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． （2）如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）． 21. 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； （2）图中a= ，b= ，c= ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ． 23. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）八年级期中检测 数学试卷 考试时间：100分钟 满分：120分 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】解：A、3.14159是分数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是有理数，故该选项不符合题意； C、是开方开不尽的数，故该选项符合题意； D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根．解题关键在于掌握运算法则．根据算术平方根的定义对A、B、D进行判断；根据立方根的定义对C进行判断． 【详解】解：A．，所以选项A错误； B．，所以选项B错误； C．，所以选项C正确； D．，所以选项D错误； 故选：C． 4. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式逐一判断选项，即可解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误； 当，可得，解得， 图象与x轴交于点，故B错误； 函数值y随自变量x的增大而增大， 当时，，故D错误， 故选：A． 5. 已知点在第四象限，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据各象限点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：A、在第四象限，故A选项符合题意； B、在第一象限，故B选项不符合题意； C、在第二象限，故C选项不符合题意； D、在第三象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 6. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意； B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选:A． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：B． 8. 如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理可解得，然后根据三角形面积公式计算求解即可． 【详解】解：过作于点，如下图， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积为， ∴，即， 解得． 故选：C． 【点睛】本通主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，正确作出辅助线是解题关键． 9. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 12. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长（小于）为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点F，作射线；④以点A为圆心，以长为半径画弧，交射线于H．根据以上作法，如果，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质、勾股定理和基本作图，解题的关键是通过作图得出角的关系和线段长度关系，再利用等腰直角三角形性质与勾股定理求解． 先判定和为等腰直角三角形，结合作图得出，再用勾股定理列方程求解． 【详解】如图，过点作，交延长线于点，连接， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由作图可知： ， 是等腰直角三角形， ， （负值舍去）． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的加减法计算； （2）先算二次根式的乘法，再根据二次根式的加减法计算； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可； （4）先算乘方，并去掉绝对值，然后去掉括号，再合并同类二次根式. 【小问1详解】 解：； =； 【小问2详解】 解：； ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：． ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； （3）在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） （3）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据题意可得直线l即为直线，再根据轴对称的性质可得点C和点到直线l的距离相等，且两点的纵坐标相同，据此求解即可； （3）根据，即可得当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 18. 为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】（1） （2）该户这一年的燃气费为1147元 （3）该户去年一年的用气量为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【小问1详解】 解： 由表格可知，当时，． 【小问2详解】 解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． 【小问3详解】 解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 19. 如图，点在第一象限，且，点A的坐标为．设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）若，求P点坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合、求函数值和自变量的值，根据题意正确求出S关于x的函数解析式是关键． （1）根据题意得到，，再利用三角形面积公式即可求出S关于x的函数解析式； （2）根据求出，再得到即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解： 点A的坐标为， 【小问2详解】 当时， 20. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度； 第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中BC的长度 1 图②中BD的长度 5 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． （2）如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）旗杆的高度为12米； （2）该同学前进的距离的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，设旗杆的高度为米，即可求解； （2）过点作于点，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题知，，，米 在中，； 由勾股定理得：， 设旗杆的高度为米，则米， ， 解得：， 所以旗杆的高度为12米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， 由条件可知四边形是矩形，米， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ； 故该同学前进的距离的长为米． 21. 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； （2）图中a= ，b= ，c= ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】（1）1200，60 （2）900，800，15 （3）y =-20x+1200（15≤x≤20） （4）8分钟，分钟 【解析】 【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【小问1详解】 由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； 【小问2详解】 由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； 【小问3详解】 由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） 【小问4详解】 设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ． 【答案】（1）； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）；（4）6 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 23. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $