专题06 概率初步（压轴题专项训练）数学沪科版九年级下册

专题06 概率的初步 目录 1 类型一、利用概率公式计算概率 1 类型二、几何概率 4 类型三、用列举法求概率 7 类型四、游戏公平性 12 类型五、概率中的“放回”与“不放回”问题 17 类型六、用频率估计概率 23 类型七、概率与统计综合 28 34 类型一、利用概率公式计算概率 利用概率公式求解问题时首先要找出所有可能的情况数n，然后找出满足条件的情况数m，最后利用概率公式求解答案. 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的计算．从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的只有2种结果，利用概率公式计算可得．解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：口袋中有红球个数为：， ∴从袋子中随机取出1个球，共有16种等可能结果，其中是红球的只有2种结果， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率公式． 用红色区域的面积除以圆的面积得到指针落在黄色区域的概率． 【详解】解：指针落在红色区域的概率. 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式，有理数的大小比较，理解概率公式是解题关键．先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，从中随机抽取1个球是红球的概率， ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在六张卡片上分别写有六个数，，，，，，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率公式的应用．先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案．解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵六张卡片上分别写有，，，，，六个数，无理数的是，， ∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：． 故选：C． 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，电路图中开关均为断开状态，若随机闭合一个，能使灯泡发光的概率是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，随机闭合一个开关，共有种结果，其中能使灯泡发光的结果有种， ∴能使灯泡发光的概率是， 故选：． 类型二、几何概率 1）转盘问题：指针指向各个区域的概率等于该区域面积与整个转盘面积的比值. 2）投点问题：线段上任投一点落在其中某一部分上的概率等于该部分长度与整条线段长度的比值. 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：飞镖掷在狐狸头部的概率是就是狐狸头部的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵七巧板的面积是8个空白正方形的面积，而狐狸头部是2个空白正方形的面积， ∴随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是． 故选：A． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为， 故选：． 9．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 【答案】C 【分析】本题考查概率问题，熟练掌握面积型几何概率问题是解题的关键，分别求出甲、乙两个图形中圆的面积，比较后即可得到答案． 【详解】解：∵甲中圆的直径与正方形的边长相等， ∴甲中圆的面积为：， ∵乙中圆的直径为正方形边长的一半， ∴乙中圆的面积为：， ∴， ∴， 故选：C． 10．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 类型三、用列举法求概率 当事件只经过一步完成或包含的结果很少时，可以直接一一列举；当事件经过两步完成时，既可以用列表法，也可以用画树状图法列出所有等可能的结果；当事件经过三步及以上完成时，列表法就不太方便了，通常用画树状图法，这样不容易漏掉或重复. 11．（24-25九年级上·广东清远·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，将四张卡片背面朝上洗匀；甲先从中随机摸出一张卡片，不放回，再由乙从剩下的卡片中随机摸出一张，请用树状图或列表法求摸出的两张卡片均是物理变化的概率． 注：没有生成其他物质的变化叫物理变化（、）；生成其他物质的变化叫化学变化（、）． 【答案】 【分析】本题考查了跨学科综合，涉及物理变化与化学变化，列表法或树状图法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式可得摸出的两张卡片均是物理变化的情况数除以总情况数即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 由表格知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中摸出的两张卡片均是物理变化的情况数有2种，为A，C，所以P（摸出的两张卡片均是物理变化）． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． （1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75． 13．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）截至2025年5月，甘肃省已有七个国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区；F：临夏炳灵寺世界文化遗产旅游区；G：陇南官鹅沟景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩． (1)张帆一家选择C：天水麦积山景区的概率是多少？ (2)若张帆一家选择了C：天水麦积山景区，他们再从A，B，D，E，F，G六个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有7种等可能的结果，其中张帆一家选择：天水麦积山景区的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及选择，两个景区的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有7种等可能的结果，其中张帆一家选择：天水麦积山景区的结果有1种， 张帆一家选择：天水麦积山景区的概率为． （2）解：列表如下： 共有30种等可能的结果，其中选择，两个景区的结果有：，，共2种， 选择，两个景区的概率为． 14．（24-25九年级上·全国·期末）一个不透明的盒子中装有2枚红色的棋子和1枚黄色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率． 【答案】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸出的棋子颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 第一次 第二次 红 红 黄 红 （红，红） （红，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4种情况， ∴P（两次摸出的棋子颜色不同）． 15．（2025·江苏盐城·模拟预测）某校举办手抄报评比，组委会将同学们交来的作品分为四组，并对每一组的件数进行统计．已知，从第一组至第四组的作品数量之比依次为，第三组的件数是，请回答以下问题： (1)经评比，第二组和第四组分别有件和件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ (2)手抄报评比结束后，组委会决定从件最优秀的作品，，，中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示，的概率． 【答案】(1)第四组，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了列表法和或画树状图法，简单的概率公式，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设第四组的作品数量为件，根据题意算出第二组与第四组的作品数量，即可算出概率，得出结论； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及刚好展示的结果，即可求解． 【详解】（1）解：第四组的获奖率较高．理由如下： 设第四组的作品数量为件，则第一组的作品数量为件，第二组的作品数量为件，第三组的作品数量为件， ， 解得：， 第二组的作品数量为件， 第四组的作品数量为件， 第二组的获奖率为，第四组的获奖率为， ∵， 第四组的获奖率较高； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中刚好展示，的结果有：，，共种， 刚好展示，的概率为． 类型四、游戏公平性 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 16．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 17．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 【答案】(1)列表见解析，共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红） (2)选方案．理由见解析 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．   （1）用画树状图法或列表法根据题意列出所有可能的结果；   （2）分别用概率公式算出三种方案的概率，比较概率大小，从而选择概率最大的方案． 【详解】（1）解：列表如下： 黑 白 红 黑 （黑,黑） （黑,白） （黑,红） 白 （白,黑） （白,白） （白,红） 红 （红,黑） （红,白） （红,红） 共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红）； （2）解：选方案．理由如下： ，，， ． 选方案，才能使自己获胜的可能性最大． 18．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，理由见解析，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 【详解】（1）列表如下： 小真小帅 1 2 3 4 1 2 3 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，为，，∴P（积为6）； （2）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），，所以不公平 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 注：这道题列这种表不扣分 小真 小帅 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中积为6的有2种，为，， ∴P（积为6）； （3）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），， 所以不公平． 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 19．（24-25九年级上·河南焦作·期末）小明和小聪玩“配紫色”游戏（红色、蓝色配成紫色）：一个盒子中装有两个红球、一个蓝球、一个白球，这些球除颜色不同外其余都相同．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球．解决下列问题： (1)若任意摸出一球，摸出红球的概率是______； (2)游戏规则为：若两次摸到球能配成紫色，小明获胜，否则小聪获胜．请用列表或画树状图的方法求出小明获胜的概率． (3)在（2）的规则下，不改变球的总数，只改变其中一个球的颜色，把______球改成_____球（填颜色）可以使游戏公平． 【答案】(1)； (2)图表见解析，； (3)白，红 ． 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，概率公式的计算，掌握列表法活画树状图法求随机事件的概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）运用列表法活画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解； （3）把白球改成红球，运用列表法活画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：盒子中共有4个球，其中有2个红球， ∴摸出红球的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，把所有等可能结果表示出来如下（2个红球分别用红1，红2表示）， 共有12种等可能结果，其中配成紫色的结果有4种， ∴小明获胜的概率为； （3）解：把白球改成红球，则有3个红球，分别表示为红1，红2，红3，如图所示， 共有12种等可能结果，其中配成紫色的结果有6种， ∴小明获胜的概率为，此时游戏公平， 故答案为：白，红． 类型五、概率中的“放回”与“不放回”问题 不放回抽取试验是指在每次抽取个体时，被抽到的个体不放回总体中参与下一次抽取的试验.当不放回抽取时，下一次的试验结果受到上一次试验结果的影响.当有放回抽取时，下一次试验的结果不会受到上一次试验结果的影响. 20．（24-25九年级上·浙江台州·期末）一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由． (2)如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球恰好颜色恰好为一红一黑的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第3次为红球的情况、为黄球的情况、为黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的有2种情况， ∴从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的概率是； （2）解：依题意画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中第3次为红球的情况有2种，为黄球的情况有2种，为黑球的情况有2种， ∴第3次为红球的概率为，为黄球的概率为，为黑球的概率为， ∴比赛时抽签决定选手出场顺序是公平的， 故答案为：，公平． 21．（24-25九年级上·全国·期末）一个不透明的袋子中装有两个黄球和两个红球，任意摸出一球后放回，再任意摸出一球，求两次都摸到红球的概率． 【答案】 【分析】通过列表将两次摸球的所有组合情况呈现出来，然后找出满足两次都摸到红球的组合数量，最后依据概率公式计算出两次都摸到红球的概率．本题主要考查利用列表法求概率，熟练掌握用列表法不重不漏地列出所有等可能的结果，并根据概率公式准确计算是解题的关键． 【详解】解：设两个黄球为黄、黄，两个红球为红、红 ，列表如下： 第一次摸球第二次摸球 黄 黄 红 红 黄 （黄，黄） （黄，黄） （黄，红） （黄，红） 黄 （黄，黄） （黄，黄） （黄，红） （黄，红） 红 （红，黄） （红，黄） （红，红） （红，红） 红 （红，黄） （红，黄） （红，红） （红，红） 从表中可以看出，总共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种． ∴两次都摸到红球的概率． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·四川泸州·期末）为了展示课后服务成果，某校开放了甲、乙、丙三个分会场，每位学生用抽签的方式从三个分会场中随机抽取一个会场进行观摩温馨提示：每位学生抽完签放回后摇匀． (1)学生小李抽到甲分会场进行观摩的概率为______． (2)请用列表法或画树状图法求学生小李和小王没有抽到同一分会场观摩的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，其中学生小李和小王没有抽到去同一分会场观摩的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有甲、乙、丙三个分会场 ∴小李抽到甲分会场的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中学生小李和小王没有抽到去同一分会场观摩的结果有种， 学生小李和小王没有抽到去同一分会场观摩的概率为． 23．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率和概率的意义以及用频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红白球的个数，再列表得出所有等可能的结果，继而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有12种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为： 24．（24-25九年级上·全国·期末）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张． (1)用画树状或列表的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； (2)计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？ (3)如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？（只写出答案，不写过程） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)改变， 【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）用树状图列举出次不放回实验的所有可能情况即可； （2）看是奇数的情况占所有情况的多少即可； （3）属于次放回实验，和为奇数以及和为偶数的情况相等，那么概率是． 【详解】（1）解：如图： （2）由（1）得共有种，和为奇数有种， ∴概率． （3）如图： 共有种等可能的情况，和为奇数的有种， ∴答案改变，概率． 25．（24-25九年级上·天津西青·期末）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． (1)填空：在抢答环节中，若答对一题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“③冬季两项”的概率是 ； (2)在抢答环节中，若答对两题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取2枚（先随机抽取1枚，不放回，再随机抽取另1枚）作为奖品． ①请用列表或画树状图的方法，列举出答对两道题奖品情况的所有可能的结果；（可用邮票名称前的标号表示邮票名称） ②依据①的图表分析，完成填空：从整套邮票中任意抽取2枚的结果共有 种，即 （可用邮票名称前的标号表示邮票名称），且它们出现的可能性相等；恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的结果有 种，即 ，其概率为 ． 【答案】(1) (2)①见解析；②12；①②、①③、①④、②①、②③、②④、③①、③②、③④、④①、④②、④③；2；②④、④②； 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）①根据题意画树状图即可； ②根据树状图可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从4种邮票任取一张共有4种情况，其中“③冬季两项”只有1种情况，恰好抽到“③冬季两项”的概率是． 故答案为：． （2）解：①直接使用图中的序号代表四枚邮票，由题意画出树状图，如图所示： ②∵由树状图可知，所有等可能出现的结果共有12种，即①②、①③、①④、②①、②③、②④、③①、③②、③④、④①、④②、④③．其中，恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的结果有2种，即②④、④②， ∴恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的概率为：． 【点睛】本题主要考查的是概率公式，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 类型六、用频率估计概率 频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化.当试验的重复次数充分大时，频率在概率附近摆动.为了求出随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计概率. 26．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）在一个不透明的布袋中有黑白两种球共40个，每个球除颜色外无其他差别．小明做摸球试验，从袋中随机摸出一个球后再放入袋中，记录下颜色，不断重复试验，将数据统计如下（频率精确到0.001）： 摸球的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 摸到白球的次数 63 124 178 244 303 357 422 摸到白球的频率 0.630 0.620 0.593 0.606 0.596 0.603 0.601 (1)计算：___________；___________； (2)请估计：当越来越大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）； (3)求不透明的布袋中黑球和白球的个数． 【答案】(1)0.610，481 (2)0.6 (3)白球24个，黑球16个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，频率与频数分布表，熟知相关知识是解题的关键 （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）根据表格中的数据可得随着实验次数的增加，频率逐步稳定在附近，据此可得答案； （3）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到白球的概率，则可求出白球的个数，进而求出黑球的个数． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：观察表格可知，随着实验次数的增加，频率逐步稳定在附近， ∴当越来越大时，摸到白球的频率将会接近； （3）解：∵当越来越大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率为， ∴白球的个数为(个)， ∴黑球的个数为(个)． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计完好的橙子的质量约有 千克； (2)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？（精确到元） 【答案】(1) (2)元 【分析】此题考查了利用频率估计概率，一元一次方程的应用，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据图形即可得出橙子损坏率，再用整体减去橙子损坏率即可得出橙子完好率，然后乘以即可得出答案； （2）设每千克的售价应为元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所给的图可得：橙子损坏率估计值为， 橙子完好率估计值为， 估计完好的橙子的质量约有（千克）； 故答案为：； （2）解：设每千克的售价应为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每千克的售价应大约为元． 28．（24-25九年级上·陕西·期中）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格，机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将最新做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，请估计x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得抽到合格零件的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在， ∴抽到合格零件的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 29．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，， (2)1，3 (3) 【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率． （2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题． （3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的情况数再除以总的情况数，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：， 则摸到白球的概率可看作：， 摸到黑球的概率：． 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4， 所以口袋中黑球的个数：， 口袋中白球的个数：． 故答案为：1，3； （3）解：画树状图如下， 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 30．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； （2）解：； （3）解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． 类型七、概率与统计综合 31．（24-25九年级上·广东惠州·期末）某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：份；B：份；C：份；D：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整； (2)这名学生每人完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)从四类报告中随机选取2类，请用画树状图法或列表法，求A、B都被选中的概率． 【答案】(1)见解析 (2)5，5 (3) 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用列表法或画树状图法求概率，从条形统计图和扇形统计图中获取有用的信息是解决这类问题的关键． （1）根据B类的人数等于调查的人数乘以，即可补全条形统计图； （2）根据众数的中位数的定义求解； （3）用列表法或树状图的方法求解. 【详解】（1）解：B类的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：由条形图知，C类型人数最多， 所以众数为5份， 中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均为5份， 所以中位数是5份； 故答案为：5，5； （3）解：画树状图如下： 则所有等可能的结果为12种，A、B都被选中的结果为2种， ∴A、B都被选中的概率为. 32．（2023·四川成都·一模）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】(1)50，72 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数， 再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果； （2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人）， 学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72； （2）解：由题意可得： 选“B：足球”的学生人数为：（人）， 选“E：乒乓球”的学生人数为：（人） 补全条形统计图如下； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种； ∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为． 【点睛】本题考查了画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键． 33．（24-25九年级上·四川广元·期末）【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949 槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089 【问题解决】 (1)上述表格中：m=______，n=______； (2)①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小； ②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大； (3)该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率． 【答案】(1)2.15；1.5 (2)①柳；②杨 (3) 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差等统计量，用列表法或树状图法求概率．掌握相关定义是关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）①根据题目给出的方差判定即可；②根据树叶的长宽比判定即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为： 1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8， 则其中位数是第5和第6的平均数，即：； 柳树叶的长宽比的众数为1.5； 故答案为：2.15，1.5； （2）解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小； 故答案为：柳； ②∵该小组收集的树叶中有一片为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，则长宽比为2.3， ∴这片树叶来自于杨树的可能性大； 故答案为：杨； （3）四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种． ∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）． 34．（24-25九年级上·河南郑州·期中）为了了解初三男生的身高情况，陈老师对九年级三班名男同学的身高进行了统计，统计结果如下（单位）： ， 整理以上数据，得到身高x的频数分布表 身高 频数 4 1 m n 2 (1)表格中______，______； (2)请计算这组数据的平均数、中位数和众数分别是多少． (3)陈老师要从包括小明在内的4名男同学中随机选取两名同学参加跳高比赛，请用列表或树状图的方法计算出选中小明的概率． 【答案】(1)，3 (2)平均数为；中位数为；众数为和 (3) 【分析】（1）根据数据求解即可； （2）由题意知，将各数从小到大依次排列，根据平均数为，计算求解即可；根据中位数为第个数的平均数计算求解即可；根据众数的定义求解即可； （3）根据题意列表格，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，3； （2）解：由题意知，各数从小到大依次排列为：， ∴平均数为 ， ∴中位数为第个数的平均数，为； 在本组数据中，和出现三次，出现次数最多， ∴众数为和； ∴平均数为，中位数为，众数为和； （3）解：设除小明外其他三名同学分别为A，B，C，列表如下： 第二人\第一人 小明 A B C 小明 （小明,A） （小明,B） （小明,C） A （A,小明） B （B,小明） C （C,小明） 由表格可知，一共由种等可能的结果，其中选中小明的共6种， ∴， ∴选中小明的概率是． 【点睛】本题考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，列举法求概率．熟练掌握平均数，中位数，众数，列举法求概率是解题的关键． 35．（2024·四川德阳·三模）某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表． 组别 “单次营运里程x”（公里） 频数 第一组 72 第二组 a 第三组 26 第四组 24 第五组 30 根据统计表提供的信息，解答下面的问题： (1)①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______； (2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数； (3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率． 【答案】(1)①48；②0.73； (2)超过20公里的次数是750次； (3)图形见解析，（至少有1名男生． 【分析】本题考查了列表法与树状图法∶利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率，也考查了统计图和统计表，要熟练从统计图表中得出解题所需数据． (1)①用总数减去其他的频数就能直接得出a的值；②用第一、二、三组的频数和除以总数量可得； (2)用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20公里的次数所占比例即可得； (3)画列表法或树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到至少有1名男司机的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：①； ②， 故答案为①48；②0.73 （2）（次） （3）列表法如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 总共有12种等可能性结果，其中符合条件的有10种． （至少有1名男生． 36．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 37．（19-20九年级下·河北石家庄·开学考试）“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是月日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．      请解答下列问题： （1）上述省市月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为______人；请将图①条形统计图补充完整； （2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为_______； ②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是_______； （3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的人中随机安排人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率． 【答案】（1）5000人，见解析；（2）①21.6°，②350；（3）树状图见解析， 【分析】（1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数； ②先求出江苏、浙江和山东所占的百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图； （2）①用山西所占的百分比乘以360°即可得出答案； ②中位数为第五位省份的人数； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）①月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为（人）， ②江苏所占的百分比是：； 浙江所占的百分比是：； 山东所占的百分比是：； 则山西所占的百分比是：， 山西的人数是（人）， 补图如下：    故答案为5000人，见上图； （2）①“山西”所对应扇形的圆心角的度数是； ②排名第五位的省份是上海市，共有（人） 故答案为 ①21.6°，②350； （3）这名医护工作者分别用，，，，表示，其中王医生用表示，李医生用表示，根据题意画图如下：    共有种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有种， 则同时安排王医生和李医生的概率是 故答案为：树状图见上图，； 【点睛】本题考查了统计与概率，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图． 38．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 【答案】(1)；158 (2) (3)除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 【分析】本题考查了频率估计概率． （1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答． 【详解】（1）解：，； 故答案为：；158； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（个）； 答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 39．（2021·山东·三模）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：．舞蹈社团；．博乐阅读；．快乐英语；．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了课程，为了解本年级选择课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图． （1）已知这组的数据为：71，72，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是__________；众数是__________； （2）根据题中信息，估计该年级选择课程学生成绩在的总人数； （3）该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程，那么他俩第二次同时选择课程或课程的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明． 【答案】（1）75分，76分；（2）30人；（3）图表见解析， 【分析】（1）根据中位数定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数和众数的定义：在一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案； （2）先求出成绩在范围内选取课程的百分比，再乘以100，即可得出答案； （3）根据题意画出树状图，数出同时选择课程或课程的情况数，除以总情况数即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得： 中位数为分，众数为76分； （2）抽取的30名学生成绩在范围内选取课程的有9人，所占比为， 选取课程的总人数为（人）； （3）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程，列树状图如下： 等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程或课程的有2种， 所以，他俩第二次同时选择课程或课程的概率是． 【点睛】本题考查的是中位数、众数和求概率，熟练掌握中位数、众数和概率的定义是解决本题的关键． 40．（19-20九年级下·安徽合肥·阶段练习）为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，调研老师在我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：    （1）本次调查共随机抽取了该年级___________名学生，考试成绩120分以上（含120分）学生有_________名； （2）规定：成绩位于前5%的可获得小礼品一份，在被调查的学生中，某位学生成绩为134分，试判断他是否能获奖，说明理由； （3）如果第一组中只有一名是女生，第五组中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想…，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）50，18；（2）不能；（3）见详解的树状图， 【分析】（1）用第三组的频数除以它的频率即可得到调查的总人数，然后计算出第五组的频数，再求出符合要求的频数和； （2）先求出135分以上学生站的分数，再比较，看134分是否在其范围内； （3）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）， 所以本次调查共随机抽取了该年级50名学生， 第五组的学生数为， 考试成绩120分以上（含120分）学生有：14+4=18 频数分布直方图补充为：    （2）不能获奖，理由是： ∵(135,150)这组人数占8%，8%＞5% ∴获奖成绩应在135分以上 ∴成绩为134分的学生不能获奖 （3）画树状图为：    由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数为10， 所以所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率 【点睛】本题考查了树状图法求概率、频率直方图和扇形统计图．利用树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式求事件的概率；仔细观察频率直方图和扇形统计图来发现题中信息 ，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率的初步 目录 1 类型一、利用概率公式计算概率 1 类型二、几何概率 2 类型三、用列举法求概率 4 类型四、游戏公平性 5 类型五、概率中的“放回”与“不放回”问题 7 类型六、用频率估计概率 9 类型七、概率与统计综合 11 13 类型一、利用概率公式计算概率 利用概率公式求解问题时首先要找出所有可能的情况数n，然后找出满足条件的情况数m，最后利用概率公式求解答案. 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在六张卡片上分别写有六个数，，，，，，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，电路图中开关均为断开状态，若随机闭合一个，能使灯泡发光的概率是（    ）    A． B． C． D．无法确定 类型二、几何概率 1）转盘问题：指针指向各个区域的概率等于该区域面积与整个转盘面积的比值. 2）投点问题：线段上任投一点落在其中某一部分上的概率等于该部分长度与整条线段长度的比值. 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚现将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（     ） A． B． C． D．与正方形的边长有关，无法判断 10．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 类型三、用列举法求概率 当事件只经过一步完成或包含的结果很少时，可以直接一一列举；当事件经过两步完成时，既可以用列表法，也可以用画树状图法列出所有等可能的结果；当事件经过三步及以上完成时，列表法就不太方便了，通常用画树状图法，这样不容易漏掉或重复. 11．（24-25九年级上·广东清远·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，将四张卡片背面朝上洗匀；甲先从中随机摸出一张卡片，不放回，再由乙从剩下的卡片中随机摸出一张，请用树状图或列表法求摸出的两张卡片均是物理变化的概率． 注：没有生成其他物质的变化叫物理变化（、）；生成其他物质的变化叫化学变化（、）． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 13．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）截至2025年5月，甘肃省已有七个国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区；F：临夏炳灵寺世界文化遗产旅游区；G：陇南官鹅沟景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩． (1)张帆一家选择C：天水麦积山景区的概率是多少？ (2)若张帆一家选择了C：天水麦积山景区，他们再从A，B，D，E，F，G六个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）． 14．（24-25九年级上·全国·期末）一个不透明的盒子中装有2枚红色的棋子和1枚黄色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率． 15．（2025·江苏盐城·模拟预测）某校举办手抄报评比，组委会将同学们交来的作品分为四组，并对每一组的件数进行统计．已知，从第一组至第四组的作品数量之比依次为，第三组的件数是，请回答以下问题： (1)经评比，第二组和第四组分别有件和件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？ (2)手抄报评比结束后，组委会决定从件最优秀的作品，，，中选出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示，的概率． 类型四、游戏公平性 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 16．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 17．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 18．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． (1)请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； (2)小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 19．（24-25九年级上·河南焦作·期末）小明和小聪玩“配紫色”游戏（红色、蓝色配成紫色）：一个盒子中装有两个红球、一个蓝球、一个白球，这些球除颜色不同外其余都相同．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球．解决下列问题： (1)若任意摸出一球，摸出红球的概率是______； (2)游戏规则为：若两次摸到球能配成紫色，小明获胜，否则小聪获胜．请用列表或画树状图的方法求出小明获胜的概率． (3)在（2）的规则下，不改变球的总数，只改变其中一个球的颜色，把______球改成_____球（填颜色）可以使游戏公平． 类型五、概率中的“放回”与“不放回”问题 不放回抽取试验是指在每次抽取个体时，被抽到的个体不放回总体中参与下一次抽取的试验.当不放回抽取时，下一次的试验结果受到上一次试验结果的影响.当有放回抽取时，下一次试验的结果不会受到上一次试验结果的影响. 20．（24-25九年级上·浙江台州·期末）一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由． (2)如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”） 21．（24-25九年级上·全国·期末）一个不透明的袋子中装有两个黄球和两个红球，任意摸出一球后放回，再任意摸出一球，求两次都摸到红球的概率． 22．（24-25九年级上·四川泸州·期末）为了展示课后服务成果，某校开放了甲、乙、丙三个分会场，每位学生用抽签的方式从三个分会场中随机抽取一个会场进行观摩温馨提示：每位学生抽完签放回后摇匀． (1)学生小李抽到甲分会场进行观摩的概率为______． (2)请用列表法或画树状图法求学生小李和小王没有抽到同一分会场观摩的概率． 23．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 24．（24-25九年级上·全国·期末）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张． (1)用画树状或列表的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况； (2)计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是多少？ (3)如果抽取第一张后放回，再抽第二张，（2）的问题答案是否改变？如果改变，变为多少？（只写出答案，不写过程） 25．（24-25九年级上·天津西青·期末）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． (1)填空：在抢答环节中，若答对一题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“③冬季两项”的概率是 ； (2)在抢答环节中，若答对两题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取2枚（先随机抽取1枚，不放回，再随机抽取另1枚）作为奖品． ①请用列表或画树状图的方法，列举出答对两道题奖品情况的所有可能的结果；（可用邮票名称前的标号表示邮票名称） ②依据①的图表分析，完成填空：从整套邮票中任意抽取2枚的结果共有 种，即 （可用邮票名称前的标号表示邮票名称），且它们出现的可能性相等；恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的结果有 种，即 ，其概率为 ． 类型六、用频率估计概率 频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化.当试验的重复次数充分大时，频率在概率附近摆动.为了求出随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计概率. 26．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）在一个不透明的布袋中有黑白两种球共40个，每个球除颜色外无其他差别．小明做摸球试验，从袋中随机摸出一个球后再放入袋中，记录下颜色，不断重复试验，将数据统计如下（频率精确到0.001）： 摸球的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 摸到白球的次数 63 124 178 244 303 357 422 摸到白球的频率 0.630 0.620 0.593 0.606 0.596 0.603 0.601 (1)计算：___________；___________； (2)请估计：当越来越大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）； (3)求不透明的布袋中黑球和白球的个数． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计完好的橙子的质量约有 千克； (2)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？（精确到元） 28．（24-25九年级上·陕西·期中）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格，机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将最新做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，请估计x的值． 29．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 30．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； (3)图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 类型七、概率与统计综合 31．（24-25九年级上·广东惠州·期末）某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：份；B：份；C：份；D：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整； (2)这名学生每人完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)从四类报告中随机选取2类，请用画树状图法或列表法，求A、B都被选中的概率． 32．（2023·四川成都·一模）某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 33．（24-25九年级上·四川广元·期末）【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949 槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089 【问题解决】 (1)上述表格中：m=______，n=______； (2)①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小； ②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大； (3)该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率． 34．（24-25九年级上·河南郑州·期中）为了了解初三男生的身高情况，陈老师对九年级三班名男同学的身高进行了统计，统计结果如下（单位）： ， 整理以上数据，得到身高x的频数分布表 身高 频数 4 1 m n 2 (1)表格中______，______； (2)请计算这组数据的平均数、中位数和众数分别是多少． (3)陈老师要从包括小明在内的4名男同学中随机选取两名同学参加跳高比赛，请用列表或树状图的方法计算出选中小明的概率． 35．（2024·四川德阳·三模）某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表． 组别 “单次营运里程x”（公里） 频数 第一组 72 第二组 a 第三组 26 第四组 24 第五组 30 根据统计表提供的信息，解答下面的问题： (1)①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______； (2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数； (3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率． 36．（2021·福建·中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 37．（19-20九年级下·河北石家庄·开学考试）“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是月日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．      请解答下列问题： （1）上述省市月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为______人；请将图①条形统计图补充完整； （2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为_______； ②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是_______； （3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的人中随机安排人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率． 38．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 39．（2021·山东·三模）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：．舞蹈社团；．博乐阅读；．快乐英语；．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了课程，为了解本年级选择课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图． （1）已知这组的数据为：71，72，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是__________；众数是__________； （2）根据题中信息，估计该年级选择课程学生成绩在的总人数； （3）该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程，那么他俩第二次同时选择课程或课程的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明． 40．（19-20九年级下·安徽合肥·阶段练习）为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，调研老师在我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：    （1）本次调查共随机抽取了该年级___________名学生，考试成绩120分以上（含120分）学生有_________名； （2）规定：成绩位于前5%的可获得小礼品一份，在被调查的学生中，某位学生成绩为134分，试判断他是否能获奖，说明理由； （3）如果第一组中只有一名是女生，第五组中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想…，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $