1.2 30°，45°，60°角的三角函数值（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，通过知识回顾锐角三角函数定义，结合三角尺情境提问，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生探索特殊角三角函数值的推导、计算及应用。 其亮点在于以“议一议”“做一做”活动引导学生通过直角三角形边长关系推导函数值，培养推理能力，设置秋千高度差等实际问题，强化模型意识与应用意识。系统的知识归纳、分层练习及典例分析，助力学生提升运算与应用能力，也为教师提供高效备课资源。

北师大版·九年级下册 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 第一章 直角三角形的边角关系 学 习 目 标 1.经历探索 30°， 45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，并熟记特殊角的三角函数值；（重点） 2.能够进行含有30°， 45°，60°角的三角函数值的计算；（难点） 3.能利用30°、45°、60°角的三角函数值解决实际问题。 知识回顾 1.锐角A的 、 和正切都是∠A的三角函数. 如右图所示， tanA= ; sinA= ; cosA= . 2.tanA的值 ，sinA的值 ，cosA的值 ，梯子越陡. 正弦 余弦 越大 越大 越小 情境引入 观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度? 45° 45° 60° 30° 思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？ 问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？与同伴进行交流. ┌ 30° (2)：cos30°等于多少?tan30°呢？ 议一议 新知探究 探究一：30°、45°、60°角的三角函数值 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a. 另一条直角边长＝ a 2a 新知探究 （2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ ┌ 45° 45° （1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？ ┌ 30° a 2a 60° 设两条直角边长为a，则斜边长＝ a a 做一做 新知探究 特殊角的三角函数值表 知识归纳 三 角 函 数 值 角 α 1 新知探究 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、相除关系等） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 三角函数的进一步理解 知识归纳 新知探究 1.计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 注意:sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2 解: (1)sin30°+cos45° (2)sin260°+cos260°-tan45° 新知探究 探究二：特殊三角函数值的运用 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 解:如图,根据题意可知,∠AOD=60°=30°,OD=2.5m, 新知探究 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤： 知识归纳 （1）把实际问题转化为数学问题； （2）构造出含有特殊锐角的直角三角形； （3）利用特殊角的三角函数值求解。 新知探究 2.某儿童乐园的滑梯为直角三角形结构，滑梯坡面（斜边）长 12 m，倾斜角为 30°，则滑梯的垂直高度为（ ） A. 6 m B. 6 m C. 12 m D. 12 m A 典例分析 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数． 例1 A B C 解： 如图，∵， ∴sinA=, ∴∠A=45°. 逆向思维：由特殊三角函数值可以确定锐角的度数. 已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α -3tan（α+15°）的值． 例2 典例分析 解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3， ∵tanα＞0， ∴tanα=1， ∴α=45°. ∴2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°） =2sin245°+cos245°- 3 tan60° =2 = 巩固练习 基础巩固题 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则∠A的度数是(　 　)A．30° B．45° C．60° D．90° C B 3.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° D 巩固练习 基础巩固题 4.tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D 5.如图，在离地面5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC的长是(　 　) B 巩固练习 基础巩固题 6.计算：① 6tan230°-sin60°-2cos45°=______； ②sin60°-cos45°tan45°=______. 8.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 ________． 7.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是__________ ． 75° 9.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 巩固练习 基础巩固题 解： （1） cos260°＋sin260° ＝1 （2） ＝0 10.求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2） (3) . 巩固练习 基础巩固题 11.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，求AB. A B C D 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵∠A=30°，AC=，, ∴CD=. ∵, ∴AD=. ∵, ∴BD=. ∴AB=AD+BD=3+2=5. 巩固练习 基础巩固题 12.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ D A B E 1.6m 20m 45° C =20+1.6=21.6（m） 答：旗杆AB的高度为21.6米. 课堂小结 30°,45°,60°角的三角函数值 特殊角的三角函数值 应用 (1)把实际问题转化为数学问题； (2)构造出含有特殊锐角的直角三角形； (3)利用特殊角的三角函数值求解。 作业布置 1.必做题：习题1.3第1-5题。 2.探究性作业：习题1.3第6题。 感谢聆听! $