一元二次不等式在实数集上恒成立问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册（上海地区适用）

章末微专题复习一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【知识回顾】 1.一元二次不等式恒成立的条件 a>0, (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 1b2-4ac<0. a>0, 补充：ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的充要条件是 1b2-4ac0: (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 a<0, b2-4ac<0. a<0, 补充：ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的充要条件是 b2-4ac 0 【典例精讲】 【典例1】(2025·上海静安月考)若不等式a2-1x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围 是 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果。 【详解】 ①当a2-1=0,即a=±1时， 若a=1,则原不等式为-1<0，恒成立. 若a=1,则原不等式为2x-1<0,即x<),不符合题日要求，舍去， ②当a2-1≠0，即a≠±1时， a2-1<0 d=a-+4g-<0g得-a1 综上所选，当-}<口≤1时，原不号式的解集为R 【变式1-1】若不等式2x2+2-3<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 解 草图 1/4 3 【典例2】(2025·广东东莞期中)己知不等式2kx2+kx+。>0在R上恒成立.则k的取值范围为_一 【分析】根据条件，分k=0和k≠0两种情况讨论，结合条件，利用二次函数的图象与性质即可求解 】当太=0时，原不等式为>0，在R上恒成立，所以k=0满足 3 当k≠0时，不等式2kx2+kx+三>0在R上恒成立， 8 k>0 则 △=k2-4×2kx3<0'解得0<k<3, 3 综上，k的取值范围为0≤k<3, 故答案为：0≤k<3 【变式2-1】对任意实数x,a2-4x2+(a十2)x-1<0恒成立，则实数a的范围为 草图 【提升训练】 1.关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,则实数a的取值范围为 2.已知关于销不等式（口-+（口+x+0对一切实数相成立，则实数4的取值范国为 2/4 3.已知关于x的不等式x2-6kx+k+8>0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为 4.若关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是 5.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≤0恒成立，则实数a的取值范围是」 6.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围 为 7.若不等式a2+2x-2<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 3/4 8.若对于任意x∈R,ax2-ar+1>0恒成立，则实数a的取值范围是一 9.若不等式(a-1)x2+2(a-1)x-4<0对一切xeR恒成立，则a的取值范围是_ 10.(2025·陕西西安期末)若任意实数x,不等式x2-ax+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是 1.如果关于x的不等式2x+c-8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是， 4/4 章末微专题复习 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【知识回顾】 1．一元二次不等式恒成立的条件 （1） 恒成立的充要条件是 补充：恒成立的充要条件是 （2） 恒成立的充要条件是 补充：恒成立的充要条件是 【典例精讲】 【典例1】（2025·上海静安月考）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】 ①当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． ②当，即时， ，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 【变式1-1】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分情况讨论，当时，满足题意；当时，只需要满足解不等式组即可. 【详解】不等式对一切实数x都成立， 当时，对一切实数都成立，满足题意； 当时，只需要满足 解得 综上结果为：. 故答案为： 【典例2】（2025·广东东莞期中）已知不等式在上恒成立．则的取值范围为 ． 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，结合条件，利用二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】当时，原不等式为，在上恒成立，所以满足题意， 当时，不等式在上恒成立， 则，解得， 综上，的取值范围为， 故答案为：. 【变式2-1】对任意实数恒成立，则实数的范围为__________. 【分析】分，两种情况，利用判别式可得答案. 【详解】对任意实数恒成立． ① 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合； ②若，则，解得 综上，实数的范围为. 【提升训练】 1．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先根据二次项的系数分类为，.当时，显然成立，当时，则二次函数开口向下，且与轴无交点，进而有，可得. 【详解】当时，原不等式可化为，符合， 当时，因关于的不等式的解集为， 则，解得， 综上可知，实数的取值范围为， 故答案为： 2．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为 【答案】0≤k＜1 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，分k＝0和k≠0两种情况讨论，即可求出k的取值范围． 【详解】不等式对任意恒成立， 当k＝0时，8＞0恒成立，符合题意； 当k≠0时，由题意得，即，解得0＜k＜1． 综上，k的取值范围为0≤k＜1． 故答案为：0≤k＜1． 4．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ; 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】讨论时，恒成立符合题意，当时，由对应二次函数的性质可知，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立，所以符合题意； 当时，由题意可得，解得， 综上所述：实数的取值范围是， 故答案为： 5．不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【详解】当时，原不等式可化为恒成立. 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立的条件，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 6．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，结合题可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，可得或. ①当时，可得，合乎题意； ②当时，可得，解得，不合乎题意； 当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 7．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解. 【详解】当时，，不等式成立. 当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立. 当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 8．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 9．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】当时，即时，原不等式即为恒成立； 当时， 则，解得， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025·陕西西安期末）若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为任意实数，不等式恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 11．如果关于x的不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据不等式对一切实数都成立，讨论和时，结合二次函数的性质，即可求出的取值范围． 【详解】不等式对一切实数都成立， 时，不等式化为恒成立， 时，应满足， 解得． 综上，不等式对一切实数都成立的的取值范围是，故答案为． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $