重难点02 集合中的新定义问题（8大题型+能力训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 集合中的新定义问题 一、关于集合新定义 （1）新定义问题就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的问题，可能以文字的性质出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现； （2）常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和性法则等类型； （3）解决此类问题的关键在于认真研读，仔细身体，将问题转化为熟悉的问题． 二、解决新定义问题的答题策略与步骤 （1）第一步：遇到新定义问题，要耐心读题，分析其特点，弄清其内涵与性质； （2）第二步：按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； （3）第三步：对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、取特殊值等方法解决． 题型一 定义新集合（与集合定义类比） 【例1】（2024上海复兴高级中学高一期中）定义差集且，已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024秋·上海长宁延安中学校考阶段练习）数学中经常把集合称为集合对的差集，记作.若把自然数集记为，，则 . 【例4】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【跟踪训练】 1.定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 2．（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为 ． 3．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4.（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 题型二 定义新概念 【例5】（2024秋·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）对于区间我们规定是这个区间的“长度”．已知都是集合的子集，，，则集合“长度”的取值范围是 ． 【例6】给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为 A．48 B．49 C．50 D．51 【例7】（24-25高一上·广东东莞·开学考试）整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环. (1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： (2)求证：任何数环都有元素0： (3)求证：若､是数环，则是数环. 【跟踪训练】 1.（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 2．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 3.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则 A．1 B．2 C．3 D．5 4．（24-25高一上·上海·开学考试）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． (1)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (2)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (3)对于求其所有子集的“交替积”的总和． 题型三 定义新关系（与集合间关系类比） 【例8】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值不可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 2．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 题型四 定义新运算（与集合间的运算类比） 【例9】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为（    ） A．15 B．16 C．20 D．21 【例10】（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【跟踪训练】 1．（2023·江苏泰州·高一江苏省黄桥中学校考阶段练习）定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 题型五 定义新性质 【例11】（2023·江西赣州·高一校考阶段练习）若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【例12】（2023·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练】 1．（2021秋·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考阶段练习）设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为 . 2．（2023·北京·高一北京十五中校考期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 3．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 一、选择题 1.对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C．或， D．或， 2.定义集合且，已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，集合，定义、间的运算且，则（    ） A． B． C． D． 4.给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 5．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6.（2024秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论： ①；②；③； ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.（23-24高一上·广东东莞·月考）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 二、填空题 8．（2021秋·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考阶段练习）设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为 . 9．（2021秋·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 . 10.（2023秋浦东新华师大二附中校考阶段练习）已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 . 三、解答题 11.（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 12.（2024宝松高级中学练习）设集合，如果对于的任意一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”． (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，证明：． 13.（2022华师大二附中校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 集合中的新定义问题 一、关于集合新定义 （1）新定义问题就是在现有的运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的问题，可能以文字的性质出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现； （2）常见的新定义问题有定义新概念、新公式、新运算和性法则等类型； （3）解决此类问题的关键在于认真研读，仔细身体，将问题转化为熟悉的问题． 二、解决新定义问题的答题策略与步骤 （1）第一步：遇到新定义问题，要耐心读题，分析其特点，弄清其内涵与性质； （2）第二步：按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决； （3）第三步：对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、取特殊值等方法解决． 题型一 定义新集合（与集合定义类比） 【例1】（2024上海复兴高级中学高一期中）定义差集且，已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 所以． 故选：B 【例2】（2024河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中阴影部分表示的集合为且 集合中阴影部分元表示的集合为且， 故整个阴影部分表示， 故选：D. 【例3】（2024秋·上海长宁延安中学校考阶段练习）数学中经常把集合称为集合对的差集，记作.若把自然数集记为，，则 . 【答案】或或 【分析】根据差集的定义可出结果. 【详解】记在中的补集为，则， 由题意可得或或. 故答案为：或或. 【例4】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得. 【详解】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决. 【跟踪训练】 1.定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．6 C．14 D．15 【答案】B 【解析】因为，，， 所以，又集合有3个元素， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意， 当时，即时，满足题意， 当时，即，（舍去）时，，不符合题意. 综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为. 故选：B 2．（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为 ． 【答案】1010 【分析】由为“大境集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解. 【详解】联立得，即，，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得， 则， 所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“大境集”的个数. 故答案为：1010 3．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】根据“保均值子集”的定义，列举出所有符合题意的子集即可求得结果. 【详解】非空数集中，所有元素的算术平均数， 在所有子集中选出平均数为的子集即可， 所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个： 故选：C． 4.（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ，即 ， 又， 所以， 所以 题型二 定义新概念 【例5】（2024秋·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）对于区间我们规定是这个区间的“长度”．已知都是集合的子集，，，则集合“长度”的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由都是集合的子集，可得，，再由区间的长度分析可得集合长度最大不超过区间的长度1，最小不小于，再取，分析即得解. 【详解】由题意，，故，解得； ，故，解得； 由于，区间长度为2； ，故区间长度为1； ，故区间长度为； 故集合长度最大不超过区间的长度1，最小不小于， 又由于当时，，区间长度为1，取得最大值； 当时，，区间长度为，取得最小值； 故集合“长度”的取值范围是. 故答案为： 【例6】给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为 A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】B 【详解】 时，的个数是 时，的个数是 时，的个数是 ， 时，的个数是1 时，的个数是， 时，的个数是 时，的个数是1， 时，的个数是 时，的个数是1 时，的个数是1 时，的个数是 时，的个数是1、 时，的个数是1 时，的个数是1 时， 的个数是1 的有序子集对的个数为49个， 【例7】（24-25高一上·广东东莞·开学考试）整数集的符号取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环. (1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： (2)求证：任何数环都有元素0： (3)求证：若､是数环，则是数环. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据数环概念求解即可； （2）利用反证法根据数环概念证明即可； （3）根据数环概念证明即可. 【详解】（1）取，则，但，故不是数环； 取，则，则， ，，， 同理，，故是数环； 设，， 则，，， ， ，， ， ，，，， 是数环. （2）假设存在一个数环，它不包含0，即对于所有，都有， 根据数环定义，对于任意，有，，， 特别地，当时，，这与不包含0的假设矛盾， 因此任何数环都有元素0. （3）设､是数环，，， 若，，是数环，对于整数，有， 同理，，是数环. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题的解题技巧：求解此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的办法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断. 【跟踪训练】 1.（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 【答案】A 【分析】先理解为集合X的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意，都存在，使得，对四个集合逐一分析， 对① ,当时，不存在满足的，不是以0为聚点的集合； 对②，都存在，使得，是以0为聚点的集合； 对③，都存在，使，是以0为聚点的集合； 对④，当时，对任意的，都有或者， 不存在满足的，不是以0为聚点的集合； 【详解】①集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外， 其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足的， ∴ 0不是集合的聚点； ②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小的数都可以），使得，∴ 0是集合的聚点； ③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的， 存在，使，∴ 0是集合的聚点； ④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点． 综上可知②③正确. 故选A 2．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】 分别考虑集合为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出的取值，由此确定出集合中的元素的个数. 【详解】 当集合为单元素集时，可取，此时可取； 当集合为双元素集时，可取，此时可取； 当集合为三元素集时，可取，此时可取， 当集合为四元素集时，可取，此时可取， 综上可知可取，共个值，所以的元素个数为， 故选：B. 3.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】 ,有两个元素；且，所以B中有一个或者三个元素，然后分情况讨论． 【详解】 因为，有两个元素，，所以B中有一个或者三个元素． 当B有一个元素时，有一个解，可得． 当B有3个元素时，有三个解，其中， 当有一个解时，则，可得 当有两个解且其中一个和0或者相等时也满足条件． 此时， 显然，不等于0 所以或者 解出或者也满足条件． 综上所述的取值为，-3，3 构成集合S的个数为：5 故选D 4．（24-25高一上·上海·开学考试）对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． (1)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (2)对于，求其所有子集的“交替和”的总和； (3)对于求其所有子集的“交替积”的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将集合的子集分为有9的子集，和去掉9之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （2）将集合的子集分为有的子集，和去掉之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （3）首先求出集合的元素，再对集合分组，有的子集和去掉的子集为一组，求每一组“交替积”的和，即可求解. 【详解】（1）集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉9的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为 （2）集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为； （3）集合， 其中除去外还有个非空子集， 把这把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为0，共有组，所以，所有“交替积”之和应该为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，前2问是将集合分为有最大元素的集合，和去掉最大元素的集合，这样找到规律，最后一问，是将集合分为有元素的集合和去掉元素的集合为一组，即可求解. 题型三 定义新关系（与集合间关系类比） 【例8】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可. 【详解】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为. 故选：C 【跟踪训练】 1．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值不可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：A. 2．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 题型四 定义新运算（与集合间的运算类比） 【例9】（2023·全国·高一专题练习）已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为（    ） A．15 B．16 C．20 D．21 【答案】D 【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}， 所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6， 所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}， 所以A*B中的所有元素数字之和为21. 故选：D. 【例10】（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【解析】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）:图中，，图中，所以， 故（1）正确； 对于（2）：图中，成立， 图中，，， 所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2023·江苏泰州·高一江苏省黄桥中学校考阶段练习）定义集合的商集运算为，已知集合A={2，4，6}，B=，则集合∪B中的元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】先求得集合B，从而得到，然后利用集合的并集运算求解.因为集合A={2，4，6}，B=， 所以B={0,1,2}，则=, 所以∪B=， 所以集合∪B中共有7个元素. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，，，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴，， ，， 故选：B. 3.（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M  ②属于M.③属于M  ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域； 有理数集、实数集、复数集是数环也是数域；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 题型五 定义新性质 【例11】（2023·江西赣州·高一校考阶段练习）若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【解析】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 【例12】（2023·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时， ∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 【跟踪训练】 1．（2021秋·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考阶段练习）设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合的长度为，集合的长度为； 若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端， 的“长度”的最小值为 若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多， 的“长度”的最大值为 则集合的“长度”的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置. 2．（2023·北京·高一北京十五中校考期中）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ， 所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 3．（24-25高一上·上海·开学考试）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 (1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 【答案】(1)集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，； (2)2047276； (3)充分不必要条件. 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，带入求职. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义故不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集所以不具有性质. （2）由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 故中元素的个数最多. 故答案为：2047276 （3）1）当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 一、选择题 1.对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C．或， D．或， 【答案】C 【解析】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 或，． 故选：C． 2.定义集合且，已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合且，， 所以 故选：C 3.已知集合，集合，定义、间的运算且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据集合新定义可得结果.因为集合，集合， 所以. 故选：B 4.给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】C 【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD. 【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误； 对于B，因为，但，故B错误； 对于C，设，，则， ，则集合为闭集合，故C正确； 对于D，设， 则，但，故D错误. 故选：C. 5．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 6.（2024秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论： ①；②；③； ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将整数按照除以5的余数分成5类，每一类组成一个集合，每一组内的数除以5余数都相同，在此基础上，可以对下面四个命题依次判断. 【详解】①，错误； ②，错误； ③，对； 每个整数除以5后的余数只有，没有其他余数，故原命题成立. ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”，对； 证明④：（充分性）， 不妨 （必要性） 即除以5后余数相同，属于同一“类” 故选：B 7.（23-24高一上·广东东莞·月考）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【解析】对子集分类讨论：若,此时集合可以为 共8个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共1个结果； 所以共有个结果，故选:C. 二、填空题 8．（2021秋·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考阶段练习）设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合的长度为，集合的长度为； 若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端， 的“长度”的最小值为 若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多， 的“长度”的最大值为 则集合的“长度”的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置. 9．（2021秋·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出或，分、、三种情况 进行分类讨论，结合题意可得出方程根的个数，由此可解得实数的值，进而可得出集合. 【详解】由于，则，由，则或. ①当时，则，此时，合乎题意； ②当时，由，可得或，且， 所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得； ③当时，由，可得或，且， 所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合的新定义，考查利用集合的元素个数求参数值，考查计算能力，属于中等题. 10.（2023秋浦东新华师大二附中校考阶段练习）已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 . 【答案】 【分析】根据互斥子集的概念分情况讨论即可. 【详解】根据互斥子集的概念可知， 当集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个， 当集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个， 集合中有个元素时，集合中有个元素，且，，则集合有个，则共个， 所以满足互斥子集的个数， 故答案为：. 三、解答题 11.（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 【答案】(1) (2),其中为相异正整数，理由见解析 【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可； （2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为： （2）解：设,其中, 由题意:,故， 所以，或, 下面讨论和时的情况， 当，即时，由于，故有，即， 所以，但此时，不满足“好集合”的定义，故舍去； 当，即时，此时， 满足“好集合”的定义. 所以，,其中为相异正整数. 12.（2024宝松高级中学练习）设集合，如果对于的任意一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”． (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，证明：． 【答案】(1)5不是，6是； (2)证明见解析 【分析】（1）写出，分别考虑含有5个元素的子集和含有6个元素的子集讨论其中某四个数之和是否为13即可； （2）分析的含有个元素的集合，，其中任意四个元素之和的最小值，不可能等于，所以不是集合的“相关数”，分析当时，不是集合的“相关数”，即可得证. （1） 解：当时，， 它的5个元素的子集中， 它的四个元素之和的最小值，其中任意四个元素之和都不可能为13，所以5不是集合的“相关数”， 它的6个元素的子集中只能是，存在四个元素，所以6是集合的“相关数”； （2） 证明：若为集合的“相关数”，假设，则， 分析的含有个元素的集合， 其中任意四个元素之和的最小值， 不可能等于，则不是集合的“相关数”，与题矛盾， 所以. 13.（2022华师大二附中校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：“若，则”是真命题； (3)证明：若，，则. 【分析】(1)结合性质①②证明，然后利用性质③即可求解；(2)结合(1)中结论，利用归纳法即可求解；(3)结合已知条件，先证明，然后证明，然后证明即可求解. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①②可知，，， 由③可知，. （2）由②可知，对于，，故只需证明对于，， 由(1)中知，， 由，， 假设正整数，则， 故对于，都成立， 从而“若，则”是真命题. （3）若，且，由①②知，，， 由③知，，， 又由②③知，，则， 又由②知，， 因为，， 故时，， 因为，，所以，， 所以由(2)知，，则 ，， 又由，则， 又因为，所以，从而，故， 从而，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $