精品解析：甘肃省酒泉市名校协作体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025—2026学年高二年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 无法确定，与有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求得参数，根据两平行直线的距离公式，可得答案. 【详解】由直线和直线平行可得，解得. 所以两直线的距离为. 故选：B. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程，即可求得的值. 【详解】由题意可知，直线经过圆心， 圆心，∴， 解得. 故选：C. 3 设数列满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推公式求出数列的项，得出数列为周期为的数列，即可求解. 【详解】易得，，，， 又，则数列为周期为的数列， 则. 故选：A 4. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】当截距为0时，令直线为，又点在直线上，则，此时； 当截距不为0时，令直线为，又点在直线上，则， 此时直线为，即； 综上，或. 故选：D 5. 已知数列是等比数列，，且是方程两根，则（ ） A. 8 B. -8 C. 16 D. -64 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项和一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】数列是等比数列，， 所以， 由一元二次方程根与系数的关系可得， 所以. 故选：C 6. 是直线与直线垂直的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直时，系数关系，可求得a的值，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得或2， 所以是直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：B 7. 已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，所以，可得当点与圆心的距离最小时，切线长、最小，此时可得最小，求出的坐标，再求出以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立即可求得直线的方程． 【详解】如图，因为圆的圆心为，半径， 由图可得， 所以， 故当点与圆心的距离最小时，可得最小， 此时直线， 则的方程为，联立，解得，所以， 则以为直径的圆的方程为，即， 两圆方程相减可得直线的方程为． 故选：D． 8. 记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求得，，从而得到，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，又， 所以，则，又，所以， 则，， 由，得到，即，解得， 又，所以使成立的的最大值是， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线的斜率，结合余弦函数确定斜率取值范围，从而可得直线的倾斜角的取值范围，即可得结论. 【详解】已知直线的方程为，且直线的倾斜角为， 由题可知直线的斜率， 所以，又， 所以，故直线的倾斜角的可能取值为和. 故选：AD. 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程可判断AB，由圆心和的距离为，可判断C，由三角换元可判断D. 【详解】由得：，圆心为，A正确， ，即的最大值为，此时，B错误； 的几何意义为上的点到的距离， 圆心和的距离为，又圆的半径为， 所以的最大值为，C正确， 设，； ， 当时，，D正确. 故选：ACD 11. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在不同的三项构成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】利用和关系求通项公式，再结合各项描述、等比等差数列的定义及作商法判断单调性，即可得. 【详解】当时，， 当时，，时不满足， 所以，数列不是等比数列，A对，B错； 对于C，因为，当时，， 所以，数列 为递增数列，C对； 对于D，取，且， 假设存在能构成等差数列，则， 则有，即，所以， 因为，所以，与矛盾； 假设存在能构成等差数列，则，即， 则，即，显然当时无解， 所以中任意三项都不能构成等差数列，D错； 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得到，，进而求出公差，再由等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，得到， 又，所以，则， 所以， 故答案为：. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 圆的概念源于人类对太阳､满月等圆形物体的观察及生产实践，古埃及绳法画圆､古希腊欧几里得理论推导､中国《墨经》概括后，形成系统几何定义.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的方程可知，要使的取值与无关，则，即，即可得出答案. 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 可知， ，要使的取值与无关， 则，则 ， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：. （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和，证明：. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由，两边同时取倒数化简得，即可证明； （2）由（1）可得，利用裂项相消可得，计算，即可证明. 【小问1详解】 因为，两边同时取倒数可得， 所以， 因为， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知， 则，， 所以， 所以 ， 因为，得证. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得，所以直线过定点.得证； 【小问2详解】 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数取值范围是. 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为 17. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，半径为，由题意可得，解得，即可求出圆的方程. （2）设圆心到直线的距离为，由垂径定理求出，再表示出的面积，代入结合二次函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，设，半径为， 因为圆经过点，且与直线相切， 所以， 即，可得：， 所以，， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，因为直线与圆相交，所以， 所以， 所以的面积为： 令，所以， 当时，， 所以的面积的取值范围为. 18. 已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 【答案】（1） （2） （3）使的最小的正整数的值为8 【解析】 【分析】（1）分别代入和，即可得答案. （2）由题意，与原式相减，即可得答案. （3）利用错位相减法可求得表达式，结合的单调性，分析即可得答案， 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 两式相减可得，即， 又满足上式，所以 【小问3详解】 由（2）得， 则， 所以， 两式相减得， 整理得， 所以，则在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以使的最小的正整数的值为8. 19. 设是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且. （1）求点所在圆的方程. （2）设直线与圆交于两点（不与原点重合）. ①若直线过点，且，求直线的方程. ②设直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）①或；②直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）设，由及两点间的距离公式列出方程并化简即可求得圆T的方程； （2）①定点代入直线方程得m与k的关系式，由，根据垂径定理及点到直线的距离公式得m与k的另一个关系式，联立两关系式即可求出k，从而求得直线的方程；②联立直线与圆的方程，根据韦达定理表示出、及，由得，求出m与k的关系式并代入直线方程，即可求出直线的定点. 小问1详解】 设，由得， 两边平方并整理得， ， 所以点所在圆的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知圆T的圆心，半径， ①因为直线过点，所以， 由，根据垂径定理，圆心T到直线l的距离， 所以， 将代入上式并同时平方可得，解得或， 当时，直线l的方程为：， 当时，直线l的方程为：. ②设，， 联立， 由韦达定理得，， ， 因为，所以，即， 所以， 若，则，此时直线方程为，恒过定点； 若，此时直线方程为，代入圆的方程得，解得或， 则原点是直线与圆的其中一个交点，不符合题意. 所以直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和直线平行，则两条直线之间距离为（ ） A. 3 B. C. D. 无法确定，与有关 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 3. 设数列满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知数列是等比数列，，且是方程两根，则（ ） A 8 B. -8 C. 16 D. -64 6. 是直线与直线垂直的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确是（ ） A. 圆心坐标 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在不同的三项构成等差数列 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和.若，则__________. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 14. 圆的概念源于人类对太阳､满月等圆形物体的观察及生产实践，古埃及绳法画圆､古希腊欧几里得理论推导､中国《墨经》概括后，形成系统几何定义.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：. （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和，证明：. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 17. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点，求的面积的取值范围. 18. 已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 19. 设是平面上两点，则满足（其中为常数，且）点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且. （1）求点所在圆的方程. （2）设直线与圆交于两点（不与原点重合）. ①若直线过点，且，求直线的方程. ②设直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $