精品解析：甘肃省酒泉市名校协作体2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025—2026学年高二年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 无法确定，与有关 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 设数列满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知数列是等比数列，，且，是方程两根，则（ ） A. 8 B. -8 C. 16 D. -64 6. 是直线与直线垂直的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在不同的三项构成等差数列 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和.若，，则_____. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 14. 圆的概念源于人类对太阳、满月等圆形物体的观察及生产实践，古埃及绳测画圆、古希腊欧几里得理论推导、中国《墨经》概括后，形成系统几何定义.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x，y无关，则实数的取值范围是_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，. （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和，证明：. 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 17. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 18. 已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 19. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 无法确定，与有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求得参数，根据两平行直线的距离公式，可得答案. 【详解】由直线和直线平行可得，解得. 所以两直线的距离为. 故选：B. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心在直线上建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意，圆心为，因为直线是圆的对称轴， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：C. 3. 设数列满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推公式求出数列的项，得出数列为周期为的数列，即可求解. 【详解】易得，，，， 又，则数列为周期为的数列， 则. 故选：A 4. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为，代入得， 此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，，此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 5. 已知数列是等比数列，，且，是方程两根，则（ ） A. 8 B. -8 C. 16 D. -64 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质知，，再由韦达定理进行求解． 【详解】因为是等比数列，所以，则. 又因为，是方程两根，所以. 故选：C. 6. 是直线与直线垂直的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直时，系数的关系，可求得的值，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由直线与直线垂直， 故，解得或0. 所以是直线与直线垂直的充分不必要条件. 故选：B. 7. 已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断直线与圆的位置关系，由题意知、，则， 所以当取最小值时可取最小值，根据几何图形分析取最小值时的情况并求出P点坐标， 最后利用两相交圆的公共弦的求法求出直线AB的方程. 【详解】因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且， 所以.因为， 当直线时，，，此时最小， 所以直线，由解得 所以以为直径的圆的方程为，即. 两圆的方程相减得，，即直线的方程为. 故选：D 8. 记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，首项为，通过已知条件建立方程组解出，写出等差数列的通项公式和等差数列前项和公式，然后建立不等式解出即可. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 则，即， 解得：， 所以， ， 由，则有， 即，解得， 所以使成立的的最大值是5， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线的斜率，结合余弦函数确定斜率取值范围，从而可得直线的倾斜角的取值范围，即可得结论. 【详解】已知直线的方程为，且直线的倾斜角为， 由题可知直线的斜率， 所以，又， 所以，故直线的倾斜角的可能取值为和. 故选：AD. 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程可判断AB，由圆心和的距离为，可判断C，设， 利用点到直线的距离可求得的最大值，可判断D. 【详解】对于A，方程为， 表示以为圆心，为半径的圆，故A正确； 对于B，，所以，所以， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 又圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点，则有. 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在不同的三项构成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给定的前项和求出项、通项判断AC；利用作商法，结合递增数列意义判断C；利用反证法推理判断D. 【详解】对于A，数列中，，则，A正确； 对于B，当时，， 而不满足上式，则数列不是等比数列，B错误； 对于C，，当时，，因此，数列为递增数列，C正确； 对于D，假设存在第（）项构成等差数列，则， 于是，即，则， 而，即都是偶数，又1是奇数，等式不成立， 若第（）项构成等差数列，则，即， 则，而是整数，等式不成立， 因此中任意三项都不能构成等差数列，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和.若，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，分别求得和，进而求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为，由等差数列的性质，可得，解得， 又因为，所以， 设等差数列的公差为，可得， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，再根据反射光线所在直线经过点即可求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，则对称点为， 由于反射光线所在直线经过点和， 则反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 圆的概念源于人类对太阳、满月等圆形物体的观察及生产实践，古埃及绳测画圆、古希腊欧几里得理论推导、中国《墨经》概括后，形成系统几何定义.现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x，y无关，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】要使的取值与x，y无关，则可看作点到直线与直线的距离之和，所以只需圆在两直线之间，即可得出答案. 【详解】由题意得，所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线的距离之和， 因为的取值与x，y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关，所以只需圆在两直线之间. 显然，直线与相切， 当直线与圆相切时，解得（舍去），或， 所以，则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，. （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和，证明：. 【答案】（1） 因为， 所以，即，又， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. （2） 由（1）得，则. 所以. 所以 . 因为，所以，即证. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）先求出的表达式，然后利用裂项相消法求和，即可得到证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1） 直线，即. 由，解得. 所以直线过定点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 17. 已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径可列方程求解a，从而求得圆心与半径，即可写出圆的方程； （2）设圆心到直线的距离为，利用勾股定理用d表示出进而将整理为关于d的函数，再根据d的范围及二次函数的性质求出的取值范围. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为. 则点到直线的距离，由题意，， 所以，化简得，解得. 所以圆心为，半径， 所以圆的方程是. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则，即. 因为直线与圆交于两点，所以. 所以， 因为，则，所以. 所以的面积的取值范围为. 18. 已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）分别代入和，即可得答案. （2）由题意，与原式相减，即可得答案. （3）利用错位相减法可求得表达式，结合的单调性，分析即可得答案， 【小问1详解】 当时，，得， 当时，，得. 【小问2详解】 因为， 所以当时，，两式作差得，. 所以当时，.又当时，，得，符合上式. 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）知，. 所以， ， 两式相减得， 所以. 所以，所以单调递增. 当时，， 当时，， 所以使的最小的正整数的值为8. 19. 设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，且． （1）求点所在圆的方程． （2）设直线与圆交于，两点（不与原点重合）． ①若直线过点，且，求直线的方程． ②设直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）①或； ②设，，， 联立直线l与圆的方程得， ，， ， ， 直线方程为，令，解得， 直线过定点，命题得证． 【解析】 【分析】（1）结合题干定义及已知条件，得出，再利用两点间距离公式列出方程，整理并化简为标准形式即可； （2）①利用直线与圆的位置关系，结合已知条件求出直线方程；②联立直线与圆的方程，利用韦达定理结合求出之间的关系，进而表示直线方程证明结论． 【小问1详解】 ，，即， ，设点， ，即， 整理得，即圆的方程为． 【小问2详解】 ①设为的中点，，． 又，，即圆心到直线的距离为1． 圆心到直线l的距离，又点在直线上，即， 联立，解得或． 直线的方程为或，即或． 直线的方程为或． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $