精品解析：吉林省吉林市江城中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接开平方即可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=2或x=-2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，掌握如果方程化成x2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±是关键． 3. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 4. 将点向右平移3个单位长度得到点，点与点关于原点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的平移和关于原点对称的性质．点的平移规则：向右平移，横坐标增加；关于原点对称的点，坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】∵点向右平移3个单位长度得到点， ∴的坐标为，即； ∵点与点关于原点对称， ∴的坐标为． 故选：D． 5. 如图，是的直径，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故答案为：1． 8 如图，四边形内接于，若，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． 故答案为：70． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案：． 10. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点在半圆上，点的读数分别为，则的大小为_______度． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理．根据题意，连接，由题意得：，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得：， ∵与都对， ∴， 故答案为：． 11. 已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象及性质，系数符号的确定是解题关键．根据对称轴的位置、开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 详解】解：抛物线开口向下， ， 又对称轴在轴左侧， ， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第一象限， 故答案为：一． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 13. 如图，是等边三角形，点D是BC上一点，经过旋转后到达的位置 （1）旋转中心是点______；旋转了______度．（写出一个即可） （2）若点M是的中点，则经过上述旋转后，点M转到了的______点．（选填“中”或“三等分”） （3）求的度数． 【答案】（1）A；60 （2）中 （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，作答即可； （2）根据旋转的性质，得到，根据点M是的中点，得到旋转后点M转到了的中点； （3）根据旋转的性质，得到，再根据角的和差关系即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为的度数，为； 【小问2详解】 ∵旋转， ∴， ∵点M是的中点， ∴经过上述旋转后，点M转到了的中点； 故答案为：中； 【小问3详解】 ∵是等边三角形， ． 由旋转性质，可得：． ∴． 14. 二次函数与直线的图象交于点． （1）______． （2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）1 （2），顶点坐标为，对称轴为y轴 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据直线的图象过点可求得的值； （2）根据二次函数的图象过点，可求得的值，即可得到二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：直线的图象过点，可得． 故答案为：1； 【小问2详解】 解：由（1）可知，点P的坐标为． ∵点P在二次函数的图象上， ， ∴该二次函数的解析式； ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 15. 有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 【答案】边长为的正方形 【解析】 【分析】此题可以设铁皮的各角应切去边长为的正方形．则底面矩形的长和宽分别是和，然后根据方盒的底面积是列方程求解． 【详解】解：设铁皮的各角应切去边长为的正方形， 根据题意得 解得或（不合题意，应舍去）． 答：切去边长为的正方形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是在列方程的时候，弄清方盒底面的长和宽，能够熟练运用因式分解法解方程． 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的上找一点D，使得． （2）在图②中的上找一点E，使得平分． （3）在图③中的上找一点F，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，圆周角定理． （1）根据圆周角定理即可解答； （2）根据网格的特点取格点N，可得，根据等腰三角形三线合一性质可证，最后根据垂径定理即可解答； （3）取格点，使得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示．（答案不唯一） 【小问2详解】 如图所示．（答案不唯一）， 【小问3详解】 如图所示．如图，，点F即为所求， 17. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． （1）当时，四边形的面积为______． （2）当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； 【小问2详解】 解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 18. 如图，A，P，B，C是上的四个点，． （1）______； （2）判断的形状，并证明你的结论． （3）当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 【答案】（1）60 （2）等边三角形，证明见解析 （3）菱形． 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明即可； （3）如图所示，连接，，设与交于点D，根据题意证明出和都是等边三角形，得到，即可得到四边形是菱形． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 是等边三角形． 证明：， ． 由（1）得． ． ∴是等边三角形； 【小问3详解】 如图所示，连接，，设与交于点D ∵当点O落在上时， ∴ ∵ ∴和都是等边三角形 ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点落在边上时，求的值． （2）当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用—面积问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，然后通过等腰直角三角形性质和勾股定理得，，然后代入即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当点落在边上时，的值为； 【小问2详解】 解：如图，当时，， ∴； 如图，当时，， 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，， ∴； 综上，． 20. 一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． （1）汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． （2）求汽车行驶了18米时的速度． （3）当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】（1）13 （2）10米/秒 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【小问1详解】 解：（米/秒）， 故答案为：13； 【小问2详解】 解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． 【小问3详解】 解：由题意得， ∴． 21 阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： （1）若，则______． （2）解方程：． （3）直接写出的解． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理方程，解一元二次方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． （1）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （2）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （3）仿照材料中的解方程的方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 两边平方去掉根号，得：， 解得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为； 【小问3详解】 解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：， 整理得， 即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为0． 22. 如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）当时，求该抛物线中y的取值范围． （3）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． （4）当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． 【小问3详解】 解：根据题意得； 【小问4详解】 解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期综合练习 九年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 2. 方程的解为（ ） A B. C. ， D. ， 3. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 4. 将点向右平移3个单位长度得到点，点与点关于原点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 8 如图，四边形内接于，若，则______． 9. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 10. 将量角器按如图所示方式放置在三角形纸板上，使顶点在半圆上，点的读数分别为，则的大小为_______度． 11. 已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程x2﹣4x+1=0． 13. 如图，是等边三角形，点D是BC上一点，经过旋转后到达的位置 （1）旋转中心是点______；旋转了______度．（写出一个即可） （2）若点M是的中点，则经过上述旋转后，点M转到了的______点．（选填“中”或“三等分”） （3）求的度数． 14. 二次函数与直线图象交于点． （1）______． （2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 15. 有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 16. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的上找一点D，使得． （2）在图②中的上找一点E，使得平分． （3）在图③中的上找一点F，使得． 17. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． （1）当时，四边形面积为______． （2）当的长为多少时，四边形的面积最大？ 18. 如图，A，P，B，C是上的四个点，． （1）______； （2）判断的形状，并证明你的结论． （3）当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 19. 如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点落在边上时，求的值． （2）当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 20. 一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． （1）汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． （2）求汽车行驶了18米时的速度． （3）当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 21. 阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： （1）若，则______． （2）解方程：． （3）直接写出的解． 22. 如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）当时，求该抛物线中y的取值范围． （3）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． （4）当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $