专题01 二次函数中的铅锤线段问题强化练习（专项训练）数学冀教版九年级下册

专题01 二次函数中的铅锤线段问题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数中的铅锤线段基础问题 1 题型二、二次函数中的铅锤线段的最值延引斜锤周长面积最值问题 2 题型三、构造8字形相似结合铅锤线段解决问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数中的铅锤线段基础问题 1．如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ． 【详解】解：∵PQ∥y轴， ∴可设点，则， ∴， ∴当时，最大，最大值． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 4．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 【详解】（1）解：，在直线上， ， ， ，在抛物线上， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）设动点的坐标为，则点的坐标为， 故答案为： （3）解： ， ∵， ∴当时，线段最大为 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件. 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 【详解】解：（1）设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴直线BC的解析式为 ； （2）把点B（3，0）和C（0，3）代入得： ， 解得： ， ∴抛物线所对应的函数解析式为 ； （3）①， ∴点 ； ②∵ ， ∴当 时，有最大值4， ∴在直线的左侧时， 随 的增大而增大；在直线的右侧时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 当 时， ， ∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为-5； （4）设点 ，则， ∴ ， ∴当 时， 的值最大，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 题型二、二次函数中的铅锤线段的最值延引斜锤周长面积最值问题 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 8．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 9．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； 【详解】（1）设， 把代入得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，延长交x轴于点F， 设点，的周长是l， ∵， ∴， ∵， ∴的周长是12， 设直线BC的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式是：， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为， 当时，， ∴． 综上：周长的最大值为，此时点P的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式． 10．如图，已知二次函数与轴交于点A（，0），B（4，0），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接AC，BC，点是直线上方抛物线上一点，过点作//交直线于点，//轴交直线于点，求△PDE周长的最大值及此时点的坐标； 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴，解得 ， ∴抛物线的解析式为∶ （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为(0，2)， ∴设直线BC的解析式为， ∵直线BC过点B， ∴，解得， ∴直线的解析式为：． 设点，其中 ∴点， ∴． ∵，C(0，2)， ∴，，， ， ∵∥，∥轴， ∴，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ， ∴最大值=，此时， ∴此时点； 11．1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，轴，交于点．当的周长取得最大值时，求点的坐标和的周长的最大值； 【详解】（1）解：由题意得 ∴ ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的解析式为，则 ∴． ∴直线的解析式为． 令，则，∴， 则在，中． ∵轴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴ ∵， ∴， 当值最大时，最大． 设点，其中，∴ 则． ∴当时，的值最大，． ∴的最大值， 此时点． 12．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值． 【详解】解：（1）把代入得， ∴． 把代入， 得，∴． ∴抛物线的解析式为； （2）令，则，解得或3， ∴抛物线与轴的交点横坐标分别为和3． ∵点在抛物线上，且在第一象限内， ∴． 将代入，得，解得， ∴． 如解图，连接，由题意知，点的坐标为， 则 ， ∵，且， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点，点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标． (3)以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的D点坐标． 【详解】（1）解：依题意，，代入， 得 解得 ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由（1）知， 则， ∵ ∴ 设直线的解析式为 把，代入， 得 则 所以直线的解析式为 设直线，则该直线的解析式可表示为： 则 当直线l与抛物线只有一个交点时，如图： 可列方程： 即，且； ∴，即； ∴直线l： ∴点M即直线l和抛物线的唯一交点，则 ， 解得： 即． 过M点作轴于N， 所以点，最大是4； （3）解：由（2）知，， ∵以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形 ∴当，时 则点向右平移5个单位长度到点，点向右平移5个单位长度到点，此时点D的坐标为， 或者点向右平移5个单位长度到点，点向右平移5个单位长度到点，此时点D的坐标为 ∴当，时 则点向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度到点，点向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度到点，此时， 或者点向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度到点，点向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度到点，此时点D的坐标为； 综上所述：符合条件的D点坐标为或或 【点睛】考查了二次函数综合题，平行四边形性质，一次函数等内容，综合性很强．熟练二次函数的图象性质以及一次函数的性质，根与系数的关系，以及三角形的面积公式是理出思路的关键．（3）要分讨论求解是解题的关键． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于C点，已知点，点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标． 【详解】（1）将、点代入抛物线的解析式得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）如图所示：过点M作，垂足为交于点D． 令得：，解得：，． ∴． 设的解析式为． ∵将代入得：，解得：，， ∴抛物线的解析式为． 设点M的坐标为．则点D的坐标为． ∵， ∴． ∴． ∴当时，的面积有最大值，的面积的最大值为4． ∵将代入得：， ∴点，面积最大值是4． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值，列出的面积与a的函数关系式是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D在直线BC下方的抛物线上，如图，连接、，设四边形的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）对于，令， 解得：； 令，则， 故点B、C的坐标分别为； 将点B、C的坐标代入抛物线表达式得， 解得：， 故抛物线的表达式为； （2）连接，点D的坐标为（x，）， 则 ＝（） ＝， ∵，故S有最大值， 当时，S有最大值8． 【点睛】本题考查二次函数解析式和动点构成的面积，待定系数法求函数解析式和利用分割法求面积是解题的关键． 16．如图1，已知抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S． 【详解】（1）∵抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点 ∴ ∴ ∴抛物线解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为 （2）∵点，点， ∴直线AB解析式 当时，， ∴点 如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P， 设直线PC解析式为， ∴，且只有一个交点， ∴ ∴， ∴直线PC解析式为， ∴当，， ∴点C坐标， ∴ ∵， ∴， ∴点， ∵在此抛物线上有且只有三个P点使得的面积是定值S， ∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离， ∴， ∴点， 设的解析式为， ∴﹣＝﹣2+m，即 ∴的解析式为， ∴， ∴， ∴点， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键 17．如图，直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC=S△BOC时，求点E的坐标； (3)若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC取值在什么范围时，对应的点F有且只有两个？ 【详解】（1）解：由y=-x+4知点B（0，4），点C（4，0）， 将B（0，4），C（4，0）代入y＝x2+bx+c， 可得， 解得， ∴y＝x2+x+4； （2）如图，过点E作x轴的垂线交BC于点N，如下图所示， 设点E(a，a2+a+4)，则点N（a，-a+4）， ∴S△BEC＝EN|xB−xC|＝2|a2+a+4+a−4|＝|−a2+a| S△BOC＝BO•OC＝8， ∵S△BEC＝S△BOC， ∴|−a2+a|＝2， 解得x1＝，x2＝，x3＝，x4＝， 将x1，x2代入抛物线解析式， 可得y1＝，y2＝，y3＝，y4＝， ∴E1(，)，E2(，)，E3(，)，E4(，)； （3）由题意得，当F点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的F点满足△BCF面积为S，所以当F点在直线BC的上方的抛物线上时，此时无F点满足△BCF面积为S才符合题意，故只需讨论当点F在直线BC的上方的情况即可， 设点F(m，−m2+m+4)， 由（2）同理可得S△BFC＝−m2+m＝− (m−2)2+， ∴当m=2时S△BFC的最大值为， ∴当S△BFC取值大于时，无法找到F点， 综上所述：当S△BFC＞时，对应的点F有且只有两个． 【点睛】本题考查了待定系数法求解拋物线的解析式、二次函数的性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，关键是用抛物线上点的坐标表示线段的长或三角形面积． 题型三、构造8字形相似结合铅锤线段解决问题 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，   ， ， ． 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ． ， 整理得， 解得， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点， 把、两点坐标代入抛物线得： 解得，． 所以抛物线的解析式为． （2）如图，过点A作轴，交的延长线于点P，过点M作轴交于点Q，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：； ∵轴， ∴当时，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴ 解得，， ∴或； 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于．    (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； 【详解】（1）根据点，， 设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线解析式为． （2）∵，， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据抛物线的解析式为， 设， 过点D作轴，交直线于点F， 故点F的纵坐标为， ∴． 解得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 解得，      ∴或． 21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D． (1)如图1，当m＝1时， ①求该二次函数的解析式； ②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值； 【详解】（1）解：①由m＝1可知点C（0，﹣3）， 抛物线与轴交点为、， 抛物线解析式为：， 将点代入上式，得， ， 抛物线的解析式为：； ②由①可知抛物线解析式为，则设， 设直线的解析式为， 由题意可得， 解得， 直线的解析式为， 如图1，过点作轴，交于，则， 点， ， ， ∴， ， ， 当时，的最大值为； 1．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)线段的最大值为及此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和函数图象上点的坐标关系． （1）根据一次函数，分别令和，求出直线与轴、轴的交点、点的坐标，然后根据抛物线经过点、，将这两点坐标代入抛物线解析式得出方程组并求解得出抛物线解析式即可； （2）设点的坐标为，由于轴交直线于点，得到点横坐标为，代入直线得出点坐标，然后用点纵坐标减去点纵坐标求出线段长度的解析式，然后将其化为顶点式得出当时，取得最大值，最大值为，最后将代入抛物线解析式求出点纵坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、， 当时，，解得， 当时，，解得， ，． 抛物线经过点，， 将点，代入， 得， 解得， 抛物线解析式为， 即． （2）解：设点的坐标为， 轴交直线于点， 点的坐标为， ， 将整理成顶点式可得 该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 将代入抛物线解析式得， 点的坐标为． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）将、代入抛物线得方程组求解即可得到答案； （2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将、代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式； （2）解：①由（1）知二次函数的关系式， 点是抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得， ，解得， 直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为， 、， 的面积为， 、， ； ②由①知，， ， ，满足， 的面积有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)2.25， 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：由（1）可得：， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点，与y轴、x轴分别交于点B和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)结合函数图象，当时，x的取值范围为_______________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数综合． （1）根据题意，设抛物线解析式为 把代入，计算求出即可； （2）令，求出，作轴于D，结合的面积，计算即可； （3）先求出抛物线与x轴的交点，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线图象顶点， ∴设抛物线解析式为 ， 把代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时， ， ∴． 作轴于D， 如图． ∵， ∴； （3）解：令，即， 解得或， 由函数图象得，当时，x的取值范围为， 故答案为：． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_________； (2)求该拋物线的函数表达式； (3)点是该拋物线上的动点，过点作轴于点，交AC于点，设点的横坐标为． ①当时，则点的坐标是_________； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；②；最大值． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）对于函数，令和分别求出点A和C的坐标即可； （2）设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解； （3）设则求出长，然后根据列方程，并解方程即可； ②根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可． 【详解】（1）解：对于函数，当时，； 当时，，解得， ∴直线与轴，轴的交点坐标分别为， 故答案为： （2）∵抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入, 得: 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为, 即； （3）①设则 ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； 故答案为： ②， ， ∴当时, 有最大值． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，过点C的直线交线段于点M，若，直接写出点M的坐标； (3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，，垂足为F．当时，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)F点坐标或 F点坐标为 【分析】（1）先求出，，将代入解方程组即可； （2）设，其中，求解，结合，再建立方程求解即可； （3）过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，设，则，则，得到，可得或，得到为等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，则在中，由勾股定理得，故当时，此时，；当 时，此时，； 【详解】（1）解：当，， 解得：或， ∴， 当， ∴， 将代入 得：， 解得：； （2）解：由（1）得直线为， ∵过点C的直线交线段于点M， ∴设，其中， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：过点作轴于点G，过点E作于点H， 由（1）得一次函数解析式为：， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴，而， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，由勾股定理得， 又轴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴当时，此时， ∴； 当 时，此时 ∴， 综上所述：或； 【点睛】本题考查了二次函数与面积的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2025·河北石家庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 将代入得， 二次函数的表达式为． （2）解：令得，， 解得， ． 当时， ． 设直线交对称轴于点的解析式为， 把代入解析式得： 解得： 直线的解析式为． 当时，， ． ． （3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴， ． ， 设，则， ． ， 当时，有最大值，此时的最大值为． 9．（24-25九年级上·河北沧州·期中）抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)或4 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将代入解方程组即可； （2）过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，设，则，则，得到，可得或，得到为等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，则在中，由勾股定理得，故当时，此时，；当 时，此时，； （3）当时，则，设直线解析式为：，可求直线解析式为：，与直线联立得：，求得，那么；当时，则，同理可求，综上所述：的面积为或4． 【详解】（1）解：当，， 解得：或， ∴， 当， ∴， 将代入 得：， 解得：； （2）解：过点作轴于点G，过点E作于点H， 由（1）得一次函数解析式为：， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴，而， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，由勾股定理得， 又轴， ∴， ∴在中，由勾股定理得 ∴当时，此时， ∴； 当 时，此时 ∴， 综上所述：或； （3）解：当时，则， 设直线解析式为：， 代入得：， 解得： ∴直线解析式为：， 与直线联立得：， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，同理可求， 综上所述：的面积为或4． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)最大值， 【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，求二次函数的最值，勾股定理，利用割补法表示出的面积时解题的关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式为； （2）先求得，得出当直线的解析式，平移后的解析式为：过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出的取值范围，进而可得答案． （3）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2） 当时，，当时，， 解得， ∴， 设直线为 ∴ 解得： ∴ ∵将直线向上平移个单位长度， ∴ 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点时，， 解得，； 当直线过点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴平移后的直线与图像有两个公共点时，的取值范围为或． （3）解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． 连接，设点， 由，得 ， ． ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数中的铅锤线段问题强化练习 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数中的铅锤线段基础问题 1 题型二、二次函数中的铅锤线段的最值延引斜锤周长面积最值问题 3 题型三、构造8字形相似结合铅锤线段解决问题 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数中的铅锤线段基础问题 1．如图，抛物线 与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ． 2．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 4．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如果设点的坐标为，则点的坐标可表示为__________； (3)在（2）的条件下，请用含有的式子表示的长，并确定长度的最大值． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式． （3）①顶点D的坐标为________；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________． （4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 题型二、二次函数中的铅锤线段的最值延引斜锤周长面积最值问题 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 8．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 9．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； 10．如图，已知二次函数与轴交于点A（，0），B（4，0），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接AC，BC，点是直线上方抛物线上一点，过点作//交直线于点，//轴交直线于点，求△PDE周长的最大值及此时点的坐标； 11．1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，轴，交于点．当的周长取得最大值时，求点的坐标和的周长的最大值； 12．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值． 13．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点，点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标． (3)以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的D点坐标． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于C点，已知点，点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D在直线BC下方的抛物线上，如图，连接、，设四边形的面积为S，求S的最大值． 16．如图1，已知抛物线，与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S． 17．如图，直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC=S△BOC时，求点E的坐标； (3)若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC取值在什么范围时，对应的点F有且只有两个？ 题型三、构造8字形相似结合铅锤线段解决问题 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于．    (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； 21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D． (1)如图1，当m＝1时， ①求该二次函数的解析式； ②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值； 1．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式． (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，抛物线图象顶点，与y轴、x轴分别交于点B和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)结合函数图象，当时，x的取值范围为_______________． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_________； (2)求该拋物线的函数表达式； (3)点是该拋物线上的动点，过点作轴于点，交AC于点，设点的横坐标为． ①当时，则点的坐标是_________； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，过点C的直线交线段于点M，若，直接写出点M的坐标； (3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，，垂足为F．当时，求点F的坐标． 8．（2025·河北石家庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 9．（24-25九年级上·河北沧州·期中）抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $