内容正文:
2025-2026学年度第一学期期中质量监测
九年级数学试题
(本试卷共4页,满分120分,考试时间共120分钟)
★祝考试顺利★
一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分)
1. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3,则一次项系数和常数项分别是( )
A. , B. , C. ,1 D. ,1
【答案】B
【解析】
【分析】先化成一元二次方程的一般形式,再找出一次项系数和常数项即可.
【详解】将一元二次方程 ,化成一般式得: ,
一次项系数和常数项分别为:
故选:B
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式.掌握一元二次方程的一般形式是 ,其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项是解题关键.
2. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形:将图形沿某点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形;轴对称图形:将图形沿某条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案.
【详解】解:由题意可得,
A选项图形不是中心对称图形,故不符合题意,
B选项图形不是轴对称图形,故不符合题意,
C选项图形不是轴对称图形,故不符合题意,
D即是中心对称图形也是轴对称图形,符合题意,
故选D.
【点睛】本题考查中心对称图形:将图形沿某点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形;轴对称图形:将图形沿某条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形.
3. 用配方法解方程时,方程可变形为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程.先把常数项移到方程的右边,再两边都加上一次项系数一半的平方,再配方即可判断.
【详解】解:,
移项得,
配方得,即;
故选:A.
4. 对于二次函数的图象,下列说法中不正确的是( )
A. 顶点是 B. 开口向上
C. 与轴有两个交点 D. 对称轴是
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可.
【详解】解:对于y=5(x﹣3)2+2,则该函数的对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,2),
A.二次函数y=5(x﹣3)2+2的图象的顶点坐标为(3,2),故本选项不符合题意;
B.由于a=5>0,所以抛物线开口向上,故本选项不符合题意;
C.由于y=5(x﹣3)2+2=5x2﹣30x+47,则△=b2﹣4ac=900﹣4×5×47=﹣40<0,所以该抛物线与x轴没有交点,故本选项符合题意;
D.对于y=5(x﹣3)2+2,则该函数的对称轴为直线x=3,故本选项不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点,主要考查函数图象上点的坐标特征,要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点,顶点等点坐标的求法,及这些点代表的意义及函数特征.
5. 抛物线y=﹣x2向上平移2个单位,再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为( )
A. y=﹣(x+3)2+2 B. y=﹣(x﹣3)2+2
C. y=﹣(x+3)2﹣2 D. y=﹣(x﹣3)2﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律,进而得出平移后抛物线的解析式即可.
【详解】解:抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为:y=﹣x2+2,
再向左平移3个单位得到解析式:y=﹣(x+3)2+2;
故选A.
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律,解决本题的关键是熟记“左加右减,上加下减”.
6. 某县开展关于精准扶贫的决策部署后,贫困户2023年人均纯收入为3800元,经过帮扶到2025年预计人均纯收入为5000元,设该贫困户每年纯收入的平均增长率为,则下面列出的方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平均增长率的应用,从2023年到2025年是两年时间,平均增长率为x,则2024年人均纯收入为元,2025年人均纯收入为,结合题意,即可获得答案.
【详解】解:∵ 从2023年到2025年经历了两年增长,且平均增长率为x,
则2024年人均纯收入元,2025年人均纯收入为元,
根据题意,可得.
故选:D.
7. 二次函数的图像如图所示,那么一次函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像与性质、一次函数图像与性质,结合二次函数图像确定的取值范围,然后结合一次函数的图像与性质,即可获得答案.
【详解】解:对于二次函数,由题意可知,
其图像开口向下,则,
∴,
该二次函数图像的对称轴在轴左侧,
则,
结合可得,
∴,
∴对于一次函数,可知随的增大而减小,
当时,则,即该一次函数的图像与轴交于正半轴,
∴选项A、C、D不符合题意,选项B符合题意.
故选:B.
8. 如图所示,的半径是6,弦,,且于点P,则的长为( )
A. B. C. 7 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】作于M,于N,连接,,首先利用勾股定理求得、的长,然后判定四边形是矩形,求得,根据勾股定理求出即可.
【详解】解:作于M,于N,连接,,
∵,,
∴,,
∵的半径是,
∴,
∴,
,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴四边形是矩形,
∵,
∴在中,由勾股定理得:
,故B正确.
故选:B.
【点睛】本题主要考查的是垂径定理及勾股定理,矩形的判定和性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
9. 如图,平面直角坐标系中,已知,,为轴正半轴上一个动点,将线段绕点逆时针旋转,点的对应点为,则线段的最小值是( )
A. B. 12 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转,三角形全等的判定和性质,勾股定理的应用以及二次函数的性质,表示出点Q的坐标是解题的关键.设,则,证明,由全等三角形的性质可得,,可确定点Q的坐标,然后根据勾股定理得到,即可求得当时,有最小值,即可获得答案.
【详解】解:∵,
∴,
设,则,
作轴于点,如下图,
∵将线段绕点逆时针旋转,点的对应点为,
∴,,
∴,
∴,
又∵,,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴当时,BQ有最小值,最小值为.
故选:A.
10. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图像顶点为P(1,m),经过点A(2,1);有以下结论:①a<0;②abc>0;③4a+2b+c=1;④x>1时,y随x的增大而减小;⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定;②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答;③将点A的坐标代入即可解答;④根据函数图像即可解答;⑤运用作差法判定即可.
【详解】解:①由抛物线的开口方向向下,则a<0,故①正确;
②∵抛物线的顶点为P(1,m)
∴,b=-2a
∵a<0
∴b>0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c>0
∴abc<0,故②错误;
③∵抛物线经过点A(2,1)
∴1=a·22+2b+c,即4a+2b+c=1,故③正确;
④∵抛物线的顶点为P(1,m),且开口方向向下
∴x>1时,y随x的增大而减小,即④正确;
⑤∵a<0
∴at2+bt-(a+b)
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a(t2-2t+1)
= a(t-1)2≤0
∴at2+bt≤a+b,则⑤正确
综上,正确的共有4个.
故答案为C.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质,灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 关于x的一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是________.
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程(,a,b,c为常数)的定义以及根的判别式,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式,解不等式求解即可.
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有实数根
∴且,
解得且,
故答案为:且.
12. 在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标,根据“两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答.
【详解】解:点关于原点对称的点的坐标是.
故答案为:.
13. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是_________.
【答案】6
【解析】
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,根据主干、支干和小分支的总数是43,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【详解】解:设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,
依题意得:,
整理得:,
解得:=-7(不合题意,舍去),=6.
故答案为:6.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
14. 已知⊙的直径为26cm,AB、CD是⊙的两条弦,,AB=24cm,CD=10cm,则、之间的距离为_______cm.
【答案】7或17##17或7
【解析】
【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论,画出图形,过圆心O作两弦的垂线,利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离,从而可求出两弦间的距离.
【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时,如图1
过点O作OF⊥CD交AB于点E,连接OA,OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24,CD=10
∴AE=12,CF=5
又∵⊙的直径为26
∴OA=OC=13
∴,
∴EF=OF-OE=7
②当弦AB、CD在圆心的异侧时,如图2
过点O作OF⊥CD,延长FO交AB于点E,连接OA,OC
∵
∴OE⊥AB
∵AB=24,CD=10
∴AE=12,CF=5
又∵⊙的直径为26
∴OA=OC=13
∴,
∴EF=OF+OE=17
故答案为:7或17.
【点睛】本题主要考查了垂径定理,解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论.
15. 已知函数的图像如图所示,若直线与该图像有公共点,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查分段函数的图像与性质,一次函数图像上点的坐标特征,结合图像求出的最大值和最小值是解题的关键.根据题意可知,当直线经过点时,直线与该图像有公共点;当直线与抛物线只有一个交点时,令的,进而可得出的最大值是15,最小值是2,即可得到答案.
【详解】解:当直线经过点时,
可有,解得;
当直线与抛物线只有一个交点时,可得,
整理得,
∴,
∴,解得或(舍去),
∴的最大值是15,最小值是2,
∴若直线与该图像有公共点,则的取值范围是.
故答案为:.
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. 解方程:
(1).
(2).
【答案】(1),
(2),
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程,解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法,如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等.
(1)将原方程整理为,然后利用因式分解法求解即可;
(2)利用公式法解该一元二次方程即可.
【小问1详解】
解:,
,
,
,
∴,;
【小问2详解】
解:,
∵,
∴,
∴,
∴,.
17. 如图,在平面直角坐标系中,正方形网格的边长为2,的三个顶点分别是,,.
(1)把向左平移8个单位后得到对应的,请画出平移后的;
(2)把绕原点旋转后得到对应的,请画出旋转后的;
(3)观察图形可知,与关于点( , )中心对称.
【答案】(1)见详解 (2)见详解
(3),0
【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形等知识,熟练掌握相关知识是解题关键.
(1)根据平移的性质确定点的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据旋转的性质确定点的位置,然后顺次连接即可;
(3)分别连接与,与,与,它们都相交于同一点,由此可得出结论.
【小问1详解】
解:如下图,即为所求;
【小问2详解】
如图所示,即为所求;
【小问3详解】
观察图形可知,与关于点中心对称.
故答案为:,0.
18. 已知关于一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为、,且,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】(1)根据方程有实数根的条件,即求解即可;
(2)由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来,然后根据完全平方公式将变形为,再代入计算即可解出答案.
【详解】(1)由题意可得:
解得:
即实数m的取值范围是.
(2)由可得:
∵;
∴
解得:或
∵
∴
即的值为-2.
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系,要牢记:(1)当时,方程有实数根;(2)掌握根与系数的关系,即韦达定理;(3)熟记完全平方公式等是解题的关键.
19. 如图,已知抛物线经过点.
(1)求的值,并求出此抛物线的顶点坐标;
(2)当时,直接写出的取值范围;
(3)当时,请根据图像直接写出的取值范围.
【答案】(1)的值为,此抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质等知识,
(1)将点代入抛物线并求解,即可确定的值,进而可得该二次函数解析并将其转化为顶点式,即可确定此抛物线的顶点坐标;
(2)首先确定该函数图像开口向下,结合顶点坐标可得当时,可有取最大值,最大值为4,然后分别计算和时的值,即可获得答案;
(3)结合图像确定的取值范围即可.
【小问1详解】
解:将点代入抛物线,
可得,
解得,
∴该抛物线解析式为,
∵,
∴此抛物线的顶点坐标为;
【小问2详解】
由(1)可知,该抛物线的解析式为,其顶点坐标为,
∵,
∴该抛物线开口向下,
∴当时,取最大值,最大值为4,
当时,,
当时,,
∴当时,的取值范围为;
【小问3详解】
当时,结合图像可知,的取值范围为.
20. 如图,是的直径,弦交于点E,点B是劣弧的中点.
(1)求证:.
(2)若,的半径为1,求弦的长.
【答案】(1)
证明:∵点B是劣弧的中点,是的直径,
∴,,
∴.
(2)
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理,等腰三角形的性质,勾股定理,解题的关键是求出.
(1)根据垂径定理可得答案;
(2)先求出,再求出,最后根据勾股定理可得答案.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:如图,连接,
∵,,,
,
∵,
∴,
∴,
,
,
.
21. 如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为.如果要使彩条所占面积是图案面积的,应如何设计彩条的宽度?
【答案】竖彩条的宽度为1cm,横彩条的宽度为2cm.
【解析】
【分析】可设竖彩条的宽是xcm,则横彩条的宽是2xcm,根据彩条所占面积是图案面积的,可列方程求解,同时要考虑x的取值范围.
【详解】解:设竖彩条的宽为xcm,则横彩条的宽为2xcm,则有:
,
解得:,,
且,
整理得:x2﹣20x+19=0,
解得:x1=1,x2=19(不合题意,舍去),
∴.
答:竖彩条的宽度为1cm,横彩条的宽度为2cm.
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用:面积类问题及不等式组的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.
22. 某商品每件进价为元,当每件售价为元,每天可卖出件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖5件.设每件涨价元,每天获利为元.
(1)直接写出与之间的函数关系式;
(2)每天获利是否可达到元,给出你的结论,并说明理由;
(3)某天购进件该商品,若先涨价销售部分商品,然后剩余的商品按每件元可当天售完,求当天获利的最大值.
【答案】(1)
(2)每天获利不可能达到元,理由见解析
(3) 元
【解析】
【分析】(1)根据每天所得的销售利润=每件的销售利润×每天可卖出的件数列出解析式;
(2)由,再列方程利用判别式即可求解;
(3)由(1)知,涨价x元卖出件,则26元卖出 件,进而求解;
【小问1详解】
解:由题意得:;
【小问2详解】
解:每天获利不可能达到元,理由:
由题意得:,即,
整理得:,
△,故方程无解,
即每天获利不可能达到元;
【小问3详解】
解:由题意得:,
故当天获利的最大值为元.
【点睛】本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用,掌握二次函数的性质是解题的关键.
23. 如图1,在等腰中,,,点,分别在,上,,连接,,取中点,连接.
(1)求证:,;
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置.
①请直接写出与的位置关系:___________________;
②求证:.
【答案】(1)证明:在和中,
,,,
,
,.
是斜边的中点,
,
,
,
.
,
,
.
;
(2)①;
②证明: ∵,
,
,
.
【解析】
【分析】(1)先证明得到,,根据直角三角形斜边中线性质得到,根据等边对等角证明,进而可证明;
(2)①延长到点,使,连接,延长到,使,连接并延长交于点.先证明,得到,,进而,.证明得到,然后利用三角形的中位线性质得到,则,进而证明即可得到结论;
②根据得到即可得到结论.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:①延长到点,使,连接,延长到,使,连接并延长交于点.
,,,
,
,,
,
,
,
,
.
,
.
在和中,
,,,
,
.
是中点,是中点,
是中位线,
.
,
,
.
,
.
故答案为:;
②略
24. 如图,抛物线交x轴于点和点B,交y轴于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段上的一动点,作轴,交抛物线于点D,求线段长度的最大值和点Q的坐标
【答案】(1)
(2),,
(3)有最大值,此时点的坐标为
【解析】
【分析】(1)把点A、C的坐标分别代入函数解析式,解方程组即可得到结论;
(2)设P点坐标为,根据列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标;
(3)先求出直线的解析式为,再设Q点坐标为,则D点坐标为,然后用含x的代数式表示,根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值.
【小问1详解】
解:把,代入,
得:,解得:,
故该抛物线的解析式为:;
【小问2详解】
由(1)知,该抛物线的解析式为,
当时,即,解得:,,则,
设P点坐标为,
∵,
∴,
整理,得或,
解得或,
则符合条件的点P的坐标为:,,;
【小问3详解】
设直线的解析式为,
将,代入,得:,
解得:,
即直线的解析式为.
设Q点坐标为,(),则D点坐标为,
,
∴当时,有最大值,此时点的坐标为.
【点睛】考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式,二次函数的性质以及线段长度问题.此题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想.
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2025-2026学年度第一学期期中质量监测
九年级数学试题
(本试卷共4页,满分120分,考试时间共120分钟)
★祝考试顺利★
一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分)
1. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3,则一次项系数和常数项分别是( )
A. , B. , C. ,1 D. ,1
2. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程时,方程可变形为( )
A. B. C. D.
4. 对于二次函数的图象,下列说法中不正确的是( )
A. 顶点是 B. 开口向上
C. 与轴有两个交点 D. 对称轴是
5. 抛物线y=﹣x2向上平移2个单位,再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为( )
A. y=﹣(x+3)2+2 B. y=﹣(x﹣3)2+2
C. y=﹣(x+3)2﹣2 D. y=﹣(x﹣3)2﹣2
6. 某县开展关于精准扶贫的决策部署后,贫困户2023年人均纯收入为3800元,经过帮扶到2025年预计人均纯收入为5000元,设该贫困户每年纯收入的平均增长率为,则下面列出的方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 二次函数的图像如图所示,那么一次函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
8. 如图所示,的半径是6,弦,,且于点P,则的长为( )
A. B. C. 7 D. 4
9. 如图,平面直角坐标系中,已知,,为轴正半轴上一个动点,将线段绕点逆时针旋转,点的对应点为,则线段的最小值是( )
A. B. 12 C. D.
10. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的图像顶点为P(1,m),经过点A(2,1);有以下结论:①a<0;②abc>0;③4a+2b+c=1;④x>1时,y随x的增大而减小;⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 关于x的一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是________.
12. 在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是___________.
13. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是_________.
14. 已知⊙的直径为26cm,AB、CD是⊙的两条弦,,AB=24cm,CD=10cm,则、之间的距离为_______cm.
15. 已知函数的图像如图所示,若直线与该图像有公共点,则的取值范围是________.
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. 解方程:
(1).
(2).
17. 如图,在平面直角坐标系中,正方形网格的边长为2,的三个顶点分别是,,.
(1)把向左平移8个单位后得到对应的,请画出平移后的;
(2)把绕原点旋转后得到对应的,请画出旋转后的;
(3)观察图形可知,与关于点( , )中心对称.
18. 已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为、,且,求的值.
19. 如图,已知抛物线经过点.
(1)求的值,并求出此抛物线的顶点坐标;
(2)当时,直接写出的取值范围;
(3)当时,请根据图像直接写出的取值范围.
20. 如图,是的直径,弦交于点E,点B是劣弧的中点.
(1)求证:.
(2)若,的半径为1,求弦的长.
21. 如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为.如果要使彩条所占面积是图案面积的,应如何设计彩条的宽度?
22. 某商品每件进价为元,当每件售价为元,每天可卖出件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖5件.设每件涨价元,每天获利为元.
(1)直接写出与之间的函数关系式;
(2)每天获利是否可达到元,给出你的结论,并说明理由;
(3)某天购进件该商品,若先涨价销售部分商品,然后剩余的商品按每件元可当天售完,求当天获利的最大值.
23. 如图1,在等腰中,,,点,分别在,上,,连接,,取中点,连接.
(1)求证:,;
(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置.
①请直接写出与的位置关系:___________________;
②求证:.
24. 如图,抛物线交x轴于点和点B,交y轴于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段上的一动点,作轴,交抛物线于点D,求线段长度的最大值和点Q的坐标
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