精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度上学期期中考试高一年级数学试卷 命题人：刘彦永 校对人：王辉 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数有意义，须满足，解不等式即可得解. 【详解】要使函数有意义，须满足， 即，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以，，ACD选项错误，B选项正确. 故选：B 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过解分式不等式求得正确答案. 【详解】由得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 5. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 6. 若，，且，则（ ） A. 有最小值144 B. 有最大值288 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】A选项根据基本不等式，结合已知条件求出的最大值；B选项根据基本不等式，结合已知条件求出的最小值；C选项将进行变形，然后利用基本不等式求出其最小值；D选项对进行展开，结合的取值范围求出的最大值. 【详解】对于A选项，，，，， 当且仅当时等号成立，的最大值为.故A错误； 对于B选项，，，，， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为.故B错误； 对于C选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， 当且仅当时等号成立，的最小值为.故C正确； 对于D选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， ，的最大值为， 当且仅当时等号成立.故D错误. 故选：C. 7. 已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以， 因此，. 故选：A. 8. 已知正数，满足，则下列四个说法正确的个数有（ ） ①；②；③；④ A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个 【答案】D 【解析】 【分析】将给定等式变形，借助平方数为非负数放缩，结合不等式性质逐个判断即得. 【详解】由为正数，，得， 则，解得，当且仅当时取等号，②正确； ，当且仅当时取等号，③正确； ，当且仅当时取等号，①正确； ，当且仅当时取等号，④正确， 所以给定四个说法正确的个数有4个. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质和基本不等式，对每个选项逐判断即可. 【详解】选项A：若，则，此时，不满足，故选项A错误； 选项B：由可知，和均为正实数，且（因为）. 由基本不等式可得， 又因为，等号不成立，因此，故选项B正确； 选项C：， 由可知： 分子：，，故； 分母：，，故. 因此，即，所以，故选项C正确； 选项D： 由，根据基本不等式，，当且仅当时等号成立. 因此，即，选项D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数至少有一个零点 B. 若在上有最小值，则在上有最大值24 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质逐项判断即可确定答案. 【详解】由题意可知：函数是定义在上奇函数，其图象关于原点对称. 对A：令，则， 所以函数至少有一个零点，故A正确； 对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值， 则在上有最大值24，故B正确； 对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数， 则在上也为增函数，故C不正确； 对D：设，则，所以， 又，所以（）. 故D不正确. 故选：AB 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若在上单调递增，则取值范围是 C. 存在实数使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合一次函数、二次函数的性质，利用分段函数的单调性，值域逐项判断. 【详解】选项A：，. 由，得，解得，故选项A正确； 选项B：若在上单调递增，需满足： 当时，单调递增，则； 当时，单调递增（开口向上，对称轴），则； 分段点衔接：，则， 综上可，即，选项B正确. 选项C：若在上单调递减： 当时，单调递减，则； 当时，单调递减（开口向上），对称轴. 但与矛盾，故不存在这样的，故选项C错误； 选项D：若的值域为： 当时，时值域无法覆盖全体实数（时为常数，时为），不满足； 当时，段单调递增，值域为； 若，段的最小值为，需，得； 若，段的最小值为，此时恒成立. 综上可得，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上. 12. 已知函数是偶函数，则函数的零点是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义结合函数解析式确定的值再利用零点的定义即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，根据偶函数的定义， 代入得， 整理得：对所有的成立，可得，.因此， 令，得，故函数的零点是. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合图象以及单调性求得的取值范围. 【详解】由，解得或. 所以， 画出的大致图象如下图所示， 依题意，函数在上单调递增， 则或， 解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 函数称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，.若函数有个零点，则关于的不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由零点定义结合求得，再逐一分析取值得有6个零点，再根据的定义，解不等式即可. 【详解】令，则有，即， 又因为表示不超过的最大整数，所以， 从而得， 由可得，由，可得， 所以， 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 当时，，则当，满足； 因为， 所以当或均不满足题意； 所以的值只能取，即有个零点，所以； 所以不等式即为， 即，解得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以不等式的解集. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先通过解不等式求集合，再进行集合的交集运算即可； （2）由充分不必要条件知，即可求的取值范围. 【小问1详解】 因为， 当时，， ； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 而， ，解得，经检验符合题意， 故实数的取值范围是. 16. 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1） （2）产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ， 时，，， 时，即2024年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 17. 已知函数，. （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据零点存定理，以及函数单调性，列出不等式，求出参数范围即可； （2）根据双变量恒成立的性质，判断函数最值之间的关系，根据函数性质，判断在所给区间上的最值，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. 【小问1详解】 的对称轴是， 在区间上是减函数， 当在上存在零点，则有，即，解得， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可得，当存在，对任意的，都有时，等价于， 由（1）可知的对称轴是，根据二次函数对称性可知， 当时，，则， 故，解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数值域的子集. 当时，，的值域为， 下面求，的值域， ①当时，，不合题意，故舍； ②当时，的值域为， 只需，即，解得； ③当时，的值域为， 只需要，即，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 18. 在函数的定义域内，若存在实数满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）判断函数是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； （2）若函数是“局部反比例对称函数”，其中是正整数，求的值； （3）若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是“局部反比例对称函数”，理由见解析； （2）或 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用“局部反比例对称函数”的定义进行判断； （2）利用“局部反比例对称函数”的定义将函数是“局部反比例对称函数”转化为方程有解的问题进行求解； （3）将问题转化为方程在上有解，再进行分情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，均有， 故函数是“局部反比例对称函数”； 【小问2详解】 因为函数是“局部反比例对称函数”， 所以，化简得， 要使得等式成立，则，解得. 又，所以或. 【小问3详解】 根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得，当且仅当时等号成立， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图像开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 19. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点和稳定点均为2和4. （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点、稳定点的定义列方程，解方程求得不动点和稳定点. （2）（ⅰ）根据稳定点的定义列方程，因式分解后对进行分类讨论，由此求得稳定点个数. （ⅱ）结合（ⅰ）的结论先确定的大致范围，以及两个稳定点，结合恒成立、函数的单调性、值域等知识确定的取值范围. 【小问1详解】 令，则，解得或， 令，则，整理得，解得或， 经检验知均满足条件，故函数的不动点和稳定点均为2和4. 【小问2详解】 （ⅰ），令，得， 即，得， 所以. ①当，即时，方程为， 解得，此时有一个稳定点； ②当时，的判别式. 若，即时，此时有两个稳定点； 若，即或； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 若，即或， 且， 此时有四个稳定点； 综上所述，当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，有两个稳定点为和1. 因为，，故取，得， 解得，所以，，因为，解得， 由（ⅰ）知，故，此时，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时，的值域为， 即的值域为.由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中考试高一年级数学试卷 命题人：刘彦永 校对人：王辉 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A B. C. D. 5. 已知均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，，且，则（ ） A. 有最小值144 B. 有最大值288 C. 有最小值 D. 有最小值 7. 已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，则下列四个说法正确个数有（ ） ①；②；③；④ A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数至少有一个零点 B. 若上有最小值，则在上有最大值24 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的取值范围是 C. 存在实数使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸相应位置上. 12. 已知函数是偶函数，则函数的零点是__________. 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 14. 函数称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，.若函数有个零点，则关于的不等式的解集是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 17. 已知函数，. （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 18. 在函数的定义域内，若存在实数满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）判断函数是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由； （2）若函数是“局部反比例对称函数”，其中是正整数，求的值； （3）若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 19. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $