专题4.4 幂函数（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.4 幂函数 教学目标 1．理解幂函数的定义，掌握系数为 1、底数是单个自变量等核心特征，能判断函数是否为幂函数； 2．熟记时五个幂函数的图象，掌握其定义域、值域、奇偶性、单调性及过的性质； 3．会根据正负判断幂函数单调性，能运用该规律解决基础问题 教学重难点 重点：幂函数的定义与特征；五个常见幂函数的图象和核心性质。 难点：灵活运用幂函数性质；结合正负判断单调性并应用。 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“________”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是________ 【即学即练】 1．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 ________ ________ 值域 ________ 奇偶性 奇函数 偶函数 ________ 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 ________上递增 ________上递减 定点 ________ 注意：幂函数在区间上，当________时，是增函数；当________时，是减函数． 【即学即练】 1．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数，则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 题型01 判断函数是否为幂函数 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【变式1-3】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 判断一个函数是否为幂函数的方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 题型02 求幂函数的解析式 【例3】已知幂函数的图象经过点，则 . 【例4】已知幂函数的图像经过点和点则 . 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，那么该幂函数的解析式为 ． 【变式2-2】幂函数的图象经过点，则实数 . 【变式2-3】（多选）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 题型03 根据函数是幂函数求参数 【例5】已知函数是幂函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．3或 D．或1 【例6】已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式3-2】（多选）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【变式3-3】“点在幂函数图象上”的充要条件是 ． 题型04 求幂函数的定义域 【例7】下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【例8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-1】下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】幂函数的图象过点，则 ，的定义域为 ． 【变式4-3】若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 题型05 求幂函数的值域 【例9】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【例10】函数的定义域是，则它的值域是 . 【变式5-1】设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【变式5-2】设函数，的值域是 ． 【变式5-3】已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 题型06 幂函数的图象的判断及定点问题 【例11】如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【例12】已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【变式6-1】如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【变式6-3】函数的图象恒过点 . 解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 题型07 幂函数的单调性问题 【例13】下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【例14】幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式7-1】已知函数，设，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增，上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减，上单调递增 【变式7-2】已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式7-3】若幂函数在上是增函数，则实数 ． 需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 题型08 幂函数的奇偶性问题 【例15】使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 【例16】幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 【变式8-3】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 根据幂函数的单调性比较大小 【例17】已知实数，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【例18】已知，则“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式9-1】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】若，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 比较幂值大小的方法: （1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． （2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． （3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 题型10 根据幂函数的单调性解不等式 【例19】已知幂函数的图象过点，则的解集为 . 【例20】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【变式10-2】已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式10-3】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ． 一、单选题 1．若幂函数是偶函数，则的图象大致为（    ） A．B．C．D． 2．已知是常数，幂函数在上单调递增，则（   ） A．9 B．3 C． D． 3．已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 4．设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 7．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．若幂函数在上单调递减，则的值可能是（    ） A． B．4 C． D．8 9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．若，则或 D．当时，，若，则 三、填空题 10．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 11．若幂函数为奇函数，则 ，且不等式的解集为 ． 12．已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 四、解答题 13．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 14．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 15．已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 16．已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 幂函数 教学目标 1．理解幂函数的定义，掌握系数为 1、底数是单个自变量等核心特征，能判断函数是否为幂函数； 2．熟记时五个幂函数的图象，掌握其定义域、值域、奇偶性、单调性及过的性质； 3．会根据正负判断幂函数单调性，能运用该规律解决基础问题 教学重难点 重点：幂函数的定义与特征；五个常见幂函数的图象和核心性质。 难点：灵活运用幂函数性质；结合正负判断单调性并应用。 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 【即学即练】 1．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】幂函数的通式为（为常数）， 则BCD选项均符合幂函数的定义， 而A选项为指数函数，不符合幂函数的定义， 故选：A. 2．已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 【即学即练】 1．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 2．已知幂函数，则是（    ） A．偶函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递减 C．奇函数且在上单调递增 D．奇函数且在上单调递减 【答案】B 【详解】为定义域上的偶函数且在上单调递减. 故选：B. 题型01 判断函数是否为幂函数 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 【例2】下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. 【变式1-2】下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 【变式1-3】判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】答案见解析 【详解】因为形如（且）是指数函数， 形如（）是幂函数， 所以（1）是幂函数，（2）是幂函数， （3）是指数函数，（4）是幂函数， （5）是指数函数，（6）是指数函数. 判断一个函数是否为幂函数的方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 题型02 求幂函数的解析式 【例3】已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】36 【详解】依题意，所以， 所以，所以. 故答案为：36 【例4】已知幂函数的图像经过点和点则 . 【答案】3 【详解】， ， . 故答案为：3 【变式2-1】已知幂函数的图象过点，那么该幂函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】依题意，设， 由幂函数的图象过点，得，解得， 所以该幂函数的解析式为. 故答案为： 【变式2-2】幂函数的图象经过点，则实数 . 【答案】/-0.5 【详解】幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 【变式2-3】（多选）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 【答案】BCD 【详解】由是幂函数，则， 所以或，故或，A错， 所以或，B对， 显然、都是偶函数，C对， 由，而，故，D对. 故选：BCD 题型03 根据函数是幂函数求参数 【例5】已知函数是幂函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．3或 D．或1 【答案】C 【详解】由题可得：，解得：或； 故选：C 【例6】已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数为幂函数， 得，解得或， 所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-1】“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3-2】（多选）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 【变式3-3】“点在幂函数图象上”的充要条件是 ． 【答案】 【详解】是幂函数等价于，即．则得. 则点在幂函数图象上,当且仅当点满足方程，即． 故答案为：. 题型04 求幂函数的定义域 【例7】下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B 【例8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【变式4-1】下列函数中，与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，但，故A错误； 对于B，函数的定义域为，但，故B正确； 对于C，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，故D错误； 故选：B. 【变式4-2】幂函数的图象过点，则 ，的定义域为 ． 【答案】 2 【详解】解：设幂函数，其图象过点，；解得，，故， 由，解得：，故函数的定义域为：. 故答案为2， 【点睛】本题考查了根据函数图象上的点求函数解析式的应用问题，是基础题目． 【变式4-3】若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 题型05 求幂函数的值域 【例9】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【例10】函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式5-1】设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 【变式5-2】设函数，的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 【变式5-3】已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 . 【答案】1，3 【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件； 当时，为偶函数，值域为，不满足条件； 当时，为奇函数，值域为R，满足条件. 故答案为：1，3 题型06 幂函数的图象的判断及定点问题 【例11】如图所示是函数（、为互素的正整数）的图象，则（　　） A．是奇数且 B．是偶数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 【答案】D 【详解】观察图象得，函数在上单调递增，则， 当时，，则，BC错误； 函数的图象关于轴对称，则是偶数，是奇数，A错误，D正确. 故选：D 【例12】已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 【变式6-1】如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 【变式6-2】（多选）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 【变式6-3】函数的图象恒过点 . 【答案】 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 题型07 幂函数的单调性问题 【例13】下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 ．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②⑥ 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故③④不满足题意， 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，但，故⑤不满足题意； 因为的定义域为，但，故⑥满足题意． 故答案为：②⑥． 【例14】幂函数在上单调递减，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【详解】由函数为幂函数，得， 解得或， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 故， 故选：B 【变式7-1】已知函数，设，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增，上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减，上单调递增 【答案】D 【详解】，定义域为R， 当时，单调递增，当时，单调递减， 在上单调递减，上单调递增. 故选：D 【变式7-2】已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 【变式7-3】若幂函数在上是增函数，则实数 ． 【答案】 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 题型08 幂函数的奇偶性问题 【例15】使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为偶函数，则不能为，，可以为，. 又在上是减函数，则. 故选：C 【例16】幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 【变式8-1】已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】函数， 若，则，是奇函数； 若是奇函数，则. 故“”是“是奇函数”的充要条件. 故选：C. 【变式8-2】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 【答案】 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 【变式8-3】已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 题型09 根据幂函数的单调性比较大小 【例17】已知实数，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且, 所以，即. 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以. 故选：A 【例18】已知，则“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】由于函数在上单调递增， 故当时，可得； 当时，也可得， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 【变式9-1】已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】故， , 所以，故. 故. 故选：D. 【变式9-2】若，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】在上单调递增，当时，； 在上单调递增，当时，； 综上所述：，. 故选：D. 【变式9-3】已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，等价于，所以，即“”的充要条件是“”； 因为在上单调递增，等价于，所以，即“”的充要条件是“”. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 比较幂值大小的方法: （1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． （2）若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． （3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 题型10 根据幂函数的单调性解不等式 【例19】已知幂函数的图象过点，则的解集为 . 【答案】 【详解】依题意设幂函数，因为已知幂函数的图象过点， 所以，解得，所以， 显然是偶函数，且在上单调递增， 所以， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 【例20】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式10-1】已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式10-2】已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】 【详解】（1）函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； （2）由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式10-3】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 一、单选题 1．若幂函数是偶函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 若，则是偶函数，符合题意； 若，则是奇函数，不符合题意. 即 ，据此可得大致图象符合选项A. 故选：A 2．已知是常数，幂函数在上单调递增，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由于是幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递减，不符合题意. 当时，，在上单调递增，符合题意， 则. 故选：A 3．已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 4．设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 5．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 6．已知函数，正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【详解】因为，为奇函数， 所以， 因为在上单调递增，所以，即， 因为均为正数， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：A 7．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 二、多选题 8．若幂函数在上单调递减，则的值可能是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】AB 【详解】设幂函数， 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，定义域为，不符合题意； 若，则，，在上单调递增，不符合题意； 故选：AB 9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【详解】由题可设，因为幂函数的图象经过点， 所以，所以，所以，故A正确； 由上的定义域为，又对，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由是偶函数，得， 所以，即，解得，故C错误； 因为时，，所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 10．若幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】设幂函数的解析式为， 由幂函数的图象经过点，得，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为： 11．若幂函数为奇函数，则 ，且不等式的解集为 ． 【答案】 2 【详解】因为为幂函数，则，解得或， 当时，，为奇函数，符合题意； 当时，，为偶函数，不符合题意，所以， 可知在定义域上单调递增，若，则， 解得，即不等式的解集为． 故答案为：2;． 12．已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 四、解答题 13．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 14．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 15．已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 16．已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，定义域为R，关于原点对称， 显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意. 故. （2）由（1）可知，，则， 任取，，且， 则 . 因为，所以，， 则，，所以， 则， 所以， 则，即， 故在上单调递增. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $