专题02 三角函数中的十二类压轴题（选填题）（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02 三角函数中的十二类压轴题（选填题） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角函数零点（方程的）含参问题（常考点） 1 题型二、三角函数零点个数和零点代数和问题 4 题型三、三角函数最值（含分式型/二次函数型/复合函数型） 8 题型四、三角函数最值含参问题 11 题型五、三角函数单调性含参问题 13 题型六、三角函数恒成立含参问题 16 题型七、三角函数能成立（有解）含参问题 18 题型八、含绝对值的三角函数问题（难点） 21 题型九、根据图象求三角函数解析式问题（重点） 24 题型十、三角函数对称性、周期性、平移伸缩等问题 29 题型十一、三角函数的新定义问题 31 题型十二、三角函数综合型压轴问题（难点） 34 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角函数零点（方程的）含参问题（常考点） 1．（2025·湖南·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ． 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数（）在上恰有三个零点，且分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ）（多选题） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南·课后作业）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ．    题型二、三角函数零点个数和零点代数和问题 6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·模拟预测）如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则= . 9．（24-25高一下·河南漯河·期末）已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2025·福建泉州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 题型三、三角函数（含分式型/二次函数型/复合函数型）最值 11．（25-26高一上·湖南·课后作业）求函数的最大值与最小值之和为 . 12．（24-25高一下·广西桂林·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 13．（2025高三·重庆·专题练习）函数的值域为 ． 14．（2025高一· 成都·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 15．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（    ）（多选题） A．的最小正周期为 B．若，则的最小值为 C．若，关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D．当时，设在区间上的最大值为，最小值为，若，则的最小值为 题型四、三角函数最值含参问题 16．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ． 17．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知函数，若函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·山东·阶段练习）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 19．（25-26高三上·广东·开学考试）设函数．已知，且当时，的最小值为3，则（ ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五、三角函数单调性含参问题 21．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 22．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数，若图象相邻的两条曲线与轴分别交于点和，且在区间上单调递减，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 题型六、三角函数恒成立含参问题 26．（2025高三·广东·期中）设，恒成立，则m的取值范围为 ． 27．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数（，）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，且对，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 ． 29．（24-25高一下·山东日照·期末）关于的不等式在上恒成立，则 . 30．（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）若对任何实数，恒成立，则的最大值为 . 题型七、三角函数能成立（有解）含参问题 31．（2025高三·湖南·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 32．（24-25高一下·江西·期末）已知函数，若对于任意，总存在，使，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·陕西汉中·期末）设函数，若在区间上具有单调性，且，则（    ）（多选题） A．的最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点中心对称 D．存在，使得成立 35．（2025高一上·全国·专题练习）设函数（且）满足以下条件：①；②，使得，且．则关于的不等式的最小正整数解为 ． 题型八、含绝对值的三角函数问题（难点） 36．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（    ）（多选题） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 38．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）关于函数，以下说法正确的是（    ）（多选题） A．是偶函数 B．在区间单调递减 C．在上有四个根 D．的最大值为2 40．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C． D．在区间上单调递减 题型九、根据图象求三角函数解析式问题（重点） 41．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则下列结论正确的是（   ）（多选题） A． B．若，则 C． D．若在上单调递减且，则的最大值为 42．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则（    ）（多选题）    A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数为奇函数 D．若，则的最小值为 44．（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，且为函数图象上相邻的最高点和最低点，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在下列区间一定单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 45．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）函数（，，）的部分图象如图中实线所示，圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列区间中，函数单调递减的是（   ）（多选题） A． B． C． D． 题型十、三角函数对称性、周期性、平移伸缩等问题 46．（24-25高一下·河南·期中）已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则 . 47．（25-26高一上·广东·月考）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ． 48．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·河北张家口·期中）设函数，若．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十一、三角函数的新定义问题 51．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 52．（2025·广东·模拟预测）如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”的是（    ）（多选题） A． B． C． D． 53．（25-26高一上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义，若，且，则（    ） A． B．1 C． D． 54．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（    ）（多选题） A． B． C． D． 55．（24-25高一下·河北保定·期末）平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ． 题型十二、三角函数综合型压轴问题（难点） 56．（25-26高一上·湖北·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ，实数的取值范围是 ． 57．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 58．（2025高三·广东·专题练习）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高三上·天津静海·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的个数（    ） ①；②，恒成立 ③对任意，，，， ④若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 60．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若函数为偶函数，则 B．若时，且在上单调，则 C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D．若函数在上至少有两个最大值点，则 1．（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数在上没有零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）函数的所有零点之和为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高三上·山东·开学考试）若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东江门·开学考试）函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（       ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期是 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆半径为，则函数的解析式为 9．（25-26高三上·四川·阶段练习）已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化t时，以下情形可能的是（   ）（多选题） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ）（多选题） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 12．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A．当时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1 D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为 . 14．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为 15．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数满足恒成立.①的取值范围是 ；②若，则的最小值为 . 16．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 17．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 18．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数中的十二类压轴题（选填题）（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角函数零点（方程的）含参问题（常考点） 1 题型二、三角函数零点个数和零点代数和问题 4 题型三、三角函数最值（含分式型/二次函数型/复合函数型） 8 题型四、三角函数最值含参问题 11 题型五、三角函数单调性含参问题 13 题型六、三角函数恒成立含参问题 16 题型七、三角函数能成立（有解）含参问题 18 题型八、含绝对值的三角函数问题（难点） 21 题型九、根据图象求三角函数解析式问题（重点） 24 题型十、三角函数对称性、周期性、平移伸缩等问题 29 题型十一、三角函数的新定义问题 31 题型十二、三角函数综合型压轴问题（难点） 34 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角函数零点（方程的）含参问题（常考点） 1．（2025·湖南·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知得，得． 令得；令得；令得；令得；令得， ，即的取值范围为．故答案为：. 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意可得函数（且）， 所以由三角函数周期性性质可知方程有无数个解方程有解方程有解，设，因为且， 所以当为奇数时，， 当时，， 综上，的值域为，所以的取值范围为.故选：D. 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据函数的部分图象，可得，，∴，∴，∴. 由函数经过点，根据五点法作图可得，∴.又，∴，. 令，则当时，， 所以方程在上有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线如下图所示： 由图可知：方程在上有两个不相等的实数根时，则实数的取值范围为. 故选：B. 4．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数（）在上恰有三个零点，且分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】令，可得.设. 因为，所以. 如图， 由的图像可知，，，， 所以.所以. 因为函数在恰有三个零点，由图可知，，解得.故选：AD 5．（25-26高一上·湖南·课后作业）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则的取值范围为 ．    【答案】 【详解】记的最小正周期为，由题图可得， ∴，∴， 又，∴，∴． 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故．当时，． ∵在上恰有3个零点，如图：则，解得，故答案为：．    题型二、三角函数零点个数和零点代数和问题 6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数，则的所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，故， 故由题意转化为在区间上有两个不相等的实数根， 令，则在上有两个不相等的实数根， 故，则函数与在上有两个不同的交点， 由正弦函数的性质关于对称，则，解得， 故，即，所以的所有零点之和为.故选：A. 7．（2025·河南·模拟预测）如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的零点即为的解， 令，则为的解， 也就是与的某相邻三个交点的横坐标， 由得，故， 由正弦函数的性质可得，，故. 又，故. 由，得，故 故选：C. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上的根从小到大依次为，，，，，则= . 【答案】 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 所以，由，可得，因为，可得， 设，则，即，结合正弦函数，的图象，如图， 可得方程在区间有6个解，可得， 即，， 所以，， 所以 .故答案为： 9．（24-25高一下·河南漯河·期末）已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为点在函数图象上，所以，所以，， 函数零点的个数转化为方程即的解的个数， 也可转化为函数的图象与函数图象交点的个数， 因为的取值会改变的表达式，所以需要分类讨论， （1）当且时，，，， 当时，，当时，， 由图可知，与图象有个交点； （2）当且时，，，， 当时，，当时，， 由图可知，与图象有个交点；综上，零点个数为个.故选：C. 10．（2025·福建泉州·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 在坐标系中，由五点法作图画出两函数在上的图象，如图：    观测图象知，函数与在上的图象有8个交点.故选：D 题型三、三角函数（含分式型/二次函数型/复合函数型）最值 11．（25-26高一上·湖南·课后作业）求函数的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【详解】令，因为，所以，则原函数等价于， 因为的图象的对称轴方程为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，所以当时，，当时，， 故函数的最大值与最小值之和为. 12．（24-25高一下·广西桂林·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为.故选：C. 13．（2025高三·重庆·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，则在上单调递增， 因为定义域为，且，，所以函数的值域为. 14．（2025高一· 成都·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】令，因，，则， 从而， 因在上单调递减，则， 故，即函数的值域为. 15．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（    ）（多选题） A．的最小正周期为 B．若，则的最小值为 C．若，关于的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D．当时，设在区间上的最大值为，最小值为，若，则的最小值为 【答案】BD 【详解】对于A，因为，所以的最小周期为，故A错误； 对于B，因为，所以，整理得， 因为，所以当时，取得最小值，故 B 正确； 对于C，若​，则，那么， 当时，，区间长度为且不包括端点， 结合正弦函数​的解的分布，可知最多有 3 个不相等实数解，故C错误； 对于D，当时，函数，其最小正周期， 而区间的长度为，即，且， 由可得， 所以函数的单调递增区间为. ①当时，即， 则有 ， 而，所以，即. ②当时，即， 则有 ， 而，所以，即. ③当时，即， 当时， ， 则， ，所以； 当时， ， 则， ，所以. ④当时，即， 当时， ， 则， ，所以； 当时， ， 则， ，所以. 综上，的最小值为，故D正确. 故选：BD. 题型四、三角函数最值含参问题 16．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图：    当时，函数在区间上的最大值为，最小值； 当时，函数在区间上的最大值为1，最小值为. 综上可知：实数的取值范围为．故答案为： 17．（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知函数，若函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在处取得最小值， 又，所以.故选：D． 18．（25-26高三上·山东·阶段练习）若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得.故答案为： 19．（25-26高三上·广东·开学考试）设函数．已知，且当时，的最小值为3，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的值域为，， 所以只有当函数值同时取最大值1或最小值-1时，才满足， 即和是函数取得相同极值（同为最大值或同为最小值）的两个不同自变量. 此时的最小值为函数的最小正周期，即,解得， 因为，所以， 又，所以，所以.故选：C 20．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的值域为，所以. 又，所以，根据正弦函数的图象可知，解得， 又，所以，所以的取值范围是.故选：A 题型五、三角函数单调性含参问题 21．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，所以，即，又因为，则有， 又，，则得， 消去，可得，即， 因为，所以，可得， 故当时，取得最大值为5， 当时，，，，此时，符合题意.故选：B. 22．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，故，故， 又由函数的图象关于原点对称，得，解得， 则， 当时，，若函数在区间上单调， 则，则．故选：A． 23．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增，则的取值范围. 故选：B. 24．（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数，若图象相邻的两条曲线与轴分别交于点和，且在区间上单调递减，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】正切函数图象与轴的相邻两交点之间的距离即为最小正周期， 则，由，得，即. 由于存在单调递减区间，则，所以. 因为函数的对称中心，所以，得， 又，所以或，当时，， 由，得， 则函数的单调递减区间为， 令，则的一个单调递减区间为，又， 则函数在上单调递减，所以满足题意； 当时，，由，得， 则函数的单调递减区间为， 令，则的一个单调递减区间为，又， 则函数在上单调递减，所以满足题意.综上可得，或.故选：AD. 25．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为在区间上单调，所以，得到，所以，解得， 又，所以， 则由的图象与性质知， 所以，得到，所以，当，解得， 又，所以.故答案为：. 题型六、三角函数恒成立含参问题 26．（2025高三·广东·期中）设，恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设可得，即， 故在上恒成立， 因为，所以，，所以， 令，则（*）， 令，且在上单调递减（如图），所以的值域为，    故要使（*）式在上恒成立，只需，即． 27．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数（，）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，且对，恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得图象的相邻两条对称轴间的距离为3， 可得，所以，所以， 又由，可得为的一条对称轴， 所以，解得，又因为，所以.故选：D 28．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题，可得为函数的最小值，为的最大值， 所以，则，又， ，得，由，所以当时，为最小值.故答案为：. 29．（24-25高一下·山东日照·期末）关于的不等式在上恒成立，则 . 【答案】 【详解】，故当， 即时，， 当，即时，， 当或，即或时，， 要想不等式在上恒成立，与零点相同， 且在上，在时，， 所以，，故， 故或，解得，故，， 经验证，满足上，在时，， .故答案为： 30．（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）若对任何实数，恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，， 因为的图象可由向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 最后把图象上所有点向下平移个单位得到，其图象如图1， 其中， ， 又函数的图象恒过定点，故依条件可知当且仅当函数的图象经过， ，时，取得最大值，如图2所示， 此时最小正周期为，所以，取得最大值.故答案为：. 题型七、三角函数能成立（有解）含参问题 31．（2025高三·湖南·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得． 因为，所以.所以， 当时，取得最小值为；当时，取得最大值为：.所以.故选：C 32．（24-25高一下·江西·期末）已知函数，若对于任意，总存在，使，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得当时，．令，解得． 故当，即时，需要满足可以取遍区间中的每一个值． 当时，，无法满足；当时，，无法满足； 当时，，无法满足；当时，，可以取遍．故选：D． 33．（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得，所以的取值范围为.故选：A. 34．（24-25高一下·陕西汉中·期末）设函数，若在区间上具有单调性，且，则（    ）（多选题） A．的最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点中心对称 D．存在，使得成立 【答案】AB 【详解】若在区间上具有单调性，则，则， 又，则，因为， 所以一条对称轴为，一个对称中心横坐标为， 对称中心为，则，所以，， 所以对称轴为，对称中心为， 对于A，，故A正确；对于B，当时，对称轴为，故B正确； 对于C，假设图象关于点中心对称，则，此时，不符合题意，故C错误； 对于D，，，则，， 若，则则，则， 故在，不存在使得成立，故D错误，故选：AB. 35．（2025高一上·全国·专题练习）设函数（且）满足以下条件：①；②，使得，且．则关于的不等式的最小正整数解为 ． 【答案】2 【详解】由①得：，则，（1） 由②得：，则，（2） 且，即，联立（1）（2）得：， 因为，所以，， 解得：，，所以，所以， 将代入得：， 因为，所以，所以， ， ，则或， 当，解得：，，，， 当时，，该区间中的正整数为， 当，解得：，，，， 当时，，该区间中的正整数为2，综上，不等式的最小正整数解为2．故答案为：2 题型八、含绝对值的三角函数问题（难点） 36．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）下列函数中，以为周期的函数有（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因，而，而，故A错误； 对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误． 故选：BC． 37．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域是 C．是的一个周期 D．的图象关于点对称 【答案】D 【详解】对于A选项，，，，故A正确； 对于B选项，要使有意义，则有， 的定义域是，故B正确； 对于C选项，，是的一个周期，故C正确； 对于D选项，如图的图象不关于点对称，故D错误.故选：D. 38．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，其图象如图所示：    由图知：函数在上单调递减. 故选：C 39．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）关于函数，以下说法正确的是（    ）（多选题） A．是偶函数 B．在区间单调递减 C．在上有四个根 D．的最大值为2 【答案】ACD 【详解】对于A，因为的定义域为R， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，； 当时，； 又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如图所示： 由图象可知：在上单调递增，故B不正确； 对于C，与在上有四个交点，即有四个根，故C正确； 对于D，，由图象可知，故D正确.故选：ACD. 40．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）（多选题） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C． D．在区间上单调递减 【答案】AD 【详解】函数的最小正周期是， 函数图象轴上及上方部分不变，轴下方的部分翻折到上方，得函数的图象， 则的最小正周期是，A选项正确； 函数的图象都在轴上及轴上方，不可能关于轴上的点中心对称，B选项错误； ，正弦函数在上单调递增， ，有，C选项错误；时，， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 结合图像的翻折可知，在区间上单调递减，D选项正确.故选：AD 题型九、根据图象求三角函数解析式问题（重点） 41．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，则下列结论正确的是（   ）（多选题） A． B．若，则 C． D．若在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则，设函数最小正周期为，所以，故 又，则，解得：，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上， 所以，因，则. 则，令，则，或，， 则，或，，则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，， 则，故C错误； 对于D，由B分析，，因， 则，又在单调递减且， 则，则，因存在，则. 则，的最大值为，故D正确.故选：ABD. 42．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点， 是边长为2的正三角形，， ，，，，， 又，，解得，， 将点代入得，， ，，，.故选：A. 43．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则（    ）（多选题）    A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数为奇函数 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【详解】由图象得解得，的周期为，所以， 又由对称轴可得，可得，可知函数. 将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，可得的图象， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得的图象， 所以．对于A，当时，，所以是的一个对称中心， 所以有，故A正确； 对于B，将代入，得，故B错误； 对于C，不是奇函数，故C错误； 对于D，若，则的最小值为，故D正确．故选：AD 44．（25-26高一上·湖南·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，且为函数图象上相邻的最高点和最低点，且，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在下列区间一定单调递增的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象知，因为，所以 所以所以， 又，代入得，所以，又，所以．故 将的图象向右平移个单位长度，可得到函数， 令，即，当时，符合题意． 故选：D. 45．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）函数（，，）的部分图象如图中实线所示，圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列区间中，函数单调递减的是（   ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于圆心为函数的对称中心，因此可得交点，关于点中心对称， 由此可得：，故，即. 又，因，所以. 由，得，又因，所以， 故，又因为， 令（），解得：（） 当时，得：函数的单调递减区间为. 故选：C 题型十、三角函数对称性、周期性、平移伸缩等问题 46．（24-25高一下·河南·期中）已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则 . 【答案】 【详解】依题意，，或， 或，或， 解得或或或，， 而，则，，所以. 故答案为： 47．（25-26高一上·广东·月考）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ． 【答案】1 【详解】已知函数，最小值，最大值， 且的最小值为.函数取最大值和最小值时，相位差为的奇数倍， 故最小相位差为，对应最小距离：. 验证：时，取最大值时，如； 取最小值时，如.距离为，符合条件.所以 的图象向右平移,得. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，得. 当时，计算角的范围：， 在上，在上递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：1. 48．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，又函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 由可得，，解得：，， 因为是使变换成立的最小正值，由时，可得．故选：C． 49．（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 当是奇函数时，，解得， 因为，则时，．故选：C． 50．（24-25高一下·河北张家口·期中）设函数，若．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知，， ，，，，，，， 当且仅当或时（，），．故选：A． 题型十一、三角函数的新定义问题 51．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【答案】D 【详解】对于AB，当时，，，AB错误；对于C，，C错误； 对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称， 则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确. 故选：D 52．（2025·广东·模拟预测）如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”的是（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为为奇函数，故，故图象的对称中心为. 因为为偶函数，故，故图象的对称轴为. 对于A，的对称轴为，此时， 而，故不是对称中心，故A错误； 对于B，的对称中心的横坐标为，此时， 而，故不是对称轴，故B错误； 对于C，，，故函数图象有一个对称中心， 而，故为函数图象的对称轴，故C正确； 对于D，因为，故为函数图象的对称， 而，故函数图象有一个对称轴，故D正确.故选：CD. 53．（25-26高一上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义，若，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以由三角函数的定义可知， ． 方法一  结合解得，所以． 方法二  两边平方得，则，则， 因为，所以，而，得，即， 所以．故选：C 54．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A，若角和广义互余，则，即， 则，故A错误； 对于选项B，若角和广义互余，则， 解得，则，故B错误； 对于选项C，若角和广义互余，则，故C正确； 对于选项D，若角和广义互余，则， 即满足的角可能与角广义互余，故D正确．故选：CD． 55．（24-25高一下·河北保定·期末）平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点， 所以（为正整数）有正整数解，因为值域内的正整数只有1和2， 当时，由，解得，则为方程的正整数解， 所以，即，因为，所以，则，； 当时，由，解得不是正整数，故舍去，综上，.故答案为： 题型十二、三角函数综合型压轴问题（难点） 56．（25-26高一上·湖北·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ，实数的取值范围是 ． 【答案】 / 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 的图象关于点对称，，即， ． ①若，则在区间上单调递增， ，当时，，，解得． ②若，则在区间上单调递增， ，当时，， ，解得，此时解集为空集．综上可得，．故答案为：, 57．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递减，且和是两个对称中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，即，则，所以， 且和是两个对称中心，且，所以和在同一周期内， 又的一个周期内有个对称中心，所以，即，，则， 又，解得，， 又当，时单调递减，解得，， 所以区间为的一个子集， 所以，结合得，，可得， 所以，所以，故D正确.故选：D. 58．（2025高三·广东·专题练习）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，，则，．又由得， 则，时，，令，由函数的图象可知， 要使在内有两个零点和三条对称轴，需满足，解得．故选:A. 59．（25-26高三上·天津静海·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的个数（    ） ①；②，恒成立 ③对任意，，，， ④若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由图象可得，函数的最大值为，即， 又由，即，且，所以，所以， 因为且为单调递减区间上的零点，所以， 可得，，由图象知，可得， 又由，所以，所以，故①错误； 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，，令，解得（舍去）， 故不是函数的对称轴，若，恒成立，则关于对称，故②错误； 因为函数单调递增区间的长度的最大值为， 若对任意，，，，则，故③错误； 由，因为，不妨令且， 设，要求的最小值，即的最小值，即绝对值最小的零点， 令，，可得，， 由时，，所以，故④正确.故选：A. 60．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若函数为偶函数，则 B．若时，且在上单调，则 C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D．若函数在上至少有两个最大值点，则 【答案】AD 【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则， 则，故A项正确； 对于B项，若时，，因为，所以， 因为在上单调，所以有，解得，故B项错误； 对于C项，由题意，则，所以或， 则或，所以相邻交点最小的距离为，最大距离为. 由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于， 相邻五个交点之间的最小距离不小于，所以，且，所以，故C项错误； 对于D项，，故，所以，所以. 因为，所以.由于，所以， 则①，解得；②，解得；③，解得； ④当时，， 满足函数在上至少有两个最大值点，综上所述，，故D项正确. 故选：AD. 1．（2025·海南·模拟预测）函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（    ） A． B． C．在上有2个零点 D． 【答案】C 【详解】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误；对于B，由，得或，而， 当时，，在不单调；当时， ，符合题意，，B错误； 对于C，由，得， 解得，当时，或，C正确； 对于D，，D错误.故选：C 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数在上没有零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的最小正周期为，且在上没有零点，, 所以，所以，因为，所以的最小值为.故选：C. 3．（2025·四川成都·模拟预测）函数的所有零点之和为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】函数的零点即为的解， 即与图象交点横坐标， 因为，故为图象的对称轴， 而也是的对称轴，又的最小正周期为， 在平面直角坐标系中画出的图象（如图所示）： 因，，， 故与图象在的右侧有且仅有个不同的交点， 故与图象所有不同交点的横坐标和为.故选：D. 4．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，， ，，，， 又，，，，，．故选：B. 5．（25-26高三上·山东·开学考试）若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期. 而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故. 所以.故，因，所以. 因在上单调递增，因此，即. 所以的值域为.故选：D 6．（2025·河北·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值.所以.故选：C. 7．（2025·湖南·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数，又函数在上单调， 所以函数的最小正周期，则，又，所以． 若，则由， 又因为，，所以此时无解． 若，则， 因为，所以．又，符合题意． 若，则， 又，，则此时无解． 综上，，所以函数图像向右平移个单位，，由的图象关于轴对称， 所以有，则正数的最小值为，故选：D． 8．（25-26高二上·广东江门·开学考试）函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（       ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期是 C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆半径为，则函数的解析式为 【答案】A 【详解】关于对称，则，∴；，即，∴，B正确. ，，所以，又，又，∴..由，. 时，.∴在单调减，在上单调递增.A错； 向左平移个单位，， 时，∴关于对称，C正确； 圆半径为时，，∴，∴. ，D正确. 故选：A 9．（25-26高三上·四川·阶段练习）已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，为函数的最大值或最小值. ，，解得.又 函数的最小正周期满足，且， ，解得，当时，满足题意，.故选：B. 10．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化t时，以下情形可能的是（   ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】考虑到函数的最小正周期为， 对于B，若，在区间上，则； 在区间上可以取得，此时，故B正确； 对于C，同理，取，在区间上的最小值可以为， 由于，所以在区间上的最小值大于零，故可能，故C正确； 对于D，取，显然在区间上的最小值可以为，在区间上的最小值可以小于零，即可能，故D正确； 对于A，由以上BCD中的取值范围可知，当时，，结合正弦函数的单调性可得必有小于零，故A错误.故选：BCD. 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ）（多选题） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对；对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对；对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则，所以，，C错； 对于D选项，若，即，当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对.故选：ABD. 12．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A．当时，在上单调递增 B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为 C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1 D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】AB 【详解】对于A，当时，，当，， 因在时单调递增，则在上单调递增，故A正确； 对于B，因，则时，设，则 ， 因为，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后，可得， 因为图象关于轴对称，则， 因为，则，得，故C错误； 对于D，时，，令，可得． 则使，且大于的前3个取值为，则，故D错误．故选：AB 13．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则函数在上恰有1个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因，则， 若函数在上恰有1个零点，则；故答案为： 14．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知函数的最小正周期为，且在上单调递增，则的最大值为 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 所以，当，， 因为，所以，因为在上单调递增， 故在上递增， 而在上递减，在上递增，在上递减， 所以，解得，所以的最大值为.故答案为： 15．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知函数满足恒成立.①的取值范围是 ；②若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，可知， 因为恒成立，所以，即， 因为，所以，因为，所以，所以的取值范围是； 由，所以，即，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 则，，所以， 解得，又，所以.故答案为：； 16．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）当时，不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以．由题意得成立， 即，即．令 因为关于的函数在上单调递减，所以的最小值为12，所以， 解得，即的取值范围是．故答案为：. 17．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，则， 原方程可转化为关于的方程在上有解， 分离参变量得：，即等价于直线与函数的图象在内有交点． 又因为的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即．故答案为：. 18．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 【答案】 【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得， 所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则.所以取值的最大值为.故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $