精品解析：福建省漳州市东山县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

福建省漳州市东山县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为3时，一次项系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 5. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 6. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 若，则________． 12. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 13. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 14. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______． 15. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点D，则的长为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解． （1）在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； （2）用无刻度直尺作出边上的高交于，并说明理由． 21. 设是关于的方程的两根． （1）当时，求的值． （2）求证：． 22. 如图，点在上方，连接．延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接若． （1）求证：； （2）求证：． 23. 中秋国庆长假，各地游客为2025海峡两岸中秋晚会“月是故乡明”而来，走进铜陵镇，某海鲜零售店销售海鲜制品伴手礼，其进价为每件40元，按每件60元出售，每周可售出100件，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每周的销售量可增加10件． （1）若该海鲜零售店销售这种海鲜制品伴手礼要想平均每周获利2160元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店每件海鲜制品伴手礼的售价为多少元？ （2）在降价情况下，该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利能达到2500元吗？请说明理由． 24. 根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动，确定正方形一边上的一个三等分点． （1）操作判断： 如图1，明明先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点；过点折叠正方形纸片，使折痕．请你通过明明的折叠方法证明是边的三等分点． 如图2，乐乐将正方形纸片对折，使点和点重合，得到的中点，然后展开铺平，将边沿翻折到的位置，再将沿过点的直线翻折，使点和点重合，折痕与边交于点，过点折叠正方形纸片，使折痕．请你通过乐乐的折叠方法证明是的三等分点． （2）迁移研究：如图3，在上选一点，把正方形沿折叠，使点落在正方形内部的点处，过作，交于点E，F，N，连结并延长交于点，连结，若，且，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省漳州市东山县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 二次根式中字母x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 即： 解不等式： 因此，的取值范围是， 故选：A． 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的运算规则，包括乘除、加法和乘方，需根据基本性质判断各选项是否正确． 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，计算，故C错误； 对于选项D： ，故D正确． 故选：C． 3. 将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为3时，一次项系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，a，b，c是常数，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．将化为一般形式进行判断即可． 【详解】解：∵化为一元二次方程的一般形式， ∴一次项系数、常数项分别是，， 故选：B． 4. 已知方程■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，再根据题意得出，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 5. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 6. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 8. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 9. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，先根据，求出的高，进而求出的高，再根据相似三角形的高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作直线于，延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 10. 如图，在中，，，点在边上（与点，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ∴，故①正确； ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴， ∴，故②正确； ， ∴，故③正确； ∵， ∴， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 12. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 13. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 14. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由P为的黄金分割点（），可得，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点（）， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点D，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键．先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 20. 如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解． （1）在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； （2）用无刻度直尺作出边上的高交于，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 即是边上的高． 【解析】 【分析】该题考查了格点作图，涉及轴对称作图，作位似图形，作三角形的高，解题的关键是正确作图． （1）先确定点，再依次连接即可． （2）取格点，连接交于点H，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 21. 设是关于的方程的两根． （1）当时，求的值． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴， ∴，即， 解方程得，， 故； 【小问2详解】 略 22. 如图，点在上方，连接．延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接若． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ，， ， 即， ； （2） 证明：， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 又， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，得到，，再根据 即可求解； （2）由，得到，继而得到，然后可证，接着可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 中秋国庆长假，各地游客为2025海峡两岸中秋晚会“月是故乡明”而来，走进铜陵镇，某海鲜零售店销售海鲜制品伴手礼，其进价为每件40元，按每件60元出售，每周可售出100件，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每周的销售量可增加10件． （1）若该海鲜零售店销售这种海鲜制品伴手礼要想平均每周获利2160元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店每件海鲜制品伴手礼的售价为多少元？ （2）在降价情况下，该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利能达到2500元吗？请说明理由． 【答案】（1）该店每件海鲜制品伴手礼的售价为52元 （2）该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利不能达到2500元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每件海鲜制品伴手礼应降价元，利用“销售量每件利润”元列出方程求解即可； （2）设每件海鲜制品伴手礼应降价元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无实数根，故不能达到要求； 【小问1详解】 解：设每件海鲜制品伴手礼应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场， 该店每件海鲜制品伴手礼的售价为（元）， 答：该店每件海鲜制品伴手礼的售价为元； 【小问2详解】 解：不能达到，理由如下： 设海鲜制品伴手礼应降价元， 则， 整理得：， 则， ∴方程无实数根， ∴该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利不能达到元． 24. 根据背景素材，探索解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）小红求得用到的几何知识是 ； （2）求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含的式子表示）． 【答案】问题解决1：（1）相似三角形的应用；（2）灯泡到地面的高度为；问题解决2：旗杆的高度为． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 问题解决1： （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，即可求的长，进而得出结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】问题解决1： 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得， 则小红求得用到的几何知识是相似三角形的应用， 故答案为：相似三角形的应用； （2）∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示，     测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动，确定正方形一边上的一个三等分点． （1）操作判断： 如图1，明明先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点；过点折叠正方形纸片，使折痕．请你通过明明的折叠方法证明是边的三等分点． 如图2，乐乐将正方形纸片对折，使点和点重合，得到的中点，然后展开铺平，将边沿翻折到的位置，再将沿过点的直线翻折，使点和点重合，折痕与边交于点，过点折叠正方形纸片，使折痕．请你通过乐乐的折叠方法证明是的三等分点． （2）迁移研究：如图3，在上选一点，把正方形沿折叠，使点落在正方形内部的点处，过作，交于点E，F，N，连结并延长交于点，连结，若，且，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：由第1步的操作可知，分别是，的中点， 是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 即， 点是边的三等分点； 证明：不妨设正方形边长为， 正方形沿折叠， ，， 又， ， ．设， ∵ 是的中点，则， 在中，可列方程：  ， 解得：，即, 所以是边的三等分点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、折叠的性质、勾股定理等，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）先证，得到，再根据即可得到；可设正方形边长为，证明，设，再在中，应用勾股定理求得即可； （2）可证（），可得，再证，可求，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， ， 即正方形的边长为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $