精品解析：浙江省嘉兴市南湖区 嘉兴南湖实验中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

嘉兴南湖实验中学2025学年第一学期八年级数学期中考试 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ） A. a+2＜b+2 B. a﹣2＜b﹣2 C. 2a＜2b D. ﹣2a＜﹣2b 3. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（） A. 6米 B. 米 C. 27米 D. 18米 4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 5. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 6. 如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5 8. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点、，连接．若，，则的长为__________． 13. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为__________． 14. 如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是________． 15. 在锐角三角形中，的角平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值为_______． 16. 如图，在四边形中，，，，点在边上，连接．若，且平分，则的长为__________． 三、解答题（本大题8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17 解下列不等式： （1） （2） 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知：，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求角平分线的长． 21 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直． （1）若，求点到的距离； （2）直接写出线段、、存在的数量关系． 22. 对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 23. 阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 24. 如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设． （1）用含的代数式表示； （2）若，求的度数； （3）在（）的条件下，若为中点，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴南湖实验中学2025学年第一学期八年级数学期中考试 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】A.该选项不是轴对称图形，故不符合题意； B. 该选项是轴对称图形，故符合题意； C. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意； D. 该选项不是轴对称图形，故不符合题意， 故选：B． 2. 若a＞b，则下列不等式中成立的是（ ） A. a+2＜b+2 B. a﹣2＜b﹣2 C. 2a＜2b D. ﹣2a＜﹣2b 【答案】D 【解析】 【详解】A. ∵a＞b， a+2>b+2 ，故不正确； B. ∵a＞b，a﹣2>b﹣2 ，故不正确； C. ∵a＞b， 2a>2b，故不正确； D. ∵a＞b，﹣2a＜﹣2b，故正确； 故选D. 点睛：本题考查了不等式的基本性质，①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3. 如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（） A. 6米 B. 米 C. 27米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设米， ∴由三角形三边关系定理得： ∴， 所以选项C不符合，选项A、B、D符合， 故选：C． 4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 5. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 6. 如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：， ， ， 添加， ， 故选项不符合题意； 添加， ， 故选项不符合题意； 添加， ， 故选项不符合题意； 添加，不能判定， 故选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】连接、， 是的平分线，，， ，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ． 故选：B 8. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为是的角平分线，所以，由，得，则，在中，，即可作答 【详解】解：因为是的角平分线， 所以， 由，得， 中，， 因为在中，， 把，代入， 得 那么， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和为以及角平分线的定义，难度较小． 9. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是解题的关键．连接并延长交于，根据“两直线平行，内错角相等”可得，然后利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答． 【详解】解：连接并延长交于，如下图， ∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∴在中，可有， ∵，， ∴，即， 即为等腰直角三角形， 所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长． 故选：C． 10. 如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作于点， 由题意可得，进而得到，，，，再证明，得到，再利用面积法可得，，即得，即得到，最后由即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. “x的2倍与3的差是负数．”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，理解题意，能根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点、，连接．若，，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点、， ∴． ∵， ∴． 故答案为：5． 13. 在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理；在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可． 【详解】解：由勾股定理，斜边长为； 故答案为 ． 14. 如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质得到，所以，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：点是的斜边的中点， ， ， ， 点是的斜边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 15. 在锐角三角形中，的角平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形的判定与性质．根据是的平分线，确定出点B关于的对称点在上，根据垂线段最短，过点作于N交于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使最小的点，，过点B作于E，利用三角形的面积求出，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，是的平分线， ∴点B关于的对称点在上， 过点作于N交于M， 由轴对称确定最短路线问题得，点M即为使最小的点，此时， 过点B作于E， ， ， 解得：， 是的平分线，与B关于对称， ， 是等腰三角形， ， 即最小值是5． 故答案为：5． 16. 如图，在四边形中，，，，点在边上，连接．若，且平分，则的长为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】如图，过点B作于点M，点B作，交的延长线于点N，根据角平分线的性质得，，设，则，根据等边对等角得，在中，求得，继而得到，在中，推出，，，求出，，然后证明，推出是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点B作于点M，作，交的延长线于点N， ∴， ∵平分， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 在中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ∵， ∴°， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题8小题，第17~22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解下列不等式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； 【小问2详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示如下： 19. 如图，已知：，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键； （1）证明即可解答； （2）根据三角形的外角性质可得，结合（1）的结论即可解答． 【小问1详解】 证明：在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求角平分线的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）由等腰三角形的性质可得，，进而利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直． （1）若，求点到的距离； （2）直接写出线段、、存在的数量关系． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． （1）过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出； （2）证明，得到，同理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点P作于E，如图所示： ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点P到的距离是4． 【小问2详解】 解：； 证明：由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 22. 对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 23. 阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 【小问1详解】 解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 24. 如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设． （1）用含的代数式表示； （2）若，求的度数； （3）在（）条件下，若为中点，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先证明，可得，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得结论； （2）求解，证明，结合，再进一步可得结论； （3）过点作，为垂足，连接，证明，设，可得，结合，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵为边上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，为垂足，连接， ∵ ∴， ， ∵为中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中用勾股定理得， 解得，（负根舍去） ∴，， ∴的面积为． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $