精品解析：云南省玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

玉溪师院附中2027届高二上学期期中考试数学试卷 出题人：罗金东 审题人：黄 勇 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式可解． 【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得 ． 故选：B. 4. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，解得， 又，所以，所以. 故选：B 5. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 6. 已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由计算可得弦心距，进而可得，根据充分条件与必要条件判断即可. 【详解】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距， 又因，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知向量，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解. 【详解】因为向量，， ，即 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 8. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中真命题有（ ） A. 若，则的最大值为2 B. 当，时， C. 的最小值5 D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A,B利用基本不等式可判断；选项C取可判断；选项D中取可判断. 【详解】对于A，因为，故，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为2，故A正确. 对于B，， 当且仅当时第一个等号成立，当且仅当时第二个等号成立， 即当且仅当时等号成立，故B正确. 对于C，当时，，故C错误. 对于D，取，此时，故D错误. 故选：AB． 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的表面积 B. 三棱锥的体积 C. 三棱锥的外接球表面积 D. 三棱锥的内切球体积 【答案】BC 【解析】 【分析】分别计算三棱锥各面的面积，判断A选项；利用体积公式代入，判断B选项；设外接球的半径为，利用勾股定理计算半径，从而得球的表面积，从而判断C选项；利用等体积法计算内切球的半径，判断D选项. 【详解】因为平面，所以，所以，，作，则，则， 所以，，取中心，作，则球心在上，且，则，所以，所以；设内切球的半径为，根据等体积法，，得，故D错误； 故选：BC 【点睛】在三棱锥中，一般关于外接球的半径的求解，球心一般在中线上，构造直角三角形，利用勾股定理求解；关于内切球的半径的求解，一般利用三棱锥的等体积法计算半径. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 13. 若函数在上单调递减，则函数的递增区间是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性求得，再利用复合函数单调性即得函数的递增区间. 【详解】由题意可得且， 由函数在上单调递减，则有，解得， 因函数在上单调递减， 令，解得或， 由在上单调递减，在上单调递增， 故函数的递增区间为. 故答案为：. 14. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【详解】如图，为直线上的任意一点， 过圆心作，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以， 所以. 则此时， 的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． 【答案】（1） （2）最小正周期为，单调递增区间为， 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式； （2）根据周期公式求周期，结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为， 又， 所以． 【小问2详解】 函数的最小正周期为， 令，, 则，, 所以函数的单调递增区间为， 16. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程; （2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质求出圆心和半径，写出标准方程即可； （2）根据直线是否有斜率分类讨论，再利用圆的弦长公式列方程，求解即可. 【小问1详解】 依题知OA，AB的垂直平分线方程分别为：，而圆的圆心为OA，AB的垂直平分线的交点， 所以圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为:. 【小问2详解】 若直线轴，其方程为，与圆相交于两点，弦长为2，满足题意； 若直线不与轴垂直，设， 记圆心到的距离为，则，由，解得， 则， 所以直线的方程为：或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程． （3）圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）. （2）或. （3）是，25. 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程，结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论； （2）利用垂径定理得圆心到直线的距离为3，再利用直线与圆的位置关系，结合对斜率是否存在的讨论和点到直线的距离公式，计算得结论； （3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆Q的方程，计算得结论． 【小问1详解】 解：因为圆心C在直线：上，所以设． 又因为圆C经过点和， 所以，且半径，解得，， 因此圆C的标准方程为． 【小问2详解】 解：因为直线被圆C所截得的弦长为8， 所以由垂径定理得圆心到直线的距离为． 当直线的斜率不存在时，直线：满足要求； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离，解得，因此直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 解：因为关于直线的对称点为，而圆C关于直线的对称圆是圆Q， 所以圆Q的方程为． 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、． 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为． 在方程中，令得，即． 在方程中，令得，即． 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值. （2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得. 所以，故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2027届高二上学期期中考试数学试卷 出题人：罗金东 审题人：黄 勇 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 6. 已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知向量，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中真命题有（ ） A. 若，则的最大值为2 B. 当，时， C. 的最小值5 D. 当且仅当a，b均为正数时，恒成立 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 11. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的表面积 B. 三棱锥的体积 C. 三棱锥的外接球表面积 D. 三棱锥的内切球体积 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，则的值为__________. 13. 若函数在上单调递减，则函数的递增区间是____. 14. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． 16. 已知圆经过三点. （1）求圆的标准方程; （2）求过点且被圆截得的弦长为2的直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程． （3）圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $