精品解析：河南省省济源市沁园中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年冬学段期中考试 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题日要求的． 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图中度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，∠A，∠1，∠2大小关系是（　　） A. ∠A＞∠1＞∠2 B. ∠2＞∠1＞∠A C. ∠A＞∠2＞∠1 D. ∠2＞∠A＞∠1 7. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 斜边和一直角边对应相等 B. 两个锐角对应相等 C 一锐角和斜边对应相等 D. 两条直角边对应相等 8. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE,下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______． 12. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____． 13. 已知的三边长a、b、c，化简的结果是_______． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，则等于______________． 15. 如图，已知中，平分，为边上的点，连接．解决以下问题： （1）______； （2）若，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在中，，是的角平分线，若，求的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 18. 如图在中，解决以下问题： （1）尺规作图，做出的平分线，与边交于点D； （2）在（1）的条件下用三角板画出和的高和，再连接，证明：是线段的垂直平分线． 19. 如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． （1）求的长． （2）若，求与的周长差． 20. 如图， ，平分，平分，点在上，求证：． 21. 如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 如图，点是轴上一点，点在第一象限，，P为轴上一点，，轴于点． （1）求证：； （2）若点纵坐标为4，求的值． 23. 如图①，等腰中，，点在底边上（异于点、），点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同型点” （1）当平分，，AC交于点O，，时，求证：点是的“同型点”； （2）如图②，在正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，在网格中画出所有这样的点； （3）凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同型点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年冬学段期中考试 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题日要求的． 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 2. 椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 3. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故A选项错误； B．，能构成三角形， C．，不能构成三角形，故C选项错误； D．，不能构成三角形，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本题的关键． 4. 如图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出∠1的度数． 【详解】解：如图所示， ∵∠1是△ABC的一个外角 ∴∠1＝∠B＋∠C＝30°+40°＝70°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 5. 点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各个知识点的具体意义． 由点在第二象限，可得横纵坐标的符号，再由点到轴、轴的距离是 3 和 5 ，可得纵坐标的绝对值为 3 ，横坐标的绝对值为 5 ，可求出点的坐标，再求出点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ P点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵P点到轴、轴的距离是 3 和 5 ， ∴P点的坐标为， ∴P点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 6. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（　　） A. ∠A＞∠1＞∠2 B. ∠2＞∠1＞∠A C. ∠A＞∠2＞∠1 D. ∠2＞∠A＞∠1 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先根据∠1是△ACD的外角，故∠1＞∠A，再根据∠2是△CDE的外角，故∠2＞∠1，进而可得出结论． 解答：解：∵∠1是△ACD的外角， ∴∠1＞∠A； ∵∠2是△CDE的外角， ∴∠2＞∠1， ∴∠2＞∠1＞∠A． 故选B． 7. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 斜边和一直角边对应相等 B. 两个锐角对应相等 C. 一锐角和斜边对应相等 D. 两条直角边对应相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定．根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、根据斜边直角边定理判定两个三角形全等，故本选项不合题意； B、两个锐角对应相等不能判定两三角形全等，故本选项符合题意； C、一锐角和斜边对应相等，可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意； D、两条直角边对应相等，可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意； 故选：B． 8. 如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE,下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，可判断出③正确；根据全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，可判断出④正确． 【详解】∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等， ∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确； ∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误； 在△BDF和△CDE中 ， ∴△BDF≌△CDE，故③正确； ∴∠F=∠DEC， ∴BF∥CE，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． 10. 如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿． 如图，在平面直角坐标系中，两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关轴对称的点的坐标特征，理解关于轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键． 根据关于的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同来求解． 【详解】解：两处灯笼的位置关于轴对称，若点的坐标为 ， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ． 故答案为：． 12. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____． 【答案】20°或60°． 【解析】 【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】如图所示，当∠BFD=90°时， ∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°， ∴∠BAD=30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF=60°； 如图，当∠BDF=90°时， 同理可得∠BAD=30°． ∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°， ∴∠BFD=∠BCE=50°， ∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°， 综上所述：∠ADF的度数为20°或60°． 故答案为：20°或60°． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 13. 已知的三边长a、b、c，化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，，再利用有理数的减法法则及结合律和绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：的三边长a、b、c， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的三边关系、有理数的减法法则及结合律和绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系得出，是解题的关键． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，则等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理；由条件可求得，，根据三角形内角和定理可求得，则可求得，再利用角的和差可求得． 【详解】解：垂直平分， ， ， 同理， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知中，平分，为边上的点，连接．解决以下问题： （1）______； （2）若，则______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】（1）过点D作于F，根据角平分线的性质定理得，证明，推出，即可得到； （2）由得到，再证明，得到，由此得到． 【详解】解：（1）如图，过点D作于F， ∵，平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴； 故答案为：； （2）∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理和角平分线的性质定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在中，，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟悉掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 由等腰三角形的判定及性质得到，即可求出，由平分，可得，即可通过运算求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2），，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，割补法求三角形面积，熟悉掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象写出坐标即可； （3）利用割补法运算求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求： 【小问2详解】 解：由（1）图象可得：，，； 【小问3详解】 解：． 18. 如图在中，解决以下问题： （1）尺规作图，做出的平分线，与边交于点D； （2）在（1）的条件下用三角板画出和的高和，再连接，证明：是线段的垂直平分线． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线尺规作图方法即可得； （2）先根据垂线作法画出高和，再连接，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】解：（1）如图，即为所作． （2）由题意，画出图形如下： ， 平分， ， 在和中，， ， ， 是线段的垂直平分线． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键． 19. 如图，在中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，的面积为24． （1）求的长． （2）若，求与的周长差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识． （1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长； （2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，的面积为24．交于点， ∴， 解得， ∵是边上的中线， ∴ 【小问2详解】 ∵为的中点， ∴ ∵的周长，的周长， ∴与周长差． 20. 如图， ，平分，平分，点在上，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及角平分线定义等知识，在上取点，使，连接．利用全等三角形的性质证明即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】证明：在上取点，使，连接，如图所示： 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ． ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， 21. 如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，即可判定出，得到； （2）由全等的性质得到，再通过角的等量代换求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，点是轴上一点，点在第一象限，，P为轴上一点，，轴于点． （1）求证：； （2）若点的纵坐标为4，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得到，证出，得到，即可通过角的等量代换求解； （2）延长交轴于点，作于点，则，通过等腰三角形的判定及性质证出，，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，轴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵ ∴； 【小问2详解】 解：延长交轴于点，作于点，则，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图①，等腰中，，点在底边上（异于点、），点是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点为的“同型点” （1）当平分，，AC交于点O，，时，求证：点是的“同型点”； （2）如图②，在的正方形网格图上有一个，点，，均在格点上，在给出的网格上有一个格点，使得点为的“同型点”，在网格中画出所有这样的点； （3）凸四边形中，，，对角线、交于点，且，若点为的“同型点”，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）图见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质等知识点，正确理解“同型点”的定义是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到为等腰三角形，即点是的“同型点”； （2）找出所有在下方能使为等腰三角形的格点即可； （3）根据点为的“同类点”可知为等腰三角形，然后分和两种情况，分别作出图形，并根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 (1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形，即点是的“同类点”． 【小问2详解】 解：如图所示即为所求： 【小问3详解】 解：∵，，且，点为的“同型点； ①如图3：当时，则，即等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，当时，则，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $