精品解析：广东省深圳市光明区实验学校2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

光明区实验学校2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：该直口杯的左视图为， 故选：D． 2. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 3. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 4. 将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知， 将抛物线向向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：； 将抛物线向右平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：，即． 故选：D． 5. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象的综合，掌握二次函数的性质是本题的关键． 根据一次函数的图象、二次函数的图象逐项分析即可解答． 【详解】解：当时，一次函数的y随x的增大而增大，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上；二次函数开口方向向上，与y轴的交点在y轴正半轴的正半轴上，且对称轴为；即C选项符合题意，A选项不符合题意； 当时，一次函数的y随x的增大而减小，与y轴的交点在y轴负半轴的正半轴上；二次函数开口方向向下，与y轴的交点在y轴正半轴的负半轴上，且对称轴为，即B、D都选项不符合题意． 故选：C． 7. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 8. 到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（ ）． A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 设，由正切的定义可得；再根据全等三角形的性质可得、,再证，依据相似三角形的性质列方程求解可得，再运用线段的和差及勾股定理可得、、、；再证明、，依据相似三角形的性质列方程求解可得，最后根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：如图：设， ∵， ∴， ∵， ∴，, ∴, ∴, ∴，即,解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，, ∴， ∴即，解得：，解得：， ∵的面积为7， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∴． 故选：D． 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 二次函数的图象与轴的交点坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．令，求出的值，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：时，， 所以，图象与轴交点的坐标是． 故答案为：． 10. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 11. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 12. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将沿直线翻折得到．若点C在反比例函数的图象上，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴于D，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于E，求出OA＝1，OB＝2，由折叠的性质得：AC＝OA＝1，BC＝OB＝2，∠ACB＝∠AOB＝90°，然后证明，可得，设C（a，），则CD＝，OD＝a，求出AD＝a－1，CE＝2－，EB＝a，可得，然后由CE＝2AD得2－＝2（a－1），求出a的值，进而可得k的值． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于E， 在一次函数中， 令y＝0，即，解得：x＝1， 令x＝0，可得， ∴A（1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， 由折叠的性质得：AC＝OA＝1，BC＝OB＝2，∠ACB＝∠AOB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°， ∵∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 又∵∠ADC＝∠E＝90°， ∴， ∴， ∴CE＝2AD，EB＝2DC， 设C（a，），则CD＝，OD＝a， ∴AD＝a－1，CE＝2－，EB＝a， 由EB＝2DC得：a＝，即， 由CE＝2AD得：2－＝2（a－1）， ∴2－＝2（a－1）， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，作出合适的辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 13. 如图四边形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得、是解题的关键． 过点D、B分别作，，垂足分别为E、H，，设，易得，根据勾股定理得出，再得出，根据得出，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D、B分别作，，垂足分别E、H， 设， ∵在中，，， ∴，， ∴则， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，与图形不符舍去． ∴． 故答案． 三．解答题（共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，实数的混合计算，去绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）先去绝对值，计算特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，得矩形，根据，，可得，，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【小问1详解】 证明：∵点为边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 16. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）若点是二次函数的图象上一点，线段交轴于点，为原点，的面积是的面积的倍，则点的坐标为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、画二次函数图象，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键 （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）先确定抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象； （3）设，利用三角形面积公式可得到点到轴的距离等于点到轴的倍，则，然后解方程可确定点坐标． 【小问1详解】 解：将点，代入 得 解得： ∴二次函数的表达式为 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图， 【小问3详解】 设， 的面积是的面积的倍， 点到轴的距离等于点到轴的倍， ， 解得， 点坐标为或． 故答案为：或． 17. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】（1）可能， （2）288平方米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【小问1详解】 设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． 【小问2详解】 ∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 18. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 19. 【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）列车不能安全停车，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据素材一得，将数据代入计算即可； （2）根据素材三和素材二，将数据代入求出，即可得到； （3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可； （4）求出安全停车的路程，再与千米比较即可； 正解理解题意，确定各数量关系是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，千米/小时米/秒，米/秒， ∴（秒）， ∴从静止加速到最高速度所需的时间秒， 故答案为：； （2）由（1）知：，，， ∴（米）， ∵米千米 ∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程千米， 故答案为：； （3）∵加速和减速时间都是秒且加减速路程都是千米， ∴加速和减速的总时间为秒小时， ∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为千米，速度为千米/小时， ∴， ∴， ∴列车全程行驶的时间的表达式为； （4）∵，千米/小时米/秒， 米/秒， ∴（秒）， ∴（米）（千米）， ∵千米千米 ∴列车不能安全停车． 20. 【问题提出】 （1）如图①，在正方形中，点，分别在边和对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，在矩形中，，，点，分别在边和对角线上，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，，，点，分别在边和对角线上，，，，的延长线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合，得出，即可作答； （2）连接交于点，证出，根据相似三角形的性质，列式代入数值，计算即可作答； （3）过点作交延长线于点，交于点，连接，交于点，证明，再根据等面积法，得，运用勾股定理得出的值，根据列式，得出的值，由计算即可作答． 【详解】证明：（1）如图1， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 可得， 即； 解：（2）如图2，连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴， 则 则 ∴； 解：（3）如图3，过点作交延长线于点，交于点，连接，交于点． ∵四边形是菱形， ∴，， ， ， ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴ ∴， 则． ， ． ， ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ 得， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，综合性强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明区实验学校2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 衢州莹白瓷以瓷质细腻、釉面柔和、透亮皎洁，似象牙又似羊脂白玉而名闻遐迩，被誉为瓷中珍品．如图是衢州莹白瓷的直口杯，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 近几年，二维码逐渐进入了人们生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 3. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 4. 将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（ ）． A. B. 3 C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 二次函数的图象与轴的交点坐标是__． 10. 若二次函数图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 11. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 12. 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将沿直线翻折得到．若点C在反比例函数的图象上，则____________． 13. 如图四边形，则_____． 三．解答题（共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，连接，求的长． 16. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）若点是二次函数的图象上一点，线段交轴于点，为原点，的面积是的面积的倍，则点的坐标为 ． 17. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） （1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； （2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 18. 中国探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 19. 【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 20. 【问题提出】 （1）如图①，在正方形中，点，分别在边和对角线上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图②，在矩形中，，，点，分别在边和对角线上，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，，，点，分别在边和对角线上，，，，的延长线交于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $