精品解析：安徽省安庆市太湖县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

太湖部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数 学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 二次函数的二次项系数为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 2. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4 D. 5 3. 抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（　　） A. （2，1） B. （﹣2，1） C. （2，5） D. （﹣2，5） 4. 若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 5. 如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. 若实数，则 C. D. 当时， 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数图象上有三个点，坐标分别为，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，都在反比例函数图象上，且，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为10，在，边上各取一点，，使，连接，相交于点，若，则的值是（ ） A 16 B. 25 C. 36 D. 40 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 12. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 14. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 已知 ，且，求的值 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； （2）计算的面积． 18. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A(-1，0)，且对称轴为直线x=1 （1）求该抛物线的解析式； （2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当BCM的面积最大时，求点M的坐标； 19. 已知y＝y1-y2， y1与x+2成正比例，y2与x2成反比例．当x＝-1时，y＝－2；当x＝1时，y＝2． (1)求y与x函数关系式. (2)当x＝时，求y的值 20. 如图，，是的两条高．求证：． 21. 如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，连接，求证：． 22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）． （1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式； （2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ （3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）． 23. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太湖部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数 学 本卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 二次函数的二次项系数为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数为3， 故选：D． 2. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ） A. 3或5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，综上即可得出结论． 【详解】解：①当，即时，， 令，， 解得， ∴此时函数的图象与x轴只有一个交点， ②当时， ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得． 综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，分及两种情况考虑是解题的关键． 3. 抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（　　） A. （2，1） B. （﹣2，1） C. （2，5） D. （﹣2，5） 【答案】A 【解析】 【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到y＝（x﹣2）2+1，然后根据抛物线的性质即可求解． 详解】∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，本题还考查了利用配方法化二次函数的一般式化为顶点式． 4. 若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．分和，两种情况进行讨论，求解即可．掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，则， ， 综上所述，k的值为1或． 故选：C 5. 如图，一块含有的直角三角尺的斜边与轴重合，直角顶点在轴上，若抛物线经过直角三角尺的顶点，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，等腰三角形的性质， 先根据等腰三角形的性质得，再设坐标代入关系式，可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵抛物线经过点， 得， 解得. 故选：C. 6. 如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. 若实数，则 C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线对称轴求出，再由抛物线开口向上，得到，则由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当时，，即可判断C；根据时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1， ∴当x=-1时，， ∴当实数，则， ∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意； ∵当时，， ∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意； ∵， ∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧， ∴，故D说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 8. 已知二次函数的图象上有三个点，坐标分别为，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图像开口向下，三点在对称轴右边，y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向下， ，，三点在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数时，开口向上，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键． 9. 已知，，都在反比例函数图象上，且，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线过二、四象限， ∵，都反比例函数图象上，且， ∴， ∴， 无法判断的符号； 故选：D． 10. 如图，等边三角形的边长为10，在，边上各取一点，，使，连接，相交于点，若，则的值是（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，依据等边三角形的性质得到，，然后依据 “”可证明，依据全等三角形的性质可得到，由相似的判定可证，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题二次函数图象的平移变换；根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：先向右平移1个单位长度将替换为， 再向下平移3个单位长度在原解析式后面减3， ∴平移后解析式为， 故答案为：． 12. 已知二次函数图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与轴的交点坐标得出其对称轴．先根据和求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和 ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点和， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离轴越远，函数值越小， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标． 设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出k的值即可； 【详解】设， ∵轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． 即， 化简得， ． ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 故答案为：4． 14. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程得到原方程的解． 【详解】解：， ， ，， ，． 16. 已知 ，且，求的值 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在图中作出（点，，分别为点A，，的对应点）； （2）计算的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质找到点的对应点，再连接即可求作； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作位似图形，三角形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积． 18. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A(-1，0)，且对称轴为直线x=1 （1）求该抛物线的解析式； （2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当BCM的面积最大时，求点M的坐标； 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）M(，-) 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出B点坐标，再把A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c故可求出解析式； （2）作MD⊥x轴交直线BC于点D，求出BC的解析式，设点M（m，m2-2m-3），表示出MD及BCM的面积关于m的二次函数，故可求出最值． 【详解】解：（1）由已知可求B（3，0），将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c， ， ∴， ∴y=x2-2x-3； （2）如图，作MD⊥x轴交直线BC于点D， 令x=0，y= x2-2x-3=-3 ∴C（0，-3） 设直线BC的解析式为y=kx+b， 代入B（3，0）、（0，-3）得， 解得， ∴BC的解析式为y=x-3， 设点M（m，m2-2m-3），则点D（m，m-3）， ∴MD=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m， ∴S△BCM=MD•（xB-xM）+MD•（xM-xC）=MD•（xB-xC）=（-m2+3m）•3=-（m-）2+， ∴当m=时，△BCM的面积最大，此时M（，-）． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是待定系数法求出二次函数及一次函数的解析式． 19. 已知y＝y1-y2， y1与x+2成正比例，y2与x2成反比例．当x＝-1时，y＝－2；当x＝1时，y＝2． (1)求y与x的函数关系式. (2)当x＝时，求y的值 【答案】（1） ；（2）-11 【解析】 【分析】（1）根据正比例和反比例定义，设y1=a（x+2），y2= ，则y= a（x+2）-，再把两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可得到y与x之间的函数关系； （2）计算自变量为的函数值即可． 【详解】（1）设y1= a（x+2），y2=，则y= a（x+2）-， 把x=﹣1，y=-2；x=1，y=2分别代入得，解得， 所以y与x之间的函数关系为； （2）当x＝时， . 【点睛】本题考查正比例和反比例的定义，以及列方程组和解方程组的能力，属于较易题目. 20. 如图，，是的两条高．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先由，是的两条高可知，， ，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】证明：∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 21. 如图，分别是正方形的边和的中点，连接、，它们交于点． （1）求证：； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，连接，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（）由正方形性质可得，，又分别是正方形的边和的中点，可证，然后证明，最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取中点，连接交于点，证明四边形是平行四边形，故有，则，根据性质得，所以，故垂直平分，根据垂直平分线的性质得出； （）过作于点，先证明，，根据相似三角形的性质可得，，设，则，则，设，则，，，求出，因此得出，，，再由勾股定理得出，，从而求证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是正方形的边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，取中点，连接交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴垂直平分， ∴； 【小问3详解】 证明：如图，过作于点， ∴， ∴，， ∴，， 由（）得， 设，则， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，，， 由勾股定理得：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）． （1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式； （2）在这20天中，哪天日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ （3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）． 【答案】（1）日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为 （2）当x=10时，销售利润最大，最大=450元 （3）a的值为6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：，解方程组即可； （2）设日销售利润用w表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系然后配方为顶点式即可； （3）根据函数的性质，k=-2＜0，y随x的增大而减小，x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），根据，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，得出小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，利用销量×每盏台灯的利润=450+30，列方程即可． 【小问1详解】 解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得： ， 解得：， ∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为； 【小问2详解】 解：设日销售利润用w表示， ， 当x=10时，销售利润最大，最大=450元； 【小问3详解】 ∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小， ∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a）， ∵，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏， ∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏， 根据题意：， 整理得， 解得（舍去）， ∴a的值为6． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键． 23. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 抛物线的图象经过点，，从而可得，且，可得的值，进而可得函数的表达式； 由，故当时，取最大值为，再结合和分别进行讨论，同时结合即可判断得解． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过点，， ，且， ， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，， 当时，取最大值为， 当时，又， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为， 又， ， ， ； 当时， 若，即， ， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为，此时，符合题意． 若，即， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为， 又， ． ， 或，不符合题意． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $