精品解析：北京市密云区2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025北京密云初三（上）期中 数 学 考生须知： 1．本试卷共7页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题 （本题共16分，每小题2分） 1. 二次函数的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移4个单位，所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 4. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知和是同圆两段弧，且，则和的之间的关系为（ ） A B. C. D. 不能确定 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 10. 一元二次方程的根是______． 11. 已知某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化，根据题意列函数表达式为___________________． 12. 如图，四边形内接于，为直径，，，则_______________． 13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是___________． 14. 设一元二次方程的两个实数根分别是和，则______，______． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为_____． 16. 已知抛物线与x轴交于点，对称轴为x=1，与y轴的交点B在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论： ①抛物线与x轴的另一个交点是； ②点在抛物线上，且满足，则； ③常数项c的取值范围是； ④系数a的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是________________． 三、解答题(本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分) 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 18. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）若一条直线经过C、D两点，请利用图象直接写出时，x的取值范围． 20. 下面是小宇设计的“确定锐角三角形三条高线的交点”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：的三条高线的交点P． 作法： ①分别以点B、点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于D、E两点（点D在直线上方，点E在直线下方），作直线交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径作圆，分别交于点M、N； ③连接交于点P． 所以点P就是所求作的锐角的三条高线的交点． 根据小宇设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法①可得：且 ， ∵以点O为圆心，的长为半径作圆， ∴ 点C在上， ∴为的直径， ∴（____________________），（填推理的依据） ∴， ∴分别为的边上的高线， ∵锐角的三条高线交于三角形内部一点， ∴的交点P即为的三条高线的交点． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，与反比例函数图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点P在轴上，且，则点P的坐标是 ． 22. 目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 24. 已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，当时，求半径的长． 25. 阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： （1） 方程的根；（填“是”或“不是”） （2）方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； （3）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （4）观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 27. 在等腰直角中，，．点P为直线上一个动点（点P不与点A、B重合），连接．点D在直线上，且．将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接． （1）如图1，当点P在线段上时，求证：； （2）如图2，当点P在的延长线上，且时； ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 如图，点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”，否则称它们在上是“非相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值得范围是，所以成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”． （）判断函数与在上是否为“相邻函数”，并说明理由． （）若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围． （）若函数与在上是“相邻函数”，直接写出的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京密云初三（上）期中 数 学 考生须知： 1．本试卷共7页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回． 一、选择题 （本题共16分，每小题2分） 1. 二次函数的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，直接由顶点坐标确定最值即可． 【详解】解：∵函数是顶点形式，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，顶点处取得最小值， ∴最小值为， 故选：D． 2. 如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 将抛物线向下平移4个单位，所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移．根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移4个单位，所得抛物线的表达式为； 故选B． 4. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵方程 中，, , ， ∴， ∴方程有两个相等的实数根。 故选：B． 5. 已知反比例函数的图象在各自的象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内随的增大而减小，得出，然后求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数在各自象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 是由绕点按逆时针方向旋转而得：由图可知，为旋转角，可利用即可解答． 【详解】解：小方格的边长相等，得， ∴，即旋转角为． 故选D． 7. 已知和是同圆的两段弧，且，则和的之间的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想． 作的中点，连接、，则，根据题意，得出，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出，再根据三角形的三边关系，得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，作中点，连接、，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 故选B． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线对称轴为直线，因此原抛物线与平移后的抛物线与轴的交点横坐标之和均等于，即，当时，抛物线开口向上，向上平移后与轴的交点距离对称轴更近，因此根差减小，即；当时，抛物线开口向下，向上平移后与轴的交点距离对称轴更远，因此根差增大，即，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴ 原抛物线与轴交点和关于对称，即， 同理，向上平移后抛物线与轴交点和也关于对称，即， ∴， 当时，抛物线开口向上，向上平移后，与轴交点向对称轴靠近， ∴ 根差减小，即； 当时，抛物线开口向下，向上平移后，与轴交点远离对称轴， ∴ 根差增大，即， 综上，只有选项符合题意， 故选：． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故答案为：，． 11. 已知某住宅小区要种植一个面积为的矩形草坪，草坪的长随宽的变化而变化，根据题意列函数表达式为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列反比例函数关系式，根据矩形面积公式，长与宽的乘积等于面积，从而写出函数表达式． 【详解】解：设草坪的长为，宽为，面积为平方米，根据题意，得 ， 因此，关于的函数表达式为 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，为直径，，，则_______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先由①得到；由②得到；只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案． 【详解】解：二次函数， ①开口向下， ； ②当时，随着的增大而增大，，即； ∴只要满足以上两个条件就行， 如时，二次函数的解析式是． 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目． 14. 设一元二次方程的两个实数根分别是和，则______，______． 【答案】 ①. 5 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是方程的两根时，则，，先根据一元二次方程的两个实数根分别是和，求出，，即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是和， ，； 故答案为：5,3． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由反比例函数中k值的含义，可知△OAC与△OBD的面积为1，则可求出答案. 【详解】在函数中k=2, ∴S△OAC= S△OAD==1， ∴S△OAC+ S△OBD=2 【点睛】此题主要考查反比例函数中k值的含义. 16. 已知抛物线与x轴交于点，对称轴为x=1，与y轴交点B在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论： ①抛物线与x轴的另一个交点是； ②点在抛物线上，且满足，则； ③常数项c的取值范围是； ④系数a的取值范围是． 上述结论中，所有正确结论的序号是________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线的对称性可判断①；由开口方向和增减性可判断②；由与y轴交点范围可判断③；由对称轴和点A坐标得到c与a的关系，结合c范围求a范围可判断④． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，且与轴交于点，根据对称性，另一交点坐标为，故①正确； 抛物线与轴交点在和之间（包含端点），故的取值范围是，故③正确； 由对称轴，得，点在抛物线上，代入得，即，代入得，即，又，故，解得，故④正确； 由④知，抛物线开口向下，对称轴为，当时，随增大而增大，故当时，有，故②错误． 综上，正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题(本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分) 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 18. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、整式的混合运算，由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 19. 已知二次函数图象经过点，，与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）若一条直线经过C、D两点，请利用图象直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）把A点和B点坐标代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可； （2）计算自变量为0所对应的函数值即可得到C点坐标，计算函数值为0所对应的函数值即可得到D点坐标，观察函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得 ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 当时，，则； 当时，， 解得， ∵， ∴； 由图象得，当或时，． 20. 下面是小宇设计的“确定锐角三角形三条高线的交点”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：的三条高线的交点P． 作法： ①分别以点B、点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于D、E两点（点D在直线上方，点E在直线下方），作直线交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径作圆，分别交于点M、N； ③连接交于点P． 所以点P就是所求作的锐角的三条高线的交点． 根据小宇设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法①可得：且 ， ∵以点O为圆心，的长为半径作圆， ∴ 点C在上， ∴为的直径， ∴（____________________），（填推理的依据） ∴， ∴分别为的边上的高线， ∵锐角的三条高线交于三角形内部一点， ∴的交点P即为的三条高线的交点． 【答案】（1）见解析 （2）；直径所对的圆周角是直角 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． （1）根据作图过程即可完成作图； （2）根据圆周角定理即可完成证明． 【小问1详解】 解：如图，点P即为的三条高线的交点． 【小问2详解】 解：由作法①可得：且， ∵以点O为圆心，的长为半径作圆， ∴ 点C在上， ∴为的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∴， ∴分别为的边上的高线， ∵锐角的三条高线交于三角形内部一点， ∴的交点P即为的三条高线的交点． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，与反比例函数图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点P在轴上，且，则点P的坐标是 ． 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】（1）把A（4,3）代入一次函数，求出一次函数解析式，再求出B点坐标，再把B点坐标代入反比例函数即可解出解析式；（2）先求出AB的距离，再设P（a,0），由PA=AB来确定P点坐标. 【详解】解：（1）∵直线过点， ∴． 将代入直线得． ∵反比例函数的图象过点， ∴反比例函数的表达式为． （2）AB的距离为=， 设P（a0）， ∵PA=AB， ∴， 求得a=1或3, ∴点P的坐标是． 【点睛】此题主要考查反比例函数应用. 22. 目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设共享单车投放量的月平均增长率为x，根据2月、4月份的共享单车投放量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设月至月共享单车投放量的月平均增长率为x， ，(不符合题意舍去) 答：2月至4月共享单车投放量的月平均增长率为． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任写出一个符合题意的m值，并求出此时方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及一元二次方程的解法． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． ∴； 【小问2详解】 解：当时（此问答案不唯一）， 可有， ， ，， ∴． 24. 已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，当时，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得， 再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案； 对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【小问1详解】 证明：连接， ∵为直径 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴， 设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 25. 阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： （1） 方程的根；（填“是”或“不是”） （2）方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； （3）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （4）观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】（1）不是 （2）见解析 （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象、二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原方程验证方程两边是否相等；（2）将原方程变形为；（3）画出函数与函数的图象；（4）观察函数图象，确定方程的解． （1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点，确定方程的解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． 【小问2详解】 解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：画出两函数图象，如图所示． 画的图象 列表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 描点、连线，如图， 画函数的图象 列表： x ⋯ 1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ 描点、连线，如图； 【小问4详解】 解：观察图象可得：方程的实数根约为． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①6；②且. 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先设点，，确定，再分和两种情况根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①解：若，则抛物线的表达式为，直线的表达式为． 当时，则，如下图： 将代入，可得，即 将代入，可得，即 ∴ ②解：设点， 则， ∴ (i) 当时，有， 当时，． ∵函数的图象开口向下，对称轴为 当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 时符合题意，时不符合题意 ． (ii)当时，有． 当时，． 函数的图象开口向上，对称轴为 当时，y随x的增大而减小 当时，的长随的增大而减小，即的长随的长的增大而增大． ∴符合题意 综上所述，的取值范围是且. 27. 在等腰直角中，，．点P为直线上一个动点（点P不与点A、B重合），连接．点D在直线上，且．将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接． （1）如图1，当点P在线段上时，求证：； （2）如图2，当点P在的延长线上，且时； ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，于是得到，由得，即可得到结论 （2）①根据题意补全图形即可；②过点P作的垂线交延长线于点H，证明，得出，在中可得，从而得出结论． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图， ② 证明：过点P作的垂线交延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点P顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 28. 如图，点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”，否则称它们在上是“非相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，通过构造函数并研究它在上的性质，得到该函数值得范围是，所以成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”． （）判断函数与在上是否为“相邻函数”，并说明理由． （）若函数与在上是“相邻函数”，求的取值范围． （）若函数与在上是“相邻函数”，直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1）见解析（2）；（3）的最大值为，的最小值为． 【解析】 【详解】（1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1,进而判断即可； （2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-1，当x=0，或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a,进而判断即可； （3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最大值a-2，当x=2时，函数有最大值，即a-2≤y≤,进而判断即可． 解：（）函数与，在上为“相邻函数”． ∵， ∴为相邻函数． （） ． ∴． ①当，即时． ， ∴无解． ②，即时， ∴． ③即时． ． ∴无解． ④当即时． ， ∴，无解． 综上所得：． （）∵当时． 时，． ∴， ∴． 当时， 时． ∴， ∴． 综上所得：与在上， 是“相邻函数”时． 的最大值为． 的最小值为． “点睛”此题主要考查了函数的综合以及函数增减性和新定义，根据题意正确理解“相邻函数”的定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $