第24章圆—与圆周角有关的辅助线作法 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

九年级数学上学期第24章圆一与圆周角有关的辅助线作法人教版2025-2026学年度 类型1构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 俱型展示 针对训练 1.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是() A.70° B.55° C.35.5 D.35° 2.如图，点A,B,C,D分别是⊙O上的四点，∠BAC=50°，BD是直径，则∠DBC的度 数是() A.40° B.50° C.20° D.35° 3.如图，A,B,C,D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AODC,则∠B的度数为() A.50° B.55° C.609 D.659 4.如图，A,B,C在⊙O上，∠ACB=40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB 的度数不可能为() A.45 B.60° C.75° D.85 类型2利用直径构造直角三角形 模型展示 1 0 针对训练 5.如图，在o0中，∠OAB=20°，则∠C的度数为_ 6.如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D,AB=6,则BD= 7.如图，⊙A过点O,C,D,点C的坐标为(3，O),点B是x轴下方⊙A上的一点，连接 BO,BD,己知∠OBD=30°，则⊙A的半径等于 ◆y C 8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，ADLBC于点D,AC=5,DC=3,AB=42,则o O的半径为 类型3构造圆内接四边形 膜型展示 针对训练 9.如图，点B,C,D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是() A.50° B.60° C.80° D.100° 10.(黄石中考改编)如图，已知A,B,C,D是⊙O上的四个点，⊙O的直径AB=23.若∠ 2 ACD=120°，则线段AD的长为3. 0 11.如图，A,B,CD四个点均在⊙0上，∠A0D=70°，A0/DC,则∠B的度数为() A.40° B.45° C.50° D.55° 12如图，两圆相交于A,B两点，小圆经过大圆的圆心0，点C,D分别在两圆上·若 ∠ADB=110°，则∠ACB的度数为· 【综合训练】 13.如图，AB为⊙0的直径，点C为金的中点，CDLAE交直线AE于D点. (1)求证：0C//AD: (2)若DE=1,CD=2,求⊙0的直径. B 14如图，BD是⊙0的直径，点A,C在⊙0上，A是BD的中点，AC交BD于点G, ∠C0D=126°，求∠AGB的度数. 3. 15.如图，AB是0的直径，C是弧BD的中点，CELAB,垂足为E F (1)求证：CF=BF; (2)若AD=6,⊙0的半径为5，求BC的长. 16.如图，A,B是⊙0上的两点，∠A0B=120°，C是AB的中点，求证；四边形0ACB是菱 形 17.如图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上一点，⊙0经过点A、CD,交BC于点E,过 点D作DF/BC,交⊙O于点F 求证：(1)四边形DBCF是平行四边形； (2)AF=EF. 0 B 18如图，以AB为直径作半圆0，C是半圆的中点，P是c上一点. (1)求∠BPC的度数： (2)若AB=52,PB=1,求PC的长. 答案 1.D 2.A 3.D 4 4.D 5.110° 6.32 7.1 8.2)2 9.D 10.3 11.D 12.35 13.(1)证明：连接BE D :AB是直径， ÷∠AEB=90°，即AD⊥BE, :点C为正的中点， B c=a, OC⊥EB, :.0C//AD: (②)设BE交0C于点T CDLAD, ·∠D=∠DET=∠CTE=90°， :四边形DETC是矩形， .CD=ET=2,DE-CT=1, :OC⊥EB, .BT=TE=2, 设0B=0C=r,则0T=r-1,在直角三角形0TB中，0B2=0T2+TB2, 则r2=(r-1)2+22, r=, :AB=2r=5,即⊙0的直径为5 14,连接AD'AB·AB=AD,BD为直径，AB=AD,∠BAD=90° ÷∠ADB=45°.∠C0D=126,∴∠CAD=号∠C0D=63°. 5 :∠AGB=∠ADB+∠CAD=45°+63°=108°. 15.(1)证明：连接AC,如图1所示： :C是弧BD的中点， ·∠DBC=∠BAC, 在ABC中，∠ACB=90°，CELAB, ·∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°， ·∠BCE=∠BAC, 又C是弧BD的中点， ·∠DBC=∠CDB, C ÷∠BCE=∠DBC, G .CF=BF. (2)解：连接0C交BD于G,如图2所示： :AB是0的直径，AB=20C=10, 图2 +∠ADB=90°， ∴BD=VAB2-AD2-102-6=8, :C是弧BD的中点， :.0CLBD,DG=BG=BD=4, 0A=0B, :0G是△ABD的中位线， :0G=3AD=3, :CG=0C-0G=5-3=2, 在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=VOG2+BG2=√22+42=25 16.证明：连接0C C是AB的中点， ÷AC=BC 又：∠A0B=120°， ∴∠A0C=∠B0C=×120=60° 又0A=0C=0B, :△AOC与△B0C均是等边三角形， .0A=AC=0C,BO=0C-BC, ..0A=AC-BC-0B. :四边形OACB是菱形. 17.证明：(1)：AC=BC, ·∠BAC=∠B DF//BC. ∠ADF=∠B, :∠BAC=∠CFD, ·∠ADF=∠CFD, .BD //CF, DF//BC, :四边形DBCF是平行四边形： (2)连接AE :∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF, ∠AEF=∠B :四边形AECF是⊙O的内接四边形， .∠ECF+∠EAF=180°， BD //CF ∠ECF+∠B=180, ∠EAF=∠B, ·∠AEF=∠EAF, .AF-EF. 18.(1)解：连接AC,BC :AB为直径，C为半圆的中点， :CB=CA,∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45° :∠CPB+∠CAB=180°，·∠CPB=135; (2)由(1)知CA=CB,∠ACB=90°：AB=5V2,:BC=AC=5 过点C作CQ⊥BP,交BP的延长线于点Q,则∠CPQ=∠PCQ=45°， 7 PQ=CQ.设PQ=CQ=X,则BQ=x+1, 在RIABCQ中，BQ2+002=BC,(x+1)2+x2=52, 解得x=3(负值己舍去)， +PQ=3.PC=V2PQ=3V2