专题04 圆（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题04 圆 【考点1】圆的定义及性质 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【考点3】垂径定理的实际应用 【考点4】同心圆 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【考点7】点与圆的位置关系 【考点8】 确定圆的条件 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形与圆求角度 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【考点17】弧长的计算 【考点18】计算扇形的面积 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【考点20】圆锥的计算 知识点1： 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3： 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点4：圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点5： 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点6：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点7：点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 知识点8:过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点 9: 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点10： 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点11：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点12：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点13：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点14： 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点15： 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点16： 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的定义及性质 【典例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【典例2】如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【变式2-1】如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【变式2-2】如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-4】如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A． B．4 C．6 D． 【考点3】垂径定理的实际应用 【典例3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．    (1)求所在圆的半径； (2)若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 【变式3-1】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【变式3-2】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O，如图所示，正常水位下水面宽，水面到拱顶距离为，此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于．当洪水泛滥时，水面宽时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【考点4】同心圆 【典例4】如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 【变式4-1】（1）一个矩形的长比宽大，面积是．求该矩形的长和宽． （2）如图，两个圆都以点为圆心．求证：． 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【典例5】如图 所示，AD是的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】如图，是的直径，点C在上，且，过点C的弦于线段相交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【典例6】如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，A，B，C，D在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】如图，四边形内接于，为边延长线上一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【考点7】点与圆的位置关系 【典例7】的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【变式7-1】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【变式7-2】已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【考点8】 确定圆的条件 【典例8】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-2】下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【变式8-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【典例9】如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（　　） A．8 B．4 C．6 D．4 【变式9-1】若等边三角形的边长为2 cm，则其外接圆的半径等于（     ）； A．cm B．cm C．cm D．cm 【变式9-2】在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【典例10】已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式10-1】直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式10-3】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【典例11】如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，的半径为4，直线是的切线，为切点，连接，是直径．若弦于点，且，则的长度为（   ） A． B．4 C．6 D． 【变式11-2】如图分别切于A、B、E，，则（　　）    A． B． C． D． 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【典例12】如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【变式12-1】如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 【变式12-2】如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为3，若，求线段． 【变式12-3】如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为，，求的长． 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【典例13】如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（    ）． A．12 B．13 C．14 D．18 【变式13-2】如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 【变式13-4】如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则 ． 【考点14】三角形的内切圆与内心 【典例 14】如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【变式14-1】如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 【变式14-2】如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    【变式14-3】如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．    【考点15】正多边形与圆求角度 【典例 15】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【变式15-3】如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【变式15-4】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【典例16】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重台，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．    【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是 ． 【考点17】弧长的计算 【典例 17】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m． 【变式17-4】如图，工人师傅需要按照中心线计算圆弧形弯管的“展直长度”再下料，根据图中的数据可得直管与弯管的总长度是 （取，结果精确到） 【考点18】计算扇形的面积 【典例18】如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式18-1】如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【典例19】如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式19-3】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点20】圆锥的计算 【典例20】若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【变式20-1】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】已圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【变式20-3】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 一、单选题 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 7．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 13．圆锥母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积等于 （结果保留）． 14．左图是2023年杭州亚运会的会标，抽象成如右图所示的扇形，已知，，，则图形的面积为 ． 三、解答题 15．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．如图，已知是的直径，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 17．如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 【考点1】圆的定义及性质 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【考点3】垂径定理的实际应用 【考点4】同心圆 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【考点7】点与圆的位置关系 【考点8】 确定圆的条件 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形与圆求角度 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【考点17】弧长的计算 【考点18】计算扇形的面积 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【考点20】圆锥的计算 知识点1： 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3： 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点4：圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点5： 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点6：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点7：点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 知识点8:过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点 9: 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点10： 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点11：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点12：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点13：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点14： 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点15： 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点16： 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的定义及性质 【典例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 【变式1-1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式1-2】A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径最大，一般弦，解答即可． 本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：根据圆的性质，得最大是圆的直径，为12，最小是一般弦，大于零即． 故选C． 【变式1-3】如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【详解】解：连接，   ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ， 故选：B． 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【典例2】如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式2-1】如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：设的半径为r， ，， ， 为直径， ， 是的中点， ， 在中， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2-2】如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于，则，，设圆形纸片的半径长为，则，，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， 设圆形纸片的半径长为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴圆形纸片的半径长是， 故选：． 【变式2-3】如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：B． 【变式2-4】如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】作的半径于，连接、，如图，利用折叠的性质得垂直平分，则，于是可判断为等边三角形，所以，利用含30度的直角三角形三边的关系求出，然后利用垂径定理得到，从而得到的长．本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质． 【详解】解：作的半径于，连接、，如图， 圆折叠后，圆弧恰好经过圆心， 垂直平分， ， 而， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【考点3】垂径定理的实际应用 【典例3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面的宽度为，拱高（的中点到水面的距离）为．    (1)求所在圆的半径； (2)若水面下降，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理： （1）根据垂径定理得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； （2）根据（1）即可得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为O，连接，， 是的中点，，即为圆的半径， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 故所在圆的半径为； （2）解：如图，连接，设与交于点G，则， 在中，，， ， ， 故此时水面的宽度为．    【变式3-1】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 【变式3-2】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，其圆心为点O，如图所示，正常水位下水面宽，水面到拱顶距离为，此桥的安全系数是拱顶距离水面不得小于．当洪水泛滥时，水面宽时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】不需采取紧急措施，理由见解析 【分析】本考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用，把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，先利用求出半径，再利用勾股定理求出的弦心距，再求出水面离拱顶的距离，即可作出正确判断． 【详解】解：如图，连接， 设， 在中，，， 得， 解得， 设，在中，， ， 解得：， (不合题设，舍去)， ， ， 此时不需采取紧急措施． 【考点4】同心圆 【典例4】如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． （1）过作，由等腰三角形的性质可知，，由此可得出结论； （2）根据垂径定理得到，，从而得到． 【详解】（1）证明：过作， 与均为等腰三角形， ，， ，即； （2）证明：， ，， ，即． 【变式4-1】（1）一个矩形的长比宽大，面积是．求该矩形的长和宽． （2）如图，两个圆都以点为圆心．求证：． 【答案】（1）矩形的长为，宽为；（2）见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”． （1）设宽为，则长为，再根据矩形的面积列方程即可求解； （2）过点作，垂足为点，根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：设宽为，则长为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， ， ， 矩形的长为，宽为； （2）证明：如图所示，作，垂足为点， 由垂径定理可得：，， ， 即． 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【典例5】如图所示，AD是的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据“直径所对的圆周角是直角”可得，进而求出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】如图，A、B、C三点都在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：根据圆周角定理可得：   故选：B． 【变式5-2】如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角的性质，延长交于点D，连接，根据圆周角定理求得，结合是的一个外角，则，即可求得可能的度数． 【详解】解：延长交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴的度数可能是， 故选：B． 【变式5-3】如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到．由圆周角定理得到，而，即可求出． 【详解】解：，， ． 故选：C 【变式5-4】如图，是的直径，点C在上，且，过点C的弦于线段相交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角是解题的关键．连接，根据题中的角度关系证明，求出，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【典例6】如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：A 【变式6-1】如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得． 【详解】在优弧上取一点D，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：C．    【变式6-2】如图，A，B，C，D在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，根据三角形内角和定理计算出，则根据圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质求解．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：连接、． ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式6-3】如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明即可得到答案．本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ． 故选：B． 【变式6-4】如图，四边形内接于，为边延长线上一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理．由圆周角定理求出，由圆内接四边形的性质推出，由邻补角的性质得到，由补角的性质推出． 【详解】解：，， ， 四边形内接于， ， ， ． 故选：B． 【考点7】点与圆的位置关系 【典例7】的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在圆外， 故选：C． 【变式7-1】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， 即， ， ， ，， 点在内、点在外， 故选：． 【变式7-2】已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 【考点8】 确定圆的条件 【典例8】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【变式8-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式8-2】下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【分析】根据圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故A错误； 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故B正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误； 平分弦的直径垂直于弦（不是直径的弦），故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，解题的关键是熟记定义进行判断． 【变式8-2】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【答案】C 【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案. 【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆． 故选：C． 【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键. 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【典例9】如图，△ABC的外接圆半径为8，∠ACB＝60°，则AB的长为（　　） A．8 B．4 C．6 D．4 【答案】A 【分析】连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH=∠BOH=60°，根据直角三角形的性质得到OH，AH的长，于是得到答案． 【详解】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB=60°， ∴∠AOB=2∠ACB=120°， ∵OB=OA=8， ∴∠AOH=∠BOH=60°， ∴∠OAB=30°， ∴OH=OA=4， ∴AH= ， ∴AB=2AH=8， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式9-1】若等边三角形的边长为2 cm，则其外接圆的半径等于（     ）； A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的概念进行画图分析计算. 【详解】经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，设圆的半径为xcm，则1.5x=，所以x=cm. 【点睛】本题考查了学生对外接圆掌握，把握外接圆的概念和其性质运用是解决此题的关键. 【变式9-2】在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． 【详解】解：在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和， 斜边长， ∵直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴该直角三角形的外心到直角顶点的距离为． 故选：B 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【典例10】已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系：圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．将圆心到直线距离与半径比较，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线L与的位置关系是相离， 故选：C． 【变式10-1】直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线l和相交，进行判断即可． 【详解】解：∵直线 与半径为 的 相交，且点 到直线 的距离为 ， ∴． 故选：C． 【变式10-2】在中，，为中点，以点为圆心，长为半径作，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定．先由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据切线的判定即可得出位置关系． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形 为中点 是等腰的高 为的半径 是的切线 与直线的位置关系是相切． 故选：B． 【变式10-3】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“时直线与圆相交，时直线与圆相切，时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨论即可得解． 【详解】解：由得， ， 解得，， ∴或． ∵圆心O到直线l的距离， ∴当时，，则直线l与相切， 当时，，则直线l与相交， ∴直线l与的位置关系是相交或相切． 故选：D． 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【典例11】如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 【变式11-1】如图，的半径为4，直线是的切线，为切点，连接，是直径．若弦于点，且，则的长度为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，含30度的直角三角形，根据切线的性质，角的和差关系，求出，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，垂径定理求出的长即可． 【详解】解：∵直线是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 【变式11-2】如图分别切于A、B、E，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，根据切线的性质证明，，得到，，进而得到，再根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵分别切于A、B、E， ， 在与中， ， ， ∴， 同理， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【典例12】如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 【变式12-1】如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． 【变式12-2】如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为3，若，求线段． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2) 【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可； （2）过作于，得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：过作于， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，则， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【变式12-3】如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为． (1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明； (2)若的半径长为，，求的长． 【答案】(1)与相切，证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可． （1）由已知可证得，为圆的半径，所以与相切； （2）连接，，由已知可得四边形为矩形，从而得到的长，再利用勾股定理求得的长，从而可求得的长，此时就不难求得了． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下： 连接， ， ； ， ， ， ∴； ， ， 与相切． （2）连接，； ，是的切线， ，， 又， 四边形为矩形， ； 在中，， ， ，， ． 答：长度为． 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【典例13】如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【变式13-1】以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（    ）． A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．根据切线的性质知：，；根据的周长可求出正方形的边长；在中，利用勾股定理可将的长求出，进而可求出直角梯形的周长． 【详解】解：设的长为，正方形的边长为， 与半圆相切于点， ，， ， ， ， 正方形的边长为4； 在中，，即，解得：， ， 直角梯形周长为14． 故选：C． 【变式13-2】如图，切于点，直线切于点，交于，交于点，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，然后根据周长即可求解，理解切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵与相切，直线与相切， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：． 【变式13-3】如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 【变式13-4】如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，圆内接四边形，连接，切线长定理结合等边对等角，求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵、是的切线，、为切点， ∴， ∴， ∵都在上， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点14】三角形的内切圆与内心 【典例 14】如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，， ， 连接、、， ，，， ，，，， ， 解得， 故选：A． 【变式14-1】如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（　　） A．48 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质． 设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由 的周长内切圆半径，即可求出的周长． 熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键． 【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ， 解得， ， ， ，即的周长为， 故选：C． 【变式14-2】如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，掌握内切圆与内心和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，    ∴，，，， 由勾股定理得，， ∴， 即， 解得，即的半径为， 故答案为：． 【变式14-3】如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5 【考点15】正多边形与圆求角度 【典例 15】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 【变式15-1】如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 【变式15-2】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 【变式15-3】如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 【变式15-4】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【典例16】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重台，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：∵该六边形为正六边形， ∴，， ∵轴，正六边形中心与原点0重合， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∵4次一个循环， ∴ 第2023次旋转结束时，点A的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质． 【变式16-1】2024年春节期间，河南多地大范围降雪． 如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形 ）的图形，放在平面直角坐标系中，若 与 轴垂直，顶点 的坐标为 ，则顶点 的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ．利用正多边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理等可求，，证明轴，结合点A的坐标即可求解． 【详解】解∶设正六边形的中心为点，连接、、，连接 交 与点，则 ． 正六边形 的边长为4， ，，， ，，， ， ， ． ，， 是等边三角形， ， 又轴， 轴， ． 故选∶D． 【变式16-2】如图，在正六边形中，以点O为原点建立平面直角坐标系，边落在x轴上.若点A的坐标为，则点B的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查正多边形，图形和坐标，勾股定理，先根据正六边形得到，，然后再中利用勾勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵正六边形，点A的坐标为 ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， 故答案为：．    【变式16-3】如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是 ． 【答案】. 【分析】过点P作PF⊥OA，垂足为F，计算PF，OF的长度即可. 【详解】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F， ∵正六边形的边长是2， ∴OA=2，∠OPA=60°， ∴OP=2，∠OPF=30°， ∴OF=1，PF=， ∴点P的坐标为（1，）， 故答案为：（1，）. 【点睛】本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的边长等于外接圆的半径，中心角为60°是解题的关键. 【考点17】弧长的计算 【典例 17】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长为， 故选：B． 【变式17-1】如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 ． 连接，然后根据圆周角定理求得的度数，最后根据弧长公式求解． 【详解】连接， ∵， ∴， 则劣弧的长为：． 故选B． 【变式17-3】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2，马面裙可以近似的看作扇环，其中的长为，裙长为，圆心角，则的长为 m． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，即可计算． 【详解】解：圆心角， 的长， 米， （米， 的长（米， 故答案为： 【变式17-4】如图，工人师傅需要按照中心线计算圆弧形弯管的“展直长度”再下料，根据图中的数据可得直管与弯管的总长度是 （取，结果精确到） 【答案】/297厘米 【分析】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∴圆弧形弯管的长为， ∴直管与弯管的总长度是． 故答案为：． 【考点18】计算扇形的面积 【典例18】如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 【变式18-1】如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 【变式18-2】如图，，是边长为2的正六边形的对角线，以为圆心，的长为半径画弧，得，则图中阴影部分的面积为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，进而求出，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ， ， ， 过作于， ， 在中，， ， 同理可证，， ， ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【典例19】如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 【变式19-1】如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式19-2】如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 【变式19-3】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 【考点20】圆锥的计算 【典例20】若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆的半径是，根据圆的周长公式得出，再求出即可． 本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥底面圆的周长是解此题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径是， 则， 解得：， 即圆锥底面圆的半径是， 故选：B． 【变式20-1】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 【变式20-2】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为 ； 故答案为：． 【变式20-3】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 一、单选题 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 2．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得，根据AC是的切线得到，即可求出答案．正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的切线，A为切点， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 4．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是正五边形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵与相切于点C， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 5．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故选：A． 6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 9．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆锥的底面半径为，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：留下的扇形的弧长为， 则圆锥的底面半径为， 圆锥的高为． 故选：C 二、填空题 11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．圆锥母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面圆的周长为， ∴圆锥的侧面积：， 故答案为：． 14．左图是2023年杭州亚运会的会标，抽象成如右图所示的扇形，已知，，，则图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键．图形的面积为扇形的面积与扇形的面积之差． 【详解】解：∵， ∴， ∴图形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 16．如图，已知是的直径，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）连接，由得：，根据平行的性质可得，，进而可得，再证明，可得，问题得证； （2）设的半径为x，则：，，在中，由勾股定理得：，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）如图，连接，    由得：， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵D在上， ∴是的切线； （2）设的半径为x，则：，， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 17．如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的性质，一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质和对顶角相等可知，从而可知，证得； （2）设，则，，，，根据勾股定理列出方程求解即可得出的值，从而求得的半径． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即． 为的切线， ， ． ， ， 又， ， ． （2）解：设，则． ， ， ，． ， ， ， 解得（舍去）或， ， ，即的半径为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$