精品解析：吉林省长春市朝阳区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度（上学期）期中质量监测•八年级数学 本试卷共三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，，中，无理数（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 多边形的内角和等于 C. 四边形的外角和等于 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3. 能够与数轴上的点是一一对应的数是（ ） A. 整数 B. 实数 C. 有理数 D. 无理数 4. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则a、b的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的平方根是________． 10. 的整数部分为______． 11. 分解因式：__________． 12. 计算：___________． 13. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 14. 以下四种方法中能够验证公式的有_______（填序号）． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 17. 已知的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个与全等，且顶点都在格点上的三角形．要求： （1）在图①中，所作三角形与只有一个公共顶点； （2）在图②中，所作三角形与只有一条公共边． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点C、D是线段AB上点，，．求证：． 21 已知，，． （1）_________； （2）求的值； （3）m，n，p之间的等量关系为_________． 22. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D. （1）求证.AE=CD； （2）若BD=5㎝，求AC的长. 23 数学活动：面积与代数恒等式 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们可以利用几何图形的面积解释代数恒等式． 【方法呈现】如图①，将三个正方形分别按照甲、乙、丙三种方法进行分割． 已知以下三个代数恒等式： ①； ②； ③． 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为__________． 【方法探究】利用【方法呈现】中所得到的代数恒等式，解决下面的问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【方法应用】如图②，在数轴上，从左到右的三个点、、表示的数分别是、8、10．以为边向上作正方形，以为边向上作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为100，求长方形的面积． 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上学期）期中质量监测•八年级数学 本试卷共三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：A. ，是有限小数，有理数； B.，是分数，有理数； C. ，4不是完全立方数，其立方根是无理数； D. ，是分数，有理数； 故选：C． 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 多边形的内角和等于 C. 四边形的外角和等于 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理、多边形的内角和公式、多边形的外角和性质以及平行线的传递性；根据平行线的判定定理、多边形的内角和公式、多边形的外角和以及平行线的传递性进行判断，即可求解． 【详解】解： A选项：同位角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； B选项：多边形的内角和等于（n为边数），只有当时内角和为，其他情况下均不为，故命题错误，是假命题； C选项：所有多边形的外角和都等于，是真命题； D选项：平行于同一条直线的两条直线互相平行，是平行线的传递性，是真命题； 故选：B． 3. 能够与数轴上的点是一一对应的数是（ ） A. 整数 B. 实数 C. 有理数 D. 无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，数轴上的每个点对应一个唯一的实数，同时每个实数在数轴上都有唯一对应的点；根据实数的定义，实数包括有理数和无理数，能够完整覆盖数轴上的所有点． 【详解】解：A、仅对应数轴上孤立的点，无法覆盖所有点，故A不符合题意； B、包含有理数和无理数，能够完整覆盖数轴上的所有点，满足一一对应关系，故B符合题意； C、虽然包括分数，但仍存在数轴上无法用有理数表示点，故C不符合题意； D、仅对应数轴上非有理数的点，无法覆盖有理数对应的点，故D不符合题意． 故选：B． 4. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算和合并同类项的规则。根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴ A错误； ∵ 选项B中，，∴ B错误； ∵ 选项C中，，∴ C错误； ∵ 选项D中，，∴ D正确． 故选：D． 6. 若，则a、b的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 7. 如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 8. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，数（）的平方根为，据此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 的整数部分为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的无理数的整数部分的含义，先确定，从而可得的整数部分，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， 故答案：． 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为： 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 13. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先进行多项式乘多项式的运算，使结果中的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算，是解题的关键． 14. 以下四种方法中能够验证公式的有_______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是解题的关键． 用不同方法分别用代数式表示各个图形中阴影部分面积即可得出等式，然后再逐个进行判断即可． 【详解】解：①阴影部分是两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于平行四边形的面积，可以验证平方差公式； ②阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于长方形的面积，可以验证平方差公式； ③阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为2a，宽为2b的长方形，面积为， ∴，故图③不能验证平方差公式； ④阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为． ∴，故图④可以验证平方差公式． 综上所述，能验证平方差公式的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用算术平方根及立方根进行运算，多项式除以单项式；能熟练利用法则进行运算是解题的关键． （1）先利用算术平方根及立方根进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）由多项式除以单项式的法则进行运算，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因数和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式x，然后再运用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式2，然后再运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解： ， ． 17. 已知的立方根是，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义、算术平方根的定义、平方根的定义，由立方根的定义得，由算术平方根的定义得，由平方根的定义得，即可求解． 【详解】解：∵的立方根是， ∴． ∴． ∵的算术平方根是3， ∴． ∴． 当，时， ． ∴的平方根是． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个与全等，且顶点都在格点上的三角形．要求： （1）在图①中，所作三角形与只有一个公共顶点； （2）在图②中，所作三角形与只有一条公共边． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据勾股定理和作图即可； （2）根据勾股定理和作图即可． 【小问1详解】 解：如下图三角形即为所求： 【小问2详解】 解：如下图即为所求． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式化简求解，先进行多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式， ， ． 当时， 原式， ． 20. 如图，点C、D是线段AB上的点，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接运用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 21. 已知，，． （1）_________； （2）求的值； （3）m，n，p之间的等量关系为_________． 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方的运算等知识点，掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则和逆运算法则是解题的关键． （1）将代入运用有理数乘方法则计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用的以及积的乘方逆用计算即可； （3）根据积的乘方逆用以及同底数幂的乘法运算得到，进而完成解答． 小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 22. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D. （1）求证.AE=CD； （2）若BD=5㎝，求AC的长. 【答案】（1）见解析；（2）10cm 【解析】 【分析】（1）先证出∠D=∠AEC，再利用AAS证出△DBC≌△ECA，即可得出AE=CD； （2）先根据△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根据AE是BC边上的中线，得出BC，最后根据AC=BC即可得出答案． 【详解】(1)证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°， ∴∠D=∠AEC. 在△DBC和△ECA中，， ∴△DBC≌△ECA(AAS)， ∴AE=CD. (2)∵△DBC≌△ECA， ∴BD=CE， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2CE=2BD=10cm， ∴AC=BC=10cm. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质. 23. 数学活动：面积与代数恒等式 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们可以利用几何图形的面积解释代数恒等式． 【方法呈现】如图①，将三个正方形分别按照甲、乙、丙三种方法进行分割． 已知以下三个代数恒等式： ①； ②； ③． 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为__________． 【方法探究】利用【方法呈现】中所得到的代数恒等式，解决下面的问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【方法应用】如图②，在数轴上，从左到右的三个点、、表示的数分别是、8、10．以为边向上作正方形，以为边向上作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为100，求长方形的面积． 【答案】【方法呈现】③②①；【方法探究】（1）6；（2）3；【方法应用】48 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式变形求值；能熟练利用完全平方公式进行求解是解题的关键． 方法呈现：观察图形即可求解； 方法探究： （1）由完全平方公式变形得，即可求解； （2）由完全平方公式变形得，即可求解； 方法应用：由图得，由完全平方公式变形得，即可求解． 【详解】解：方法呈现： 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为③②①； 故答案为：③②①； 方法探究： （1）， ， ， ； （2）， ， ， ； 方法应用： 由图得：， ， ， ， 长方形的面积为． 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或4 （4）或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：①当时，由为轴对称图形得，即可求解；②当时，同理可求； （4）①当时，由全等三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求． 【小问1详解】 解：由的运动得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点P与点C重合时， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ②当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； 【小问4详解】 解：①当时， ，， ， ， 解得； ②当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $