辽宁省普通高中2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学模拟试题（4）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（4） 高三数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、空间向量与立体几何 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意，当时，的图象与的图象有交点，则的取值范围为（   ） A．（0，1） B． C． D． 4．已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（    ） A．675 B．1275 C．1276 D．676 7．设空间向量．若因存在两个向量共线而无法构成一组空间基底向量，则（   ） A． B． C． D． 8．在锐角中，已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若复数（），则（   ） A．当z为实数时， B．当z为纯虚数时， C．当z的实部与虚部相等时， D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10．已知正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C． D．的最大值为1 11．已知中，，若，，则（   ） A． B． C． D．的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ． 13．设．若曲线在处的切线斜率依次成等比数列，则 ． 14．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 在钝角中，已知． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 16．（本小题满分15分） 已知 （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）若，求的最小值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知． （1）若，，求； （2）设，，证明：； （3）在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）证明：时，； （3）若有两个零点，求实数的取值范围． 辽宁鸿飞 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $辽宁省普通高中2025-2025学年上学期期中考试调研试题(4) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高三数学答题卡 (续15题) 17.(本小通满分15分) 姓名 准考证号 填 正确填涂 涂 错误填流示例 要 山区图☑曰 回口☐ 求 ▣▣ 条形码粘贴处 损用浦和范项 ▣ 涂右到动考有记 1.首先，检童是卡有无嘘损及印扇问题，若有问题请及时更模。前m黑色字迹签字笔在 注 规定位填写姓名。准考证号。接对条移上姓名，考证号是香正确，并贴好条形码， 意 1进择塑必颈使用出阳笔镇涂：非选择抛必绩使用，如m黑色享睫签字笔作答，字体工整 笔速漓望。 事 玉选样竖修改时请用擦皮博净后再作答：非透样蓝在对应题号答题区内作备，胡出害题区城 16.(本小题满分15分) 项 的答案无效：选择题和幸选择题在试卷，草璃纸上作答无效， 4保持卡面清洁，不可桥叠、污桃。整卡上蒙用涂改滚、修正带和胶带候 第一部分选择题（共58分） (须用2B铅笔填涂) a■■a■■■■■■■■m■■■■ 1.IAI(BIIC][DI 5.[AIIB]IC]ID] 9.A[BHCIIDI ■ 2.[A1IBIICIID]6.[A[B][CIID1 10.1A1IB11C11D1 ■ 3.[A]IB]ICIIDI 7.[AIIBIICIID] H1.IA][B]IC]ID] ■ 4.IAIIB]ICIID]s.[AJIBI[CIID ■■■■■ 第二部分非选择题（共92分） (须用0.5mm黑色字迹签字笔书写) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 三、填空题：每小题5分.共15分 2 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作容，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高三数学答题卡第1页（共6页） 高三数学答题卡第2页（共6页） 高三数学答题卡第3页（共6页）亚了着鸡元教等研元中心，监侧 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 (续17题) (续18题) (续19题) 18.(本小题满分17分) 19。(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 字4电教学狮元中心·盟制高三数学答题卡第4页（共6页） 高三数学答题卡第5页（共6页） 高三数学答题卡第6页（共6页） ■ 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（4） 高三数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D B B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 1．A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定． 【详解】因为， 当时，则， 即成立，可知充分性成立； 又因为， 当且仅当，即时等号成立，不一定，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2．D 【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可． 【详解】因为，所以， 解得，故D正确． 故选：D 3．C 【分析】求出分段函数的值域，根据对任意，当时，的图象与的图象有交点，可得函数的值域要覆盖所有的正实数，进而可得出答案． 【详解】当时，为减函数，则， 当时，为减函数，则， 因为对任意，当时，的图象与的图象有交点， 所以函数的值域要覆盖所有的正实数， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 4．D 【分析】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项． 【详解】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项，， 所以，函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，这两个函数的振幅不相等， 故与的图象不能通过平移重合，A错； 对于B选项，， ， 函数的振幅为，函数的振幅为， 所以与的图象不能通过平移重合，B错； 对于C选项，因为，， 函数与的图象不能通过平移重合，C错． 对于D选项，因为，， 将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，D对； 故选：D． 5．B 【分析】由求出的范围，进而可得结果． 【详解】因为为单位向量，所以由两边平方得， 所以得，而，所以夹角为0或锐角； 得到“”是“为锐角”的必要而不充分条件． 故选：B． 6．B 【分析】先根据已知，构造两个不等式和，再将这三个同向不等式相加，得到，又已知，从而得到，利用这个递推关系式及等差数列的前项和公式求出． 【详解】，，， 以上三个等式相加得：，又，， ，，，，， 以上等式相加，得，又，． 故选：B． 7．C 【分析】分类讨论向量共线的可能性情况，结合向量共线的坐标运算求解即可． 【详解】显然均不为零向量， 假设共线，则存在实数，使得， 则，方程组无解，假设不成立； 假设共线，则存在实数，使得， 则，方程组无解，假设不成立； 假设共线，则存在实数，使得， 则，解得，假设成立； 综上所述：． 故选：C． 8．B 【分析】利用正弦定理将已知式子化为．作于，设，即可求出．根据三角形内角和性质及两角和的正切公式，将所求用表示，计算化简，利用基本不等式求其最小值． 【详解】由可得， 由正弦定理可得， 如图，作于，设， 因为，所以， 化简得，解得， 易知，，所以， 因此＝ ＝＝， 当且仅当时取得最小值． 故选：B 9．ABD 【分析】根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断． 【详解】对于A，复数是实数，则，A正确； 对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确； 对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误； 对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解， 因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确． 故选：ABD 10．AC 【分析】借助消元法结合基本不等式计算可得A；因式分解后结合基本不等式计算可得B、C；举反例可得D． 【详解】由，则； 对A：由，则， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故B错误； 对C：由，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 但为正实数，不能取等，故，故C正确； 对D：由，取，则， 此时，故D错误． 故选：AC． 11．ACD 【分析】A选项，由正弦定理及题目条件得到，，则，，结合同角三角函数关系得到A正确；B选项，先得到，又，，故；C选项，由正弦定理得到，结合勾股定理得到，从而得到C正确；D选项，由三角形面积公式可得D正确． 【详解】A选项，，， 故， 由正弦定理得， 又，故，所以， 又，故，则，， 因为，所以，A正确； B选项，， 又，，故，B错误； C选项，由勾股定理得， 由正弦定理得， 故， 由B知，，则， 即，C正确； D选项，的面积为，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】构造函数，再利用奇函数的性质将不等式转化为，进而根据函数的单调性求解即可． 【详解】因为是上的奇函数，则， 所以， 设函数， 则， 不等式可化为，， 即不等式， 又在上单调递增， 则在上单调递增， 所以，解得． 故答案为：． 13． 【分析】由导数的几何意义及等比中项求解． 【详解】因为 所以， 因为在处的切线斜率依次成等比数列， 所以，即， 解得． 故答案为：． 14． 【分析】设为三棱锥的高，得到球的球心在上，结合三棱锥的几何特征和球的截面的性质，求得外接球的半径，利用表面积公式，即可求解． 【详解】因为三棱锥为正三棱锥，又， 所以，又， 设为三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且为等边的中心， 如图所示，设外接球的半径为，延长交于点，则， 在等边中，可得，则， 所以， 所以，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）由余弦定理得到，得到，故或，舍去不合要求的解，得到答案； （2）在（1）基础上得到，根据周长得到，求出三角形面积． 【详解】（1）由余弦定理可知，所以， 故， ，， 则， ， 或． 当时，，不为钝角三角形，舍去， 时，满足要求． （2）由（1）可得， 由正弦定理，即． 周长，所以． 则的面积． 16．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解； （2）分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解． 【详解】（1）当时，在上单调递减，符合题意； 当时，的图象对称轴是，注意到， 而在上单调，则，解得； 当时，注意到对称轴，满足在上单调； 综上，． （2）①当时，在上单调递减，， ②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为， （ⅰ）当，即时，对称轴， 则在上递减，在上递增， ； （ⅱ）当，即时，在上递减， ； ③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧， 则在上单调递减，故； 综上所述，． 17．（本小题满分15分） （1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故； （2）由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 18．（本小题满分17分） （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【分析】（1）利用完全平方与平方关系，由求出，解出，再求即可； （2）利用完全平方与平方关系，由表示出，再将进行拆分，变形，表示为所求形式即可； （3）由（2）的结论代入，根据提示进行变形，得出，再求出其首项不为0即可证其为等比数列；同时证明为等比数列，分别求出通项，做差即可解得． 【详解】（1）由题意可得，①                则， 所以，， 所以， ② 联立①②解得，              所以． （2）证明：，， 则， 故 ，． （3）证明：由（2）得：， 时，有 ，， 则， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 同理， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 结合等比数列的通项公式，可得： ，， 两式作差，得， 故 ． 19．（本小题满分17分） （1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）对函数求导，求出单调区间即可． （2）分析可知原不等式等价于，令，结合（1）分析证明即可． （3）先对求导，然后分两种情况进行讨论该函数的零点个数，进而求得的范围． 【详解】（1）对函数求导得． 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因为， 可得，所以， 由（1）可知：，即， 可得，即，当且仅当时，等号成立， 用替换可得，即，当且仅当时，等号成立， 令，则原不等式等价于， 因为，，且， 又因为在内单调递减，可得， 所以． （3）， 所以． 当时，，在上单调递减，至多有一个零点； 当时，由得， 则当时，，单调递减， 则当时，，单调递增， 此时． 因为当时，，当时，， 则要使有两个零点，需． 令，则在上单调递增， 又，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $