精品解析：河南省部分学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

高一数学期中试卷 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 4. 已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数是幂函数，再验证即可. 【详解】解：因为函数是幂函数， 所以，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故选：D 5. 已知函数是定义在上偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义域、对称轴方程可求出、的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以，解得， 函数的对称轴方程为，解得， 故，， 因此. 故选：D. 6. 已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含量词的命题为真命题，可得关于参数的不等式，解得的范围，依题再求各范围的交集即得. 【详解】由命题“”是真命题，可得，即； 由命题“”为真命题，可得，解得， 因命题均为真命题，故可得． 故选：B． 7. 函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，在区间上单调递增，在区间上单调递增，且， 所以，解得， 故选：C. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】从函数的定义域、对应关系和值域对各选项逐一分析判断即得. 【详解】对于A，的定义域为的定义域为，故不是同一函数； 对于B，的值域为的值域为，故不是同一函数； 对于C，，定义域都为，是同一函数； 对于D，的定义域为的定义域为，故不是同一函数． 故选:ABD． 10. 已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“”为假命题 D. 若的解集为，则⫋ 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可得选项A错误；利用二次函数对称轴可得选项B正确；根据关系化简不等式可得选项C正确；利用两不等式的关系可得选项D错误. 【详解】由题意得，，且是关于的方程的根， 所以，即，故A错误. 因为的图象的对称轴是直线，开口向下，且， 所以，故B正确. ，故C正确. 由得，由必可得到，所以⫋，故D错误． 故选：BC． 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意知，可得函数关于点对称，又为偶函数可得函数为周期是的周期函数，于是可求，并验证关于直线对称，即可判断A,C;对于C，利用的解析式，可直接判断其单调性；对于D，通过分析判断与均关于点对称，结合两函数的单调性和对称性推出两者在区间上有2020个交点，利用对称性即可求和验证. 【详解】 由得的图象关于点对称， 由为偶函数得图象关于直线对称， 则为周期函数，周期为，如图作出在上的图象. 对于A， ，故A正确； 对于B，，因函数在内单调递增， 则在内单调递增，故B错误； 对于C，由图知关于直线对称，则，故C正确； 对于D，由，可得的图象关于点对称， 而图象也关于点对称， 计算得与在区间上有个交点， 从左向右依次为，， 则， 故，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，则，应用函数的解析式计算结合奇函数的性质即可求出解析式. 【详解】当时，，则，所以． 故答案为：. 13. 已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据单调性即可解出不等式. 【详解】不妨设，由条件可得， 即，令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以由得，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，代入值，利用交并补运算法则计算即得； （2）就集合分和两种情形考虑，依题列出不等式组，解之即得. 【小问1详解】 由题意得，． 若，则， 故， 又， 则或． 【小问2详解】 当时，，解得． 当时，由，得，解得． 综上，的取值范围是． 16. 红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）一年的游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万 【解析】 【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可. 【小问1详解】 由题意得， 【小问2详解】 当时，单调递增，此时． 当时，， 此时． 当时，， 当且仅当，即时取等号．此时． 综上，一年的游客为29万人时，该景区一年利润最大，最大利润是249万． 17. 已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）对，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用分解因式的方法求解不等式. （2）先证明，再说明时条件满足，即可得到的最小值是. 【小问1详解】 由， 可知不等式等价于. 由，得，所以原不等式的解集为． 【小问2详解】 在条件中取，可得，从而，即. 而当时，对任意，有，满足条件. 所以的最小值为. 18. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过给赋值可得结果. （2）利用定义法可证明函数在上是减函数. （3）通过题目条件把不等式转化为，利用函数定义域和单调性可得，分离参数即可得到的取值范围. 【小问1详解】 令，有，得． 令，有，又，所以． 令，得， 令，得． 【小问2详解】 任取且， 则， 因为且，所以，所以，则， 所以，即，所以函数在上是减函数． 【小问3详解】 由（1）知，则． 因为函数的定义域为，且在上是减函数， 所以由，得，则． 对勾函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是． 19. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． （1）①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． （2）集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】（1）①12; ②-1 （2）①13184; ②-1 【解析】 【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. 【小问1详解】 ①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． 【小问2详解】 因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中试卷 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，表示的不是同一函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“”为假命题 D. 若的解集为，则⫋ 11. 定义域为函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______． 13. 已知函数，则的单调递减区间为______． 14. 定义在上函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数． （1）若，解关于的不等式； （2）对，不等式恒成立，求的最小值． 18. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． （1）①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． （2）集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $