精品解析：云南省昆明市盘龙区云师大实验中学盘龙学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年云南师范大学实验中学盘龙校区高二期中考试 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，点P在CD上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若正实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义运算则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，其中所有正确结论的序号是（ ） A. 曲线为一个圆； B. 曲线上存在点，使得到点的距离为6； C. 直线（为常数），无论为何值，直线与曲线恒有两个交点； D. 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8. 10. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件是互斥事件 D. 事件相互独立 11. 如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 13. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______. 14. 已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的周长的最大值为____________ . 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，，的外接圆为圆M，直线l的方程为. （1）求圆M的方程； （2）若直线l与圆M相交于E，F两点，，求k的值. 16. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 17. 在中，角所对的边分别为，满足，. （1）证明：外接圆的半径为； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南师范大学实验中学盘龙校区高二期中考试 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】得出集合，再由集合的交集求法得出答案. 【详解】集合，， 则， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出并代入计算作答. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 3. 珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算古典概型概率即可. 【详解】总共14颗算珠，其中上珠4颗，故从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为. 故选：C 4. 在中，，点P在CD上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用共线定理推论可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又P，C，D三点共线，所以，得. 故选：D. 5. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 6. 若正实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值. 【详解】 , . 故选:D. 7. 若定义运算则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，写出函数解析式，根据对数函数以及指数函数的图象性质，结合图象对称变换，画出图象，写出分段函数且明确定义域，可得答案. 【详解】由题意可得：， 作函数与函数的图象，如下图所示： 由图可知：， 易知其值域为. 故选：C. 8. 有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可. 【详解】可得，， ， 又， 由正弦定理得， 则， 解得，. 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， 或，答案不唯一，不符合题意， 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， 或， ，，答案唯一，符合题意， 故答案为， 故选：B. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，其中所有正确结论的序号是（ ） A. 曲线为一个圆； B. 曲线上存在点，使得到点的距离为6； C. 直线（为常数），无论为何值，直线与曲线恒有两个交点； D. 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断A是否正确；由A可知，圆上的点到的距离的范围为，进而可判断B是否正确；确定直线过的定点，判断定点与圆的位置，即可判断C是否正确；由椭圆的定义，可知在椭圆上，再联立椭圆与曲线的方程求交点，即可判断D是否正确. 【详解】对于A：设，因为满足，所以， 整理可得：，即，曲线为一个圆，所以A正确； 对于：由A可知，所以点在圆的外部， 因为到圆心的距离，半径为2， 所以圆上的点到的距离的范围为，而，所以B不正确； 对于C：直线（为常数），则，则直线过定点，因， 所以点在圆内，则无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确； 对于D：假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为8， 则在以点与点为焦点，长轴长为8的椭圆上，即在椭圆上， 联立方程与，解得，所以椭圆与圆有交点， 故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8；所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件是互斥事件 D. 事件相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到；B选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到中共有情况数，得到；C选项，计算出，得到C正确；D选项，，D错误. 【详解】A选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种情况， 其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：，共3种情况， 故，A正确； B选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：，共7种情况， 故中共有种情况，故，B正确； C选项，由于事件中无相同情况，故，所以件是互斥事件，C正确； D选项，因为，事件不互相独立，D错误. 故选：ABC 11. 如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥的体积公式，等体积法，针对各个选项即可分别求解. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点， 又为的中点，所以， 又平面平面，平面，故A选项正确； 对B选项，因为在正方体中，所以平面平面， ，由已知得面，面， 则，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 13. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面可知即为所求角，利用可求得结果. 【详解】连接， 平面，即为直线与平面所成角， 在中，，， . 故答案为：. 14. 已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的周长的最大值为____________ . 【答案】14 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义结合图象及三角形三边的关系即可得出答案. 【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为， 则， ， ∵， ∴的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， ∴的周长最大值为14． 故答案为：14. 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，，的外接圆为圆M，直线l的方程为. （1）求圆M的方程； （2）若直线l与圆M相交于E，F两点，，求k的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，进而得到圆心为线段AB的中点，，半径为求解； （2）直线l与圆M相交于E，F两点，且，由，求得d，再利用点到直线的距离求解. 【小问1详解】 解：因为圆M经过点､､，且， 所以，， 所以圆心为线段AB的中点，半径为， 所以圆M的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线l的距离为d， 因为直线l与圆M相交于E，F两点，且， 所以，即， 解得， 所以， 解得或. 16. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 17. 在中，角所对的边分别为，满足，. （1）证明：外接圆的半径为； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由，得， 由正弦定理得: ， 化简得. 因为，所以. 又，所以， 所以外接圆的半径为. （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可； （2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 要使恒成立， 即恒成立， 即求的最大值. 由余弦定理得， 所以 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 18. 已知等边的边长为4，分别是边的中点（如图1），现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且（如图2）. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 分别是边的中点，， 如图，连接交于，连接， 由折叠可知，平面平面， 平面平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用折叠前后的相关位置关系，由线面垂直的判定定理和性质定理推理即得； （2）结合图形特征建系，求出相关点的坐标，将的坐标用参数表示，求出平面的法向量坐标，利用点到平面距离的空间向量公式列出方程，求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 等边的边长为， ， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设， 在平面中，， 不妨设平面的法向量， 则令，得，故可取. 则点到平面的距离为解得或（舍去）， 为的中点，， 满足条件的点存在，且. 19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：设，则，故， 而，故. 故为定值且定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，再根据可求，故可求标准方程. （2）设，则可得，根据在椭圆上可得定值. （3）求出的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围. 【小问1详解】 由题设有，且，故， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设. 圆，直线， 由可得即， 故， 由可得即， 同理， 而，， 而，故 ， 令，故，其中， 故 ， 而，故，故. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用斜率或点的坐标表示目标函数，后者需要结合不等式、函数性质或导数等工具来求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $