第4章 微专题4 与对数函数有关的复合函数-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦对数型复合函数，系统讲解单调性、值域、奇偶性等问题，从对数函数基本性质导入，通过换元思想将复合函数转化为初等函数，搭建从基础到复杂问题的学习支架。 其亮点是以换元法为主线，结合定义域优先原则，如例1分a>1和0<a<1讨论单调性，例4换元转化求值域，培养数学思维中的逻辑推理和数学眼光中的抽象能力，用规范步骤体现数学语言精确性。学生能掌握通法，教师可高效实施教学。

微专题4　与对数函数有关的复合函数 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数． 微专题4　与对数函数有关的复合函数 类型1　对数型复合函数的单调性 【例1】　讨论函数f (x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为． ①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数， ∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数； 若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数， ∴f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， ②当0＜a＜1时，若x＞1，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数； 若x＜－，则f (x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 微专题4　与对数函数有关的复合函数 【例2】　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围． [解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增， ∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立， 微专题4　与对数函数有关的复合函数 即 ∴2≤a≤2(＋1)， 故所求a的取值范围是[2，2＋2]． 类型2　对数型复合函数的值域 【例3】　求函数f (x)＝lo(1＋2x－x2)的值域． [解]　令u＝1＋2x－x2，可得0＜u≤2， 因为y＝lou在(0，2]上是递减的， 所以lou∈[－1，＋∞)． 故f (x)＝lo (1＋2x－x2)的值域为[－1，＋∞)． 微专题4　与对数函数有关的复合函数 【例4】　求函数f (x)＝log2(4x)·lo，x∈的值域． [解]　f (x)＝log2(4x)·lo＝(log2x＋2)· ＝－[(log2x)2＋log2x－2]． 设log2x＝t． ∵x∈，∴t∈[－1，2]， 则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]， 微专题4　与对数函数有关的复合函数 因此二次函数图象的对称轴为t＝－， ∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数， ∴当t＝－时，有最大值，且y最大值＝． 当t＝2时，有最小值，且y最小值＝－2． ∴f (x)的值域为． 类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性 【例5】　已知函数f (x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)为偶函数． (1)求实数a的值； (2)讨论函数f (x)的单调性． 微专题4　与对数函数有关的复合函数 [解]　(1)∵f (x)为偶函数，∴f (－x)＝f (x)， ∴ln (1－x)＋ln (a＋x)＝ln (1＋x)＋ln (a－x)， ∴ln (1－x)－ln (1＋x)＝ln (a－x)－ln (a＋x)， ∴ln ＝ln ，∴＝， 整理得2x(a－1)＝0， ∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1． (2)由(1)知f (x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)， 要使函数f (x)有意义，应满足 ∴－1<x<1，∴函数f (x)的定义域为(－1，1)． 设x1，x2是区间(－1，1)上的任意两个实数，且x1＜x2， ∴f (x2)－f (x1)＝ln (1＋x2)＋ln (1－x2)－ln (1＋x1)－ln (1－x1)＝， 当－1<x1<x2<0时， ， >0， ∴f (x2)－f (x1)>0， ∴f (x2)>f (x1)， ∴f (x)在(－1，0)上是增函数． 当0≤x1<x2<1时， ， ， <0， ∴f (x2)－f (x1)<0，∴f (x2)<f (x1)， ∴f (x)在[0，1)上是减函数． 综上可知，函数f (x)在(－1，0)上是增函数，在[0，1)上是减函数． $