专题02 指数函数9类题型归纳（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02指数函数9类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、指数函数（复合）的定义域 类型二、指数函数（复合）的值域 类型三、指数函数过定点问题 类型四、指数函数的图像问题 类型五、指数函数（复合）单调性的综合应用 类型六、指数函数奇偶性的综合应用问题 类型七、指数函数比较大小问题 类型八、指数函数的恒成立与能成立问题 类型九、指数型“倍增函数”“放大镜函数”“高斯函数” 压轴专练 类型一、指数函数（复合）的定义域 含指数函数的复合函数的定义域 ①由于指数函数(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数的定义域与f(x)的定义域相同 ②对于函数y=f()(a>0,且a≠1)的定义域,关键是找出t=的值域哪些部分y=f(t)的定义域中 例1.（25-26高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-1.（25-26高一上·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，则的取值范围是 变式1-3.若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型二、指数函数（复合）的值域 指数型复合函数的值域 求解形如的指数型函数值域的思路： 1.分析的单调性以及值域； 2.分析的单调性； 3.根据复合函数单调性的判断方法，分析出的单调性并计算出值域 例2.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2．已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 变式2-3．已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 变式2-4.已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 类型三、指数函数过定点问题 指数函数的图像都经过点（0,1），， 例3．已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（    ） A．16 B．6 C． D． 变式3-1．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式3-2.（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点A在幂函数上，则 . 变式3-3．(多选)已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 类型四、指数函数的图像问题 指数函数相关的图像问题 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 例4.（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 变式4-1.（24-25高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 变式4-2．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 变式4-3．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 类型五、指数函数（复合）单调性的综合应用 复合函数单调性：复合函数由内函数和外函数构成，其单调性遵循“同增异减”法则： ①内外两个函数都是增函数（或减函数），原函数就是增函数； ②内外两个函数一增一减，原函数就是减函数 例5．若函数有最大值，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 变式5-1已知函数（且）在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2.（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 变式5-3．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 类型六、指数函数奇偶性的综合应用问题 指数函数相关的奇偶性问题，核心是处理指数函数参与构成的复合函数（因为基本指数函数本身非奇非偶），解题的关键在于抓住“定义域对称”和“f(-x)与f(x)的关系”，结合指数运算规则化简分析 例6.（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 变式6-1.已知是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 变式6-2已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 变式6-3．已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 类型七、指数函数比较大小问题 ①若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果。 ②若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果； ③不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断 ④同构函数在比大小时也是非常有用的武器 例7.已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式7-1.（25-26高一上·河南信阳·阶段练习）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2.若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3.（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 类型八、指数函数的恒成立与能成立问题 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解 例8.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-1.已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式8-3.（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 变式8-4.定义在上的奇函数，满足，且时，. (1)求在上的解析式； (2)判断在内的单调性，并给予证明； (3)当为何值时，关于的方程在上有实数解？ 类型九、指数型“倍增函数”“放大镜函数”“高斯函数” 三类函数均以指数运算为核心，解题关键是“抓本质特征+用对应公式”——倍增函数盯“倍增周期”，放大镜函数抓“指数放大效应”，高斯函数聚焦“对称轴与最值”，结合指数运算或图像性质即可突破 例9.（1）定义在上的偶函数满足，当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数的取值范围为___________. （2）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论： ①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（       ） A． B． C． D． 变式9-1．定义在上的偶函数满足，且时，，则__________. 变式9-2．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 变式9-3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 压轴专练 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象是（　　） A．B．C． D． 5．在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 8．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 三、填空题 9．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 10．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是 ． 11．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则函数的最大值为 ． 12．已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 14．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 15．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 16．已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，． (1)求的值； (2)若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02指数函数9类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、指数函数（复合）的定义域 类型二、指数函数（复合）的值域 类型三、指数函数过定点问题 类型四、指数函数的图像问题 类型五、指数函数（复合）单调性的综合应用 类型六、指数函数奇偶性的综合应用问题 类型七、指数函数比较大小问题 类型八、指数函数的恒成立与能成立问题 类型九、指数型“倍增函数”“放大镜函数”“高斯函数” 压轴专练 类型一、指数函数（复合）的定义域 含指数函数的复合函数的定义域 ①由于指数函数(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数的定义域与f(x)的定义域相同 ②对于函数y=f()(a>0,且a≠1)的定义域,关键是找出t=的值域哪些部分y=f(t)的定义域中 例1．（25-26高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 变式1-1．（25-26高一上·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 变式1-2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，则的取值范围是 【答案】. 【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上有意义， 所以，不等式在区间上恒成立， ∵，∴，∴. 记， ∵与是上的减函数， ∴函数在上的单调递增. ∴时，恒成立. ∴，即的取值范围是 变式1-3．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 类型二、指数函数（复合）的值域 指数型复合函数的值域 求解形如的指数型函数值域的思路： 1.分析的单调性以及值域； 2.分析的单调性； 3.根据复合函数单调性的判断方法，分析出的单调性并计算出值域 例2.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求的范围，再求的值域. 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 变式2-1．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可. 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 变式2-2．已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分段函数的解析式画出函数图象，结合值域即可求得答案. 【详解】如图，当时，令，解得， 令，解得或（舍）. 当时，易知，所以令，解得， 故该值域对应的一个定义域为. 故答案为：（答案不唯一） 变式2-3．已知函数满足. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出后代入方程即可求解； （2）先求出，令，利用二次函数性质即可求解值域. 【详解】（1），由题意有， 化简得，解得（舍去）或，故； （2）由（1）可知，所以， 令（当且仅当时取等号）， 所以所求函数为， 由函数在上单调递增，所以， 即函数的值域为. 变式2-4.已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 类型三、指数函数过定点问题 指数函数的图像都经过点（0,1），， 例3．已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（    ） A．16 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】通过可得定点，代入等式得，然后通过展开可求最小值. 【详解】令 ，得，此时，为， . ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故选：A. 变式3-1．（24-25高一上·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴，其图象不经过第四象限， 故选：D. 变式3-2．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 变式3-3．(多选)已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，先由指数函数特征求出，故，由基本不等式求出积的最大值；B选项，，解得，变形得到，求出最小值；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； 【详解】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 类型四、指数函数的图像问题 指数函数相关的图像问题 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 例4．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 变式4-1．（24-25高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 变式4-2．函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据函数表达式，求得函数为偶函数，且恒成立即可判断 【详解】由题意可得： 故函数为偶函数，图象关于y轴对称，可排除C和D选项 又恒成立，可排除A选项。故选：B 变式4-3．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 类型五、指数函数（复合）单调性的综合应用 复合函数单调性：复合函数由内函数和外函数构成，其单调性遵循“同增异减”法则： ①内外两个函数都是增函数（或减函数），原函数就是增函数； ②内外两个函数一增一减，原函数就是减函数 例5．若函数有最大值，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的性质，结合的最大值，求得的值. 【详解】由于函数有最大值，所以，且当时，取得最大值为，故. 故选：D 变式5-1已知函数（且）在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可知内层函数在区间上为减函数，则外层函数为增函数，结合对任意的恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】令，由于且，内层函数在区间上为减函数， 所以，外层函数为增函数，则有， 由题意可知，不等式对任意的恒成立，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 变式5-2．.（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】令，根据单调性可求出的取值范围，将转化成在上恒成立，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 令， 因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，所以. 故选：B 变式5-3．已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 类型六、指数函数奇偶性的综合应用问题 指数函数相关的奇偶性问题，核心是处理指数函数参与构成的复合函数（因为基本指数函数本身非奇非偶），解题的关键在于抓住“定义域对称”和“f(-x)与f(x)的关系”，结合指数运算规则化简分析 例6．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以， 经验证，，故. 故选：B. 变式6-1.（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是，由于是偶函数，所以， 即，所以，即， 所以，解得，当时，， ，符合题意，所以. 故选：C 变式6-2．.已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案. 【详解】当时，则，， 当时，则，，，所以为奇函数， 因为时为增函数，又为奇函数， 为上单调递增函数，的图象如下， 由得， 所以，即在都成立，即，解得.故选：D 变式6-3．已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得 ，求得最大值即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以对于恒成立， 即，整理可得：，因为，所以，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以不等式即不等式， 可得在上恒成立，所以，令，则 令，， 因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即得，所以整数m的最大值为，故选：B 类型七、指数函数比较大小问题 ①若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果。 ②若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果； ③不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断 ④同构函数在比大小时也是非常有用的武器 例7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 变式7-1（25-26高一上·河南信阳·阶段练习）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断大小即可得解. 【详解】， 因为函数在R上是增函数，所以，即． 又，而在上单调递增，所以， 所以，因此． 故选：C． 变式7-2．若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的性质可知是上的增函数；根据题意可知，即，再根据函数的单调性，可得，由此即可得到结果． 【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数． 因为，所以，即，所以，所以． 故选：C． 变式7-3．（多选）已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知结合不等式及函数单调性可得，检验各选项即可判断． 【详解】因为正实数满足，即， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD. 类型八、指数函数的恒成立与能成立问题 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解 例8．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】，所以，，整理得， 解得.。故选：C 变式8-1已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出的值域A，的值域B，把题意转化为，建立不等式组，求出m的范围. 【详解】定义，，值域为A； 令，，则可化为在上单增，所以，，即集合. 定义，，值域为B； 因为对称轴，所以在上单调递减，所以，即集合 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以.只需解得：，即.故选：D 变式8-2．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． (1)求函数和的解析式； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解； （2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得. （2）因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 变式8-3．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得； （2）首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可； （3）依题意可得对恒成立，由，即可得到，从而得解. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 则， 而，解得， 所以的值是. （2）由（1）得，是定义域为的奇函数， 又，则，即，又，解得， 则 所以函数在上单调递增，证明如下： 设且， 则， 因为，则，即，， 于是得，即， 所以函数在定义域上单调递增. （3）当时，， 因为，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围为. 变式8-4.定义在上的奇函数，满足，且时，. (1)求在上的解析式； (2)判断在内的单调性，并给予证明； (3)当为何值时，关于的方程在上有实数解？ 【答案】(1)答案见解析 (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，当时，得到，再结合函数的周期和奇函数的性质，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由（2）知函数在内是减函数，结合函数为奇函数，求得函数的值域进而求得实数的范围. 【详解】（1）解：当时，，    因为函数为奇函数，可得， 当时，有，得， 又因为有周期4，可得， 因为，所以， 综上可知，函数的解析式为. （2）解：函数在上为减函数， 证明：设，则， 因为，可得，，且， 所以，即，故在内是减函数. （3）解：由（2）知，函数在内是减函数，且当时，， 又因为为奇函数，可得时，， 且，所以函数的值域， 要使得关于的方程在上有实数解， 则满足或或， 即实数的范围为. 类型九、指数型“倍增函数”“放大镜函数”“高斯函数” 三类函数均以指数运算为核心，解题关键是“抓本质特征+用对应公式”——倍增函数盯“倍增周期”，放大镜函数抓“指数放大效应”，高斯函数聚焦“对称轴与最值”，结合指数运算或图像性质即可突破 例9.（1）定义在上的偶函数满足，当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】由函数为偶函数且关于对称即可求出函数的周期为，然后画出函数图象利用数形结合的方法即可求解. 【详解】∵为为偶函数，∴，又∵， ∴，∴，即的周期为，画出函数的图象，如图所示，令， ∵不等式的整数解有且仅有9个，∴，解得 ， ∴的取值范围为，故答案为：. （2）已知函数，其中，给出以下关于函数的结论： ①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可画函数图象，结合图象可解. 【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图： ∵，故①正确； 由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确； 当时有无数个实数根，故③错误； 当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确, 故选：C （3）设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可． 【详解】因为，所以，则是奇函数， ， 因为，所以，则，则，即的值域为， ①若，由，则， 所以 ②若，由，则， 所以 ③若，则，所以. 综上所述，函数的值域为.故选：B 变式9-1．定义在上的偶函数满足，且时，，则__________. 【答案】2019 【分析】先判断函数的周期性，再利用周期性改变自变量的大小，将自变量转化到已知对应关系的区间上，代相应的解析式即可 【详解】根据题意，函数满足。则, 则函数是周期为的周期函数， 又由时, ，则 则，故答案为 : 变式9-2．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 因为，所以，即. 在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）. 由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为， 因此，为使时，恒成立， 需，即，解得或，故选C 变式9-3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（    ） A． B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2} 【答案】B 【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案. 【详解】,令，令， 二次函数开口向上，对称轴为，， 所以，也即.所以.故选：B 压轴专练 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 2．已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题可得的奇偶性，单调性，据此可得答案. 【详解】由题，. 令，， 又定义域为R，则为奇函数. 函数均在定义域内单调递减， 则为R上的单调递减函数. . 故选：C 3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，求得为奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，当时，，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状. 故选：B. 5．在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得关于直线对称，判断在上单调递增，由此可得，运算得解. 【详解】， ， 所以函数关于直线对称， 当时，， 由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， ，化简整理得， 解得. 故选：C. 6．已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得当时，，不等式可得，根据函数奇偶性、单调性及列式求解即可. 【详解】因为是上的奇函数， 所以，解得． 易知当时， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减．因为，， 所以不等式可化为，即， 则，又，所以，则， 由函数的单调性可知，解得或． 故选：A． 二、多选题 7．设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 8．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，由函数关于直线对称及，结合偶函数定义判断；对B，由函数周期性得在解析式，判断其单调性；对C，由偶函数性质及函数关于直线对称可得；对D，由函数周期性可求. 【详解】对于A：因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，为偶函数，A正确； 对于B：因为，所以，即周期为， ，，， 所以，因为在单调递增， 所以在单调递增，B错误； 对于C：因为为偶函数，因为的图象关于直线对称， 所以关于对称，C正确； 对于D：因为周期为，所以，又关于对称， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 9．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围即可. 【详解】对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则，解得， 故答案为：. 10．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得在区间上单调递增，所以可将不等式转换为即可求解． 【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，因为，， 所以，所以， 即或，解得或， 所以a的取值范围是． 故答案为：. 11．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】通过奇偶性得到，进而求得，再结合一元二次函数即可求解. 【详解】由题意可得： 解得， 令定义域为，由解析式可知其单调递减， 当时，，当时， 所以， 当时取“=”，的最大值为． 故答案为： 12．已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析知，原题条件等价于在区间上恒成立，结合基本不等式求解在区间上的最小值即可. 【详解】设函数在上单调递增，函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 在区间上恒成立等价于在区间上恒成立. ，当且仅当时，等号成立， ，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）由，令，得，分别讨论和，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， ， . （2）由（1）可知，设， 则 ， ， ，即， 函数在上单调递增， 则不等式化为：， 可得， 且， . （3）， ， 令，由，则， ， 当时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知. 14．已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 15．已知函数是奇函数． (1)求的值并判断的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上为增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数定义计算求参，再结合指数函数单调性得出单调性即可； （2）先根据函数单调性得出在时恒成立，再结合基本不等式计算求解； （3）先根据题意把存在及恒成立转化为，再分，，分别讨论列式计算求参. 【详解】（1）若为奇函数，则， 即， ，则， ，解得：． 又函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 因此函数在R上为增函数． （2）由题意得在时恒成立， 因为是R上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即在时恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 即，故，即． （3）由题意，使得，所以， 因为，由（1）可得， 因为的对称轴为直线 ①当时，在区间上单调递增，所以 由，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 由，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为． 16．已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，． (1)求的值； (2)若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）存在， 【分析】（1）利用偶函数的定义，将问题转化为恒成立问题即可求出，利用得出，再利用奇函数的定义检验； （2）先化简，令，则转化为， （ⅰ）先求出，再按照、、三种情况讨论，结合单调性求最值； （ⅱ）将问题转化为不等式的解集为，利用是方程的两根即可求解. 【详解】（1）因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即， 所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； （2）因为， 则 ， 令，则， （ⅰ）因为，且是关于的增函数，所以， ，对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以， 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为； （ⅱ）因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且， 所以有，且， 解得， 所以当时，不等式的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $