4.5.1 几种函数增长快慢的比较-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦指数函数、对数函数与一次函数的增长差异比较，通过“房价增长与储蓄”的生活情境导入，衔接前序函数性质知识，为函数模型应用构建学习支架。 其亮点是结合表格对比、图象分析及情境问题，培养逻辑推理与数学建模素养。如奖励方案选择中，通过图象观察与推理确定对数函数模型，学生提升知识应用能力，教师可借助分层作业与实例教学提高效率。

第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4.5　函数模型及其应用 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 学习任务 核心素养 1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型． 2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(重点、难点) 1．从几类特殊函数中分析出一般性函数的增长特点，可以提高逻辑推理素养． 2．通过比较几种不同类型的函数模型的增长进行决策，建立函数模型，从而提升数学建模素养． 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题： 现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？ A．5年　B．7年　C．8年　D．9年　E．永远买不起 房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？ 必备知识·情境导学探新知 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 知识点　三种函数模型的增长差异   y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 _________ _________ _________ 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与____平行 随x增大逐渐近似与____平行 保持固定增长速度 增函数 增函数 增函数 y轴 x轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较   y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度____________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度____________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有_______________ ax>kx>logax 越来越快 越来越慢 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 体验　思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些． (　　) (2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax<xn<ax成立． (　　) (3)函数y＝x衰减的速度越来越慢． (　　) × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 关键能力·合作探究释疑难 类型1　几类函数模型的增长差异 【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 024x　　 B．y＝2 024 C．y＝log2 024x D．y＝2 024x √ 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 (2)下面对函数f (x)＝x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 (1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，故选A． (2)观察函数f (x)＝x，g(x)＝与h(x)＝ －2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知： 函数f (x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．] 反思领悟　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 [跟进训练] 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x √ A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 类型2　函数增长速度的比较 【例2】　(1)(多选题)如图，能使得不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(　　) A．x>2 B．x>4 C．0<x<2 D．2<x<4 (2)已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示． ①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数． ②借助图象，比较f (x)和g(x)的大小． √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 (1)BC　[结合题干图象可知，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，有log2x<x2<2x， 故选BC．] (2)[解]　①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f (x)＝ln x． ②当x∈(0，x1)时，g(x)>f (x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)； 当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)． 综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)； 当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)． 反思领悟　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 [跟进训练] 2．函数f (x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点，y2)，且x1＜x2． (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f 与g， f (2 024)与g(2 024)的大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f (x)＝2x． (2)∵f (1)＝g(1)，f (2)＝g(2)， 从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f (x)＜g(x)， ∴f ＜g； 当x＞2时，f (x)＞g(x)， ∴f (2 024)＞g(2 024)． 类型3　函数增长速度的应用 【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 分别画出y＝0.2x，y＝log5x及y＝1.02x的图象，观察并思考哪个模型符合题设条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 [解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 反思领悟　几类不同增长函数模型选择的方法 (1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型． (2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型． (3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 [跟进训练] 3．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________． A　　　 　B　　　　C　　　　D (1)　　　　(2)　　　 (3)　　 　(4) (4) (1) (3) (2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 (4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．] 学习效果·课堂评估夯基础 1．(教材P147习题4.5 T1改编)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝1 B．y＝x C．y＝3x D．y＝log3x √ C　[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象(图略)可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．] 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 2．以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax √ D　[ABC均错误，只有D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 y3 5 30 55 80 105 130 155 其中关于x呈指数增长的变量是________． y2 y2　[由指数函数图象的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年) 的函数关系如图所示． 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． ②③　[结合图象可知②③正确，故填②③．] ②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 回顾本节知识，自我完成以下问题： 如何描述三种函数模型的增长差异？ [提示]　直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长速度固定不变． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 指数爆炸与生活哲学 指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？ 1.01365≈？ 1.02365≈？ 0.99365≈？ 1.01219×0.98146≈？ 0.9550≈？ 阅读材料·拓展数学大视野 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)当a>1时，下列结论正确的有(　　) A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 课时分层作业(三十六)　几种函数增长快慢的比较 √ AD　[结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．故选AD．] √ 30 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1>y2>y3　　 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 √ B　[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 31 3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝ C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[用排除法，当x＝1时，排除B项；当x＝2时，排除D项；当x＝3时，排除A项．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 32 4．在某实验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如表．     则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －1 －0.01 1.01 1.99 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 33 D　[根据x＝0.50，y＝－1，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝1.01，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 34 5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　) A．f 1(x)＝x2 B．f 2(x)＝4x C．f 3(x)＝log2x D．f 4(x)＝2x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 35 D　[显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x)＝2x，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36 二、填空题 6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快， ∴x2要比x ln x增长的要快．] y＝x2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 37 7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg (x－1)；④y＝50． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①　[结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．] ① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 38 >log2x　[作出f (x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示： 由图象可知，在(0，4)内，>log2x； x＝4或x＝16时，＝log2x； 在(4，16)内，>log2x．] 8．若已知16<x<20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 >log2x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 39 三、解答题 9．画出函数f (x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　函数f (x)与g(x)的图象如图所示． 根据图象易得：当0≤x<4时，f (x)>g(x)； 当x＝4时，f (x)＝g(x)； 当x>4时，f (x)<g(x)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 40 10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 41 [解]　据表中数据作出散点图如图： 由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3．即h＝log3(t＋1)． 当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第8年的松树高度为2米． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 11．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　　B　　　　　C　　　 　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 43 A　[分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x< －1时，y<0，故排除D，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 12．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A．(，2) B．(1，) C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 45 C　[当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a 应满足＜a＜1，故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 13．(多选题)下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(　　) A．这几年生活水平逐年得到提高 B．生活费收入指数增长最快的一年是2021年 C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2022年 D．虽然2023年生活费收入增长缓慢，但生活 价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 47 ABD　[由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2021～2022年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2022～2023年最平缓，故C不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 14．某商场2024年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f (x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f (x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f (x)＝x2＋px＋q． (1)能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)； (2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x)＝______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ③ x2－8x＋17 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 49 (1)③　(2)x2－8x＋17　[(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为③． (2)由f (1)＝10，f (3)＝2，得 解得p＝－8，q＝17， 所以，f (x)＝x2－8x＋17．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 15．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x/月份 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝，他的同学却认为模型y＝更合适． (1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由； (2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？(参考数据lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 51 [解]　(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝及y＝的图象(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近，因此用y＝这一模型更符合． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 (2)当＝100时，2x＝300． 则x＝log2300＝＝≈8.230． 所以x＝9． 所以大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 $