3.2.1 第1课时 函数的单调性-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦函数单调性的定义、判定、单调区间及应用，通过艾宾浩斯记忆曲线情境导入，从现实问题引出函数变化规律，搭建从直观到抽象的学习支架，衔接函数概念与性质的前后知识。 其亮点在于以情境导学培养数学眼光，通过定义中“任意性”辨析发展逻辑推理（数学思维），结合图象法、定义法判定单调性（数学运算）。例题与分层作业设计系统，课堂小结梳理方法，助力学生提升核心素养，也为教师提供高效教学资源。

第3章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.1　函数的单调性与最值 第1课时　函数的单调性 学习任务 核心素养 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养． 2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养． 第1课时　函数的单调性 德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律． 必备知识·情境导学探新知 第1课时　函数的单调性 如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f (x)． 这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 知识点1　增函数与减函数的定义 函数 增函数 减函数 图示 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 函数 增函数 减函数 条件 设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时， 都有 ______________ 都有_______________ 结论 f (x)是区间I上的增函数，也称f (x)在区间I上单调______ f (x)是区间I上的减函数，也称f (x)在区间I上单调______ f (x1)<f (x2) f (x1)>f (x2) 递增 递减 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 思考　在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明． [提示]　不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且<－22，但y＝－x2不是增函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 提醒　增、减函数定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性，即“任意两个值x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在定义域上都具有单调性． (　　) (2)若函数y＝f (x)在定义域上有f (1)<f (2)，则该函数是增函数． (　　) (3)若f (x)为R上的减函数，则f (0)>f (1)． (　　) × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 知识点2　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f (x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f (x)的____________． 单调区间 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 提醒　对函数单调性的理解 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间I⊆定义域D． (3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 体验　2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] √ C　[由图可知，函数y＝f (x)的单调递增区间为[－3，1]，选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 体验　3．函数y＝的单调递减区间是______________________． (－∞，0)和(0，＋∞)　[结合y＝的图象可知，y＝的递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．] (－∞，0)和(0，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 关键能力·合作探究释疑难 类型1　函数单调性的判定与证明 【例1】　证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． [证明]　设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·＝． 第1课时　函数的单调性 ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴>0，即f (x1)>f (x2)， ∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 反思领悟　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 [跟进训练] 1．试用函数单调性的定义证明：f (x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减． [证明]　设x1和x2是区间(1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，由题意， f (x)＝＝2＋， 则f (x1)－f (x2)＝＝， 因为1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1－1>0，x2－1>0， 所以f (x1)＞f (x2)，所以f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 类型2　求函数的单调区间 【例2】　求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性． (1)f (x)＝－；(2)f (x)＝(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3． [解]　(1)函数f (x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 (2)当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为f (x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f (x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)． f (x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减． 反思领悟　求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，如本例(3)． 提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(1)和(3)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 [跟进训练] 2．(1)如图所示，写出在每一单调区间上函数的单调性； (2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解]　(1)函数在[－1，0]，[2，4]上单调递减，在[0，2]，[4，5]上单调递增． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 (2)先画出y＝的图象，如图． 所以y＝|x2－2x－3|的减区间为(－∞，－1]，[1，3]；增区间为 [－1，1]，[3，＋∞)． 类型3　函数单调性的应用 【例3】　【链接教材P82例3】 (1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是_______________． (2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为_______________． (－∞，－4] (－∞，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 (1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间 (－∞，3]存在怎样的数量关系？ (2)若f (x)是定义域上的单调函数，且f (a)>f (b)，由此我们能得出变量a，b的大小关系吗，同样思考如何得出该例(2)中变量2x－3与5x－6的大小关系？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 (1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　[(1)∵f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f (x)在区间(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4． ∴实数a的取值范围为(－∞，－4]． (2)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1． ∴实数x的取值范围为(－∞，1)．] [母题探究] 若本例(2)的函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递减，求x的取值范围． [解]　由题意可知，解得x>． ∴x的取值范围为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 【教材原题·P82例3】 例3　若函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，求实数a的取值范围． [解]　因为二次函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝ 1－a，且开口向上，所以函数f (x)在区间(－∞，1－a]上单调递减． 又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即a≤－3． 故实数a的取值范围为(－∞，－3]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 反思领悟　函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意非空子集上也是单调的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 [跟进训练] 3．(1)若f (x)在R上是减函数，则f (－1)与f (a2＋1)之间有(　　) A．f (－1)≥f (a2＋1)　　　 B．f (－1)>f (a2＋1) C．f (－1)≤f (a2＋1) D．f (－1)<f (a2＋1) (2)若f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)<f (－2x＋8)的解集是________． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 (1)B　(2)　[(1)∵a2＋1>－1，且f (x)为R上的减函数， ∴f (a2＋1)<f (－1)．故选B． (2)∵f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x)<f (－2x＋8)， ∴解得 即0≤x<，所以不等式的解集为．] 1．(多选题)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f (x)的图象，则下列关于函数f (x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 学习效果·课堂评估夯基础 √ √ √ 第1课时　函数的单调性 ABD　[由题图可知，f (x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，故C错误，其余选项均正确．] 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－ B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x √ D　[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0， ＋∞)上单调递增，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 3．(教材P82练习T3改编)如果函数f (x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b的取值范围为(　　) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 √ C　[函数f (x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线， 若函数f (x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b≤3，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则实数k的取值范围为_____________． 　[由2k－1<0得k<．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 5．已知f (x)是定义在R上的增函数，且f (x2－2)<f (－x)，则x的取值范围是_______________． (－2，1)　[∵f (x)是定义在R上的增函数，且f (x2－2)<f (－x)， ∴x2－2<－x， 即x2＋x－2<0，解得－2<x<1． ∴x的取值范围是(－2，1)．] (－2，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 [提示]　能，增函数． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．若x1，x2是区间I上的任意实数，且(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，能否判定f (x)在区间I上的单调性？ 2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？ [提示]　定义法、图象法和基本初等函数法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？ [提示]　一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论． 4．在应用函数单调性解题时应注意什么？ [提示]　已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f (x)在区间D上递增，则f (x1)<f (x2)⇔x1<x2．二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 课时分层作业(二十一)　函数的单调性 A　　　　　B　　　　 C　　　 　D √ 39 B　[由题图可知，选项B是定义域上的增函数，选项ACD不具有单调性．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．函数f (x)在R上是减函数，则有(　　) A．f (3)<f (5)　　　　　 B．f (3)≤f (5) C．f (3)>f (5) D．f (3)≥f (5) √ C　[∵3<5，且f (x)为R上的减函数， ∴f (3)>f (5)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 41 3．(多选题)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ ABD　[易知选项A，B，D在区间(0，＋∞)上是单调递增的，C是减函数，故选ABD．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 42 4．已知函数f (x)＝在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．[0，＋∞) C．[1，2] D．[3，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[由题意知，a＞0，其定义域为，则需满足(1，＋∞) ⊆，即≤1，则a≥2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 43 5．函数f (x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是(　　) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[分别作出f (x)与g(x)的图象(图略)得：f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在(－∞，1]上单调递增，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 44 (－∞，2]　[∵函数f (x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上单调递增，∴，即a≤2．] 二、填空题 6．如果二次函数f (x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，则实数a的取值范围为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－∞，2] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 45 7．若函数f (x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [－1，＋∞) [－1，＋∞)　[函数f (x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)， (－∞，－1)， 又f (x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 46 8．已知f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________． ①y＝a＋f (x)(a为常数)； ②y＝a－f (x)(a为常数)； ③y＝；④y＝[f (x)]2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ②③　[f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0时，－f (x)，均为增函数，故选②③．] ②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 47 三、解答题 9．(源自人教A版教材)根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [证明]　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，有 y1－y2＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 48 由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1． 所以x1x2>1，x1x2－1>0． 又由x1<x2，得x1－x2<0． 于是(x1x2－1)<0， 即y1<y2． 所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 10．若f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x)＞f (8(x－2))． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由f (x)在(0，＋∞)上单调递增得 解得2＜x＜． ∴不等式的解集为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 50 11．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是单调递减的，则函数f (x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f (x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数f (x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 51 12．(多选题)如果函数f (x)在区间[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0 C．f (a)≤f (x1)<f (x2)≤f (b) D．f (x1)>f (x2) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 52 AB　[由函数单调性的定义可知，若函数y＝f (x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f (x1)－f (x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以无法判断 f (x1)与f (x2)的大小，故C，D不正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 13．已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (0，2]　[依题意得实数a满足 解得0<a≤2．] (0，2] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 54 14．若函数f (x)＝在区间(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [－1，0]　[根据反比例函数的性质可知，要使函数f (x)在区间(－∞，a)上单调递减，则a≤0，f (x)＝|x＋1|，在(a，＋∞)上单调递增，则a≥－1，故实数a的取值范围是[－1，0]．] [－1，0] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 55 15．若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝ f (x)－f (y)． (1)求f (1)的值； (2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　函数的单调性 56 [解]　(1)在f ＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)＝0，∴f (1)＝0． (2)∵f (6)＝1， ∴f (x＋3)－f (2)<1＝f (6)，∴f <f (6)． ∵f (x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴解得－3<x<9． 故不等式的解集为{x|－3<x<9}． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 $