3.1.3简单的分段函数 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦简单的分段函数，涵盖概念、解析式构建、图像绘制及应用，通过电费分段计费实例导入，衔接一次函数知识，从具体问题抽象出定义，搭建从应用到概念的学习支架。 其亮点在于以生活实例和绝对值函数为载体，用数学眼光观察现实问题中的数量关系，通过分段推理与图像绘制培养数学思维，练习题设计强化数学语言表达。采用实例驱动和分段作图法，助力学生提升应用能力，教师可借助系统习题巩固教学效果。

简单的分段函数 1 一 简单的分段函数 　　事物的发展，在各个阶段会有不同的变化规律．用函数来表示时，对于自变量的不同范围可能用不同的解析式． 一 简单的分段函数 　　　　某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100kW·h，其中100kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费． 　　(1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式； 　　(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表： 　　问：小赵家第一季度共用电多少？ 例 6 一 简单的分段函数 　　解　(1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x； 　　当x>100时，月电费＝100kW·h的电费＋超过100kW·h部分的电费， 　　可得　y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93. 　　所以 　　(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100kW·h.因此用电量应使用函数的不同关系式来计算． 　　因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138kW·h，2月份用电112kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57x＝45.6，算出3月份用电80kW·h. 　　因此，小赵家第一季度共用电330kW·h. 一 简单的分段函数 　　一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 　　例6中的函数就是一个分段函数． 一 简单的分段函数 　　　　画出函数f(x)＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－ 1)，f(1)的值． 　解　因为　 　所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、 第二象限的一条折线，如图3.1-3所示． 　其中f(－3)＝3， f(3)＝3， f(－ 1)＝1， f(1)＝1. 　由上可知， f(x)＝|x|也是一个分段函数. 　要解决与分段函数有关的问题，通常要“分段”讨论，但需注意的是，最后要有一个统一的结论．分段仅仅是用了不同的表达式，分了段仍然是一个函数. 例 7 图3.1-3 一 简单的分段函数 　　　　画出函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|的图象． 　解　为了去掉绝对值符号，需分段讨论： 　当x＜－1时， f(x)＝(2－x)＋(－x－1)＝1－2x； 　当－1≤x≤2时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3； 　当x>2时， f(x)＝x－2＋x＋1＝2x－1. 　分段画出f(x)的图象，如图3.1-4所示． 例 8 图3.1-4 一 简单的分段函数 　　作分段函数的图象，一段一段地按表达式画是基本方法．本例可更简单：因为|x－2|和|x＋1|不论在哪一段中， 去掉绝对值符号后所得的都是一次函数，其和(或差)是一次函数或常数函数，图象都是直线，每段都是线段或射线，要作出其图象，只要在每段上取两个点就够了． 　　为了简单，尽可能取分段点．绝对值函数的分段点，就是绝对值符号中的量为0的点，所以f(x)的分段点在x＝－1和x＝2之处．为了画出第一段和第三段的射线，再取x＝－4和x＝5. 　　这样，即使不去掉绝对值符号，也能画图． 一 简单的分段函数 常用的分段函数 　　在前面，我们介绍了f(x)=|x|是一个分段函数(|x|也写作abs(x)).　在数学里，还有几个很常用的分段函数.　例如常用［x］表示不大于x的最大整数，如［4］＝4，［4.1］＝4，［－3.14］＝－4等，［x］叫作整数部分函数． 对应地，{x}＝x－［x］叫作小数部分函数，例如{4}＝0， {4.1} ＝0.1，{－3.14}}＝0.86等. 还有一个符号函数sgn(x)，当x＞0时，sgn(x)＝1；当x＝0时，sgn(x)＝0；当x＜0时，sgn(x)＝－1. 多知道一点 一 简单的分段函数 　　1.作出下列函数的图象，并写出函数的值域： 　　(1)y＝|x＋3|；　　　　　 (2)y＝|x－2|－|x＋2|. 　　 　　2．已知函数 　　 　　(1)求f(3)+f(－3) 　　 的值； 　　(2)对函数f(x)，若存在点x0，使得f(x0)＝1，求实数x0的值． 练 习 一 简单的分段函数 　　3. 一个质点沿直线运动.质点由静止匀加速T s后速度达到8m/s；然后质点以恒定速度8m/s运动了5T s；之后质点在40s内匀减速到完全停下. 　　(1)画出质点运动的速度时间图象； 　　(2)已知质点总共运动的位移是600m，求T的值； 　　(3)画出质点运动的加速度时间图象. 练 习 二 习题3.1 学而时习之 　　1.设集合M={x｜0≤x≤2}，N={y｜0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　　　） 　　(A)①②③④ 　　　(B)①②③ 　　　(C)②③　　　(D)② 　①　　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　④ （第1题） 二 习题3.1 　　2.已知定义域为R的函数f(x)=2x2－3和g(x)=4x，求f(g(－1))，g(f(－1))， f(f(－2))， g(g(－2))的值. 　　3.已知函数f(x)＝　　 ，求f(1)＋ f(2)＋f(3)＋ ＋ 的值． 　　4.求下列函数的定义域： 　　(1)　　　　　　　； 　　(2) 　　5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　　　） 　　(A) y=x－1和　　　　　　 (B) y=x0和y=1 　　(C) y=x2和y=(x+1)2 (D) 和 二 习题3.1 　　6.作出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域. 　　(1) y=3x2－5x+2； 　　　 (2) y=x3. 　　7.已知圆O的直径为4，将该圆的内接矩形ABCD（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边AB的长x的函数f(x)，并求出其定义域. 　　8.函数f(x)与g(x)的定义域均为［m，n］，它们的图象如下图所示，则不等式f(x)＞g(x)的解集是（　　　） (A)［m，a)∪(b，e) (B)(a，c)∪(e，n］ (C) (b，c)∪［m，a］ (D)(a，b)∪(c，e) （第8题） 二 习题3.1 　　9.某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用如上图所示的一条折线表示，写出市场售价与时间的函数解析式P＝ f(t)． （第9题） 二 习题3.1 　　10.滑雪运动员以恒定加速度沿着笔直的雪道向下滑.在t=0时刻，他以6m/s的速度经过点A.然后继续以相同的加速度下滑直到他以15m/s 的速度经过了点B.在B点，雪道开始变平，他从B点开始以恒定速度15m/s滑到C点.已知AC之间的距离是615m，他从B点滑到C点用了20s. (1)画出该运动员滑雪的速度时间图象； (2)求出AB之间的路程； (3)求该运动员从A滑到B的时间. 二 习题3.1 温故而知新 　　11.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： 　　则f(g(1))的值为　　　　；　满足f(g(x))>g(f(x)的x的值是　　　　. 　　12.已知函数f(x)对任意t∈R满足等式 f(1－t)=1+t2 ，求f(x). 二 习题3.1 　　13.已知函数f(x)的定义域为R+，且函数f(x)满足f(xy)= f(x)+ f(y)(x，y∈R +)，若f(27)=1，求　　　　的值. 　　14.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)， (2，0)，(6，4)，求f(f(f(2)))的值. （第14题） 二 习题3.1 　　15.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，一个动点P从A点出发，沿着边AB→BC→CD→DA运动，返回到点A后停止运动，设点P走过的路程为x. 　　(1)将线段AP的长度表示成x的函数f1(x) ； 　　(2)设点O是正方形ABCD的中心，当点A，O，P三点不共线时，将△AOP的面积表示成x的函数f2(x). （第15题） 二 习题3.1 上下而求索 　　16.设函数sign(x)的定义为 　　(1)画出该函数的图象； 　　(2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法，并具体尝试用一个表达式来写出上面第9题中的函数. 返回目录 THANK YOU $