3.1.3 简单的分段函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦“简单的分段函数”核心知识点，系统梳理从概念理解（定义、图象特征）到求值、定义域值域求解、图象绘制，再到实际应用的完整脉络。通过基础知识点解析、判断选择辨析、探究点分层突破构建学习支架，帮助学生逐步掌握分段函数的表示与应用。 资料特色在于以核心素养为导向设计内容，通过客运票价计算、俱乐部收费方案等实际问题培养数学建模能力，结合图象绘制与性质分析提升直观想象素养，分层练习题与课时评价助力数学运算能力巩固。课中便于教师开展探究式教学，课后学生可通过对点练与分层评价查漏补缺，强化知识掌握。

3.1.3　简单的分段函数 学习目标 1.理解分段函数的概念，会用解析法及图象法表示分段函数. 2.利用给出的分段函数，会求分段函数的函数值，能画简单的分段函数的图象，并能研究有关性质. 3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题，培养直观想象、数学运算及数学建模核心素养. 知识点　分段函数 1.分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数. 2.分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. [点拨]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集.分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. (4)分段函数的值域是各段函数在相应自变量的取值范围内值域的并集. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(x)＝是分段函数. (　　) (2)分段函数在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数. (　　) (3)分段函数各段上的函数值集合的交集为⌀. (　　) (4)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 答案：AD 解析：对于B，取x＝4，得f(4)＝5或16，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以BC都不合题意. 3.f(x)＝则f(5)的值是(　　) A.24 B.21 C.18 D.16 答案：A 解析：f(5)＝f(f(10))， f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝18＋3＝21， 所以f(5)＝f(21)＝21＋3＝24.故选A. 4.某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是　　　　　　　　. 答案：y＝ 解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式. 学生用书⬇第58页 探究点一　分段函数的求值问题 已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))的值； (2)若f(a)＝，求a. 解：(1)因为－2＜－1， 所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， 所以f(f(－2))＝f(－1)＝2， 所以f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. (2)当a＞1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2＞1； 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，所以a＝±∈[－1，1]； 当a＜－1时，f(a)＝2a＋3＝， 所以a＝－＞－1(舍去). 综上，a＝2或a＝±. 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤 (1)先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式). (2)解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围. (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求. 对点练1.已知f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)若f(a)＝－1，求实数a的值. 解：(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 又0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1. (2)当a＋4＝－1时，a＝－5＜0， 所以a＝－5符合题意； 当a2－2a＝－1时，a＝1， 因为0＜1＜4，所以a＝1符合题意； 当－a＋2＝－1时，a＝3＜4， 所以a＝3不符合题意. 所以a＝－5或a＝1. 探究点二　分段函数的定义域与值域 (1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A.R B.(0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)函数f(x)＝的定义域为　　　　，值域为　　　　. 答案：(1)D　(2)(－1，1)　(－1，1) 解析：(1)要使f(x)有意义，需x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). (2)由已知得，f(x)的定义域为{x｜0＜x＜1}∪{0}∪{x｜－1＜x＜0}＝{x｜－1＜x＜1}，即(－1，1).又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1，－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1). 1.分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集. 2.含绝对值的函数的定义域和值域通常要转化为分段函数来解决. 学生用书⬇第59页 对点练2.已知函数f(x)＝则函数f(x)的定义域为　　　　，值域为　　　　. 答案：R　[0，1] 解析：由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]. 探究点三　分段函数的图象及应用 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域，值域. 解：(1)(图象法)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. (解析法)令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， 所以φ(x)的值域为(－∞，1]. 分段函数图象的画法 1.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 2.作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意分界点处点的虚实，保证不重不漏. 对点练3.设x∈R，则函数y＝2－3的值域为　　　　. 答案：(－∞，2] 解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示.由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]. 探究点四　分段函数的实际应用 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝ (2)①12≤x≤20时，令6x＝90，解得：x＝15， 即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15＜x≤20时，f(x)＞g(x). ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x)， 故当12≤x＜15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15＜x≤30时，选B俱乐部合算. 分段函数的实际应用 1.当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画. 2.分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 对点练4.如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为2，当一条垂直于底边BC(垂足为点F，F不与B，C重合)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时， 直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出直线l左边部分图形的面积y关于x的函数. 解：分别过点A，D作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是点G，H(图略). 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2. 又BC＝7，所以AD＝GH＝3. ①当点F在BG上，即0＜x≤2时，y＝x2； ②当点F在GH上，即2＜x≤5时，y＝2＋2(x－2)＝2x－2； ③当点F在HC上，即5＜x＜7时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△EFC＝10－(7－x)2. 故函数的解析式为 y＝ 学生用书⬇第60页 1.已知函数f(x)＝则f＝(　　) A. B. C.－ D. 答案：A 解析：由x≤0可知f＝－＋1＝＞0，结合x＞0的解析式可知f＝＋1＝.故f＝. 2.某单位为鼓励职工节约用水，规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按t元/m3(t＞0)收费；用水量超过10 m3的，超过部分按2t元/m3收费.某职工某月缴水费16t元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3 答案：A 解析：该职工每月应缴水费y(单位：元)与实际用水量x(单位：m3)满足的关系式为y＝由y＝16t，可知x＞10.令2tx－10t＝16t，解得x＝13. 3.已知某停车场的收费标准：停车时间在3小时内(包括3小时)，车主需交费5元，若停车时间超过3小时，则每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为(　　) A.16元 B.17元 C.18元 D.20元 答案：D 解析：7小时20分钟需按8小时计算，所以停车费为5＋(8－3)×3＝20(元).故选D. 4.求函数f(x)＝的值域. 解：当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4， 所以y≥－4； 当x＞－2时，y＝，所以y＞＝－1. 所以函数f(x)的值域是[－4，＋∞). 课时分层评价16　简单的分段函数 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.如图，将水注入下面四种高为H的容器中，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是(　　) 答案：A 解析：根据题意，考虑当向容器中注水高度为H的一半时，注水量V与水深h的函数关系如图所示，此时注水量V与容器容积关系是：V＜容器容积的一半.A选项符合题意.故选A. 2.函数f(x)＝x2－2｜x｜的图象是(　　) 答案：C 解析：f(x)＝分段画出.故选C. 3.已知函数f(x)＝若f(a)≤5，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，1] B.[－5，5] C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－5]∪[5，＋∞) 答案：A 解析：因为f(a)≤5， 所以 即 所以0≤a≤1或－1≤a＜0，即－1≤a≤1.故a的取值范围是[－1，1]，故选A. 4.(新定义)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝｜x｜sgn x的图象大致是(　　) 答案：C 解析：由题意知f(x)＝则f(x)的图象为C中图象所示.故选C. 5.(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的值域为(－∞，4) B.f(1)＝3 C.若f(x)＝3，则x的值是 D.f(x)＜1的解集为(－1，1) 答案：AC 解析：当x≤－1时， f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时， f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时， f(1)＝12＝1，故B错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1＜x＜2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，由x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，由x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误.故选AC. 6.已知f(x)＝(x∈N)，那么f(3)＝　　　　. 答案：2 解析：因为f(x)＝(x∈N)，所以f(3)＝f(3＋4)＝f(7)＝7－5＝2. 7.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时) 低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50但不超过200的部分 0.598 超过50但不超过200的部分 0.318 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭5月份应付的电费为　　　　元(用数字作答). 答案：148.4 解析：高峰时间段的电费为50×0.568＋150×0.598＝28.4＋89.7＝118.1(元)， 低谷时间段的电费为50×0.288＋50×0.318＝14.4＋15.9＝30.3(元)， 故该家庭5月份的总电费为118.1＋30.3＝148.4(元). 8.已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x2的解集为　　　　. 答案：{－1，1} 解析：方程f(x)＝x2等价于 解得x＝－1或x＝1，因此方程f(x)＝x2的解集为{－1，1}. 9.(10分)某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题： (1)求y关于x的函数解析式； (2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准. 解：(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx. 将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x. 当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b. 将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入， 得 所以y＝0.8x－15. 综上可得y＝ (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分每度电0.80元. 10.(10分)下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米). 阶梯 年用水量(立方米) 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 (1)试写出水费y(元)与年用水量x(立方米)之间的函数解析式； (2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少. 解：(1)依题意得 y＝ 即y＝ (2)依题意得y＝1 040， 若x∈[0，180]，则5x＝1 040，解得x＝208，不合题意，舍去； 若x∈(180，260]，则7x－360＝1 040，解得x＝200，符合题意； 若x＞260，则9x－880＞1 040，不合题意. 故该用户当年用水量为200立方米. 因此，自来水费为2.07×180＋4.07×20＝454(元)，水资源费为1.57×200＝314(元)，污水处理费为1.36×200＝272(元). 11.(5分)函数f(x)＝x＋的图象是(　　) 答案：C 解析：依题意，知f(x)＝x＋＝所以函数f(x)的图象为选项C中的图象.故选C. 12.(15分)已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[－3.05]＝－4，[2.1]＝2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象； (3)根据图象写出函数f(x)的值域. 解：(1)当－1≤x＜0时，[x]＝－1，所以f(x)＝x＋1； 当0≤x＜1时，[x]＝0，所以f(x)＝x； 当1≤x＜2时，[x]＝1，所以f(x)＝x－1. 综上，f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $