2.1.3 基本不等式的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过“天平称重”情境问题导入，承接基本不等式概念，搭建从概念到最值求解及实际应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于情境化设计与分层训练结合，融入数学建模和数学运算素养。如虎笼设计问题引导学生用数学眼光观察实际，通过参数设列与不等式应用培养思维，小结明确“一正二定三相等”条件，助力学生系统掌握，教师可提升教学效率，学生增强应用能力。

第2章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　相等关系与不等关系 2.1.3　基本不等式的应用 学习任务 核心素养 1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 2.1.3　基本不等式的应用 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一位顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性 提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实 质量到底是大了还是小了呢？ 必备知识·情境导学探新知 2.1.3　基本不等式的应用 知识点　用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 思考　x＋的最小值是2吗？ [提示]　不一定．如当x<0时，x＋<0． 提醒　在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 体验　1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________． 4　[∵x>0，∴y＝x＋≥2＝4． 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 体验　2．已知0<x<1，则函数y＝x(1－x)的最大值为________． 　[∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用基本不等式求最值 【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 2.1.3　基本不等式的应用 [解]　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故当x＝1时，y最大值＝1． (2)∵0<x<，∴1－2x>0， ∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝＝， ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．故当x＝时，y最大值＝． 反思领悟　利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [跟进训练] 1．(1)已知x>0，求y＝的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． [解]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 (2)法一：∵0<x<， ∴1－3x>0． ∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 法二：∵0<x<，∴－x>0． ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 类型2　利用基本不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＝1．求x＋2y的最小值． [解]　∵x＞0，y＞0，＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立． 故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [母题探究] 若把“＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求的最小值． [解]　∵x>0，y>0， ∴＝(x＋2y)＝8＋＋2＝10＋≥10＋2＝18． 当且仅当＝时等号成立， 结合x＋2y＝1，得x＝，y＝， ∴当x＝，y＝时，取到最小值18． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 反思领悟　常数代换法求最值 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [跟进训练] 2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求的最小值． [解]　法一：∵a>0，b>0，且a＋2b＝1， ∴＝·1＝·(a＋2b) ＝1＋＋2＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴的最小值为3＋2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 法二：∵a>0，b>0，且a＋2b＝1， ∴＝＝1＋＋2＝3＋≥3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴的最小值为3＋2． 类型3　利用基本不等式解决实际问题 【例3】　【链接教材P41例10】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18．由此思考每间虎笼面积xy最值的求法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [解]　设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 设每间虎笼面积为S，则S＝xy． 法一：由于2x＋3y≥2＝2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大． 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y． ∵x>0， ∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0． ∴S≤＝． 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5． 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大． 【教材原题·P41例10】 例10　某公司设计了如图2.1-5所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [解]　设平行线段长为x m，半圆的直径为d m，中间矩形区域的面积为S m2． 由题意可知 S＝xd，且2x＋πd＝400， 所以S＝xd＝·πd·2x≤＝， 当且仅当πd＝2x＝200，即d＝，x＝100时，等号成立． 所以，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为 m2． 反思领悟　应用基本不等式解决实际问题的思路与方法 (1)理解题意，设出变量． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题． (3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值． (4)根据实际背景写出答案． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [跟进训练] 3．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 [解]　设隔墙的长度为x(x>0) m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元， 四周围墙造价为×400＝800×元． 因此，总造价为y＝496x＋800＋16 000＝1 296x＋＋16 000 ≥2＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800． 当且仅当1 296x＝，即x＝时，等号成立． 这时，污水池的长为18 m． 故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元． 1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．] 2.1.3　基本不等式的应用 2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 √ A　[由基本不等式得，ab≤＝1． 当且仅当即a＝b＝1时，等号成立． ∴ab的最大值为1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 C　[∵a＋b＝2，∴＝1． ∴＝＝＋2＝， 当且仅当即时，等号成立． 故y＝的最小值为．] 4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 5 8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 5　8　[由题意可知，年平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8， 当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，年平均利润最大，为8万元．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．利用基本不等式求最值时，必须满足哪三个条件？ [提示]　一正、二定、三相等． 2．应用基本不等式求最值的依据是什么？ [提示]　a＋b≥2和ab≤，即“和定积最大，积定和最小”． 3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？ [提示]　直接法、配凑法、常数代换法等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C． D．3 课时分层作业(十三)　基本不等式的应用 √ 36 D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥ 2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知函数y＝x＋－2(x<0)，则函数有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 √ C　[∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 38 3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．－3 C．3－2 D．－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 39 4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 40 C　[x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋4 ＝5＋≥5＋2＝5＋4＝9， 当且仅当即时，等号成立． 故x＋y的最小值为9．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 41 5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25， 当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，等号成立． 所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 42 二、填空题 6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1　[y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立． ∴函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 43 7．已知a>0，b>0，且h＝min，其中min{a，b}表示a，b两数中较小的数，则h的最大值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[由题意知，0<h≤a，0<h≤，所以h2≤＝，所以h≤，当且仅当＝，即a＝2b时取等号．故h的最大值为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 44 8．已知x>0，y>0，且满足＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　2　[∵＝1， ∴1＝≥2， ∴xy≤3， 当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时等号成立．] 3 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 45 三、解答题 9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＝1，又x>0，y>0， 则1＝≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 46 (2)由2x＋8y－xy＝0， 得＝1， 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时，等号成立． 所以x＋y的最小值为18． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 10．(源自人教A版教材)(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 48 [解]　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x＋y)m． (1)由已知得xy＝100． 由，可得x＋y≥2＝20， 所以2(x＋y)≥40， 当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 (2)由已知得2(x＋y)＝36，矩形菜园的面积为xy m2． 由＝＝9， 可得xy≤81， 当且仅当x＝y＝9时，上式等号成立． 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 11．(多选题)下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 51 BC　[A中，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立； B中，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，所以B一定成立； C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立； D中，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 12．若－4<x<1，则y＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 53 D　[y＝＝， 又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0． 故y＝－≤－1． 当且仅当－(x－1)＝，即x＝0时，等号成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[由C＝＝＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 55 14．在等式1＝右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数分别为________和________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　12　[设＝1，a，b∈N＋， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b) ＝1＋9＋≥10＋2＝10＋2×3＝16， 4 12 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 56 当且仅当＝，即b＝3a时等号成立． 又＝1，∴＝1，∴a＝4，b＝12． 这两个数分别是4和12．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． (2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明： 设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.3　基本不等式的应用 58 [解]　(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，． (2)证明：因为a>0，b>0，c>0， 又因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0， 所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 (3)因为a>0，b>0，c>0，，所以abc≤， 又因为a＋b＋c＝1， 0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1， 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 $