第2.1节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“相等关系与不等关系”核心内容，涵盖不等式性质应用、基本不等式求最值及取值范围确定等知识点。通过三角形几何条件转化等实例衔接等式知识，构建从等式到不等关系的学习支架。 其特色在于结合几何情境培养数学眼光，通过“乘1法”转化后用均值不等式等多步骤推导训练数学思维，以规范符号表达强化数学语言。如用均值不等式求“1/a + 1/b”最小值，助力学生提升推理运算能力，为教师提供分层例题及解析，便于高效教学。

数学 必修第一册 XJ 1 2.1 2.1 相等关系与不等关系 2 2.1 第2.1节综合训练 刷能力 3 1.［北京师大附中2024高一期中］《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题） 成了后来西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图 形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径 上，且 ，设， ，则该图形可以完成的无字证明为( ) D A. B. C. D. 4 解析 由图形可知,, , 由勾股定理可得 . 在中,由可得 .故选D. 5 2.［山西大同部分学校2025高一联考］若，，则 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. 6 解析 设，其中， ， 则，所以解得 所以 . 因为，，所以， ， 由不等式的性质可得，即 ， 因此的取值范围是 .故选C. 7 3.［甘肃庆阳二中2025高一月考］已知，，且，则 的最小值为 ( ) A A.2 B. C. D. 8 解析 因为，，且 ， 所以，所以，所以 ， 所以，则 ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以 的最小值为2. 故选A. 9 4.（多选）［内蒙古赤峰二中2025高一月考］已知实数，，满足，且 ， 则下列结论中正确的是( ) ABD A. B. C. D. 10 解析 且，则， . 对于A， ，A正确. 对于B，由，，得 ，B正确. 对于C，由，可知，， ， 当时，，则 ； 当时，，则 ； 当时，，则 ，C错误. 对于D，，D正确.故选 . 11 5.（多选）［安徽合肥一六八中学2025高一期中］已知，均为正实数，且 ，则 ( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值为5 C.的最小值为 D.的最小值为 12 解析 对于A选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当即当时，等号成立，所以的最大值为 ，A正确； 对于B选项， ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为 ，B错误； 13 对于C选项， ， 当且仅当即或 时，等号成立， 所以的最小值为 ，C正确； 14 对于D选项， ， 设，，可得,,且 ， 则上式 ， 当且仅当即即 时，等号成立， 所以的最小值为，D正确.故选 . 15 6.（多选）［四川眉山2024高一月考］已知正实数，满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的值可以为( ) BC A. B. C.1 D.3 16 思路导引 恒成立,为参数,可以先将 分离出来,即转化为 恒成立,即 ,进而转化为利用基本不等式求最值问题. 17 解析 由题可得 恒成立. , , 而,当且仅当,即, 时取等号,则 ,故选 . 18 7.［辽宁部分学校2025高一期末联考］若,,，则 的最大值为 ___. 1 19 解析 因为,,，所以，所以 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号. 20 8.已知正数,,满足 . （1）若，求 的最大值； 【解】当时,由可得,则 ,所以 ,当且仅当以及 ,即 时等号成立,所以,又,,所以.所以的最大值为 . 21 （2）证明： . 【证明】由已知可得,,则 ,则 ,当且仅当,即 时等号成立,所以,同理可得,, ,当且仅当 时等号同时成立. 所以 . 22 规律方法 （1）基本不等式的变形形式 要熟练掌握和运用；（2）先利用“乘1法”转化, 再使用基本不等式求最值是已知和为定值求倒数和的最值的有利方法. 23 9.［清华大学2024强基计划］已知，则 的最大值、最小值 分别为_____________________. 无最大值，最小值为2 24 思路导引 当 ,,时，可得的最大值情况.将,,分成两种情况讨论:当，， 中没有0 时，推理可得；当，，中有0,且至多有一个0时，不妨设，可得 ，从而可得 的最小值. 25 解析 当 ,,时，易得 ， 故 无最大值. 若，，中没有0，则由基本不等式可得 ， 同理可得，，故有 ， 当且仅当时，等号成立，而，，中没有0时，该方程组无实数解，故 ； 若，，中有0，则至多有一个0，不妨设，此时 ， 当且仅当,时， 取得最小值2. 综上， 无最大值，有最小值2. 26 $$