2.1.3 基本不等式的应用 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

2.1.3 基本不等式的应用 作者编号：32006 学习目标 1.掌握利用基本不等式求函数的最值问题. 2.能利用基本不等式解决实际问题. 作者编号：32006 复习回顾 一般地，对于正数,，我们把称为,的_________________，把不等式_______________________________称为________________. 算术平均数 基本不等式 ) 基本不等式表明 . 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 基本不等式常用变形：________________________________________ ≥2 作者编号：32006 新课学习 在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决. 怎样利用基本不等式求最值呢？ 作者编号：32006 例题解析 例1 （1）把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 由 ≥， 可得 ≥2， 当且仅当 时等号成立，此时 积是定值 所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为 解：（1）设两个正数为，则，，且. 和有最小值 ，就说明始终大于或等于，取等号时，两数之和最小. 作者编号：32006 例题解析 解：设两个正数为，则，，且. 由 ， 可得 ， 当且仅当 时等号成立，此时 （2）把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 所以，把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为. 和是定值 积有最大值 作者编号：32006 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则. （1）一正：符合基本不等式≥成立的前提条件： （2）二定：化不等式的一边为定值. （3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立. 方法提炼 以上三点缺一不可 作者编号：32006 已知都为正数，则 （1）如果积定值是，那么当时，和有最小值2； （2）如果和是定值，那么当且仅当时，积有最大值. 基本不等式解决最值问题有下列结论： 新课学习 你能证明这些结论吗？ 作者编号：32006 （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值2 新课学习 证明：因为，都是正数，所以≥ (1)当积等于定值P时，≥ ， 所以≥2， 当且仅当 时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值2 积为定值，和有最小值 作者编号：32006 新课学习 （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值. 证明：当和等于定值S时， ≤ ， 所以 ≤. 当且仅当 时，上式等号成立. 于是，当时，积有最大值. 和为定值，积有最大值 作者编号：32006 例题解析 例1 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/2,侧面的造价为800元/，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ （2）正面和侧面的造价和它们的面积有关，怎样求面积呢？ （3）我们建立什么样的数学模型求解呢？ （1）房子的造价由哪几部分决定？ 思考 作者编号：32006 所以，将房屋设计成正面长为4,侧面长为3时总造价最低，最低总造价是34000元. 解：设房屋正面的长为,侧面的长为,房屋的总造价为元. 根据题意，有 积是定值 当且仅当时等号成立，此时 作者编号：32006 例题解析 例2 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 解：设平行线段长，半圆的直径为，中间矩形区域面积为 由题意可知 和是定值 内圈周长怎么求？ 思考 作者编号：32006 例题解析 当且仅当,即时，等号成立. 所以, 所以，当平行线段的长设计为100时，中间矩形区域的面积最大，最大值为 作者编号：32006 利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是通过相关的关系建立关系式，将实际问题转化为最大值或最小值问题，在解题过程中，尽量向模型 ≥2 (＞0,＞0, ＞0 )上靠拢. 方法提炼 作者编号：32006 课堂练习 1、已知 ＞2，求的最小值 解：∵ ，∴ ＞0 ∴ = + 凑定值 当且仅当 -2= ，即=4时等号成立. ∴的最小值为6. ≥ 2 作者编号：32006 课堂练习 2、已知0＜ ＜，求的最大值. 解：∵0＜ ＜，∴＞0 凑和为定值 ≤ = 当且仅当 =1- ，即=时，等号成立. ∴的最大值为 = ∴ 作者编号：32006 课堂练习 3、已知 ＞0，＞0,且 ,求的最小值 当且仅当 ，即时等号成立. 故当，时，的最小值18. “1”的利用 解：∵ ＞0，＞0,且 “1”怎么用？ ∴ =()() =10+ ≥10+2 =18 积为定值 作者编号：32006 方法提炼 利用基本不等式求最值，若具备“一正，二定，三相等”条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适当的变形,常用拼凑法.利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化，以及等式中常数的调整，做到等价变形. （2）代数式的变形，以拼凑出和或积的定值为目标. （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. （4）注意“1”的代换. 作者编号：32006 4、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是小于10，等于10，还是大于10？为什么？ 课堂练习 为什么不等于10g? 等量关系是什么？ 思考 作者编号：32006 解：顾客购得的黄金大于10，理由如下: 由于天平两臂不等长，设左臂为，右臂为，≠，先称得的黄金的质量为，后称得的黄金的质量为， 则5=，=5，故+= ＞2 =10, 所以顾客购得的黄金大于10. 课堂练习 作者编号：32006 5、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800,深为3如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 课堂练习 思考：贮水池是长方体，高是3 ，池底的边长是多少？ 水池的总造价与池底边长有什么关系？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 水池的总造价为元 150× ×(2×3+2×3) =240 000+720(+) 作者编号：32006 由容积为4800,可得 3=4800，因此=1600. 课堂练习 z≥240 000+720×2 =297 600 当且仅当40时，上式等号成立 所以将贮水池的池底设计成边长为40的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. =240 000+720(+) 作者编号：32006 课堂总结 基本不等 式的应用 求最值 证明不等式 实际应用 一正，二定，三相等 构建模型 作者编号：32006 $