2.1.1 第1课时 不等关系与不等式-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，从高速公路限速、限重等现实情境导入，引导学生用不等式（组）表示不等关系，进而通过作差与0比较的基本事实构建比较大小的方法，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过作差法推理步骤发展数学思维，结合车队收费比较等实例强化数学语言表达。分层作业与情境例题结合，助力学生提升建模和逻辑推理素养，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第2章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　相等关系与不等关系 2.1.1　等式与不等式 第1课时　不等关系与不等式 学习任务 核心素养 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1．借助不等式表示实际问题，提升数学建模素养． 2．通过比较大小，培养逻辑推理素养． 第1课时　不等关系与不等式 你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的行驶速度v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的行驶速度v2应该满足60≤v2≤100． 必备知识·情境导学探新知 第1课时　不等关系与不等式 知识点　基本事实 如果a－b>0，那么a>b； 如果a－b＝0，那么a＝b； 如果a－b<0，那么a<b．反过来也成立． 依据 a>b⇔_________；a＝b⇔_________；a<b⇔_________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的___与___的大小 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 体验　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式a≥b等价于“a不小于b”． (　　) (2)若x－2≤0，则x<2． (　　) (3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种． (　　) × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 体验　2．某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 关键能力·合作探究释疑难 类型1　用不等式(组)表示不等关系 【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 第1课时　不等关系与不等式 [解]　设复兴号列车速度为v1＝350 km/h， 民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3． v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3． 反思领悟　在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [跟进训练] 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于100 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝(m)． 因此菜园面积S＝x， 依题意有S≥100，即x≥100， 故该题中的不等关系可用不等式表示为x≥100(0<x≤18)． 类型2　比较两数(式)的大小 【例2】　【链接教材P34例1】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [母题探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 【教材原题·P34例1】 例1　比较(x＋1)(x＋3)与(x＋2)2的大小． [解]　因为(x＋1)(x＋3)－(x＋2)2＝(x2＋4x＋3)－(x2＋4x＋4)＝ －1<0， 所以(x＋1)(x＋3)<(x＋2)2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 反思领悟　作差法比较两个实数大小的基本步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [跟进训练] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　2x2＋5x＋3－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋． ∵≥0，∴＋＞0． ∴2x2＋5x＋3－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 类型3　不等关系的实际应用 【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 先分别建立费用表达式，再思考如何借助基本事实比较两数大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [解]　设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元， 则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx． 因为y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2． 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 反思领悟　解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [跟进训练] 3．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 [解]　因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，则 解这个不等式组得18≤x≤20． 由于x只能取正整数，所以x的取值是18，19，20． 当x＝18时，30－x＝12； 当x＝19时，30－x＝11； 当x＝20时，30－x＝10． 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个． 1．某路段竖立的 的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　) A．v<60 B．v>60 C．v≤60 D．v≥60 学习效果·课堂评估夯基础 √ 第1课时　不等关系与不等式 2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　) A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h或d<10 m D．v<120 km/h且d≥10 m √ A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于 10 m，即d≥10 m，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是___________． 4.5t<28 000　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000．] 4.5t<28 000 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 5．(教材P34练习T2改编)若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”) >　[因为a2－ab－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．所以a2－ab＞ba－b2．] > 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？ [提示]　a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 2．作差法比较大小的一般步骤是什么？ [提示]　第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．变量x至少是a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y≤a” 课时分层作业(十)　不等关系与不等式 √ √ 30 CD　[对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b √ C　[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， ∴a≥b．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 32 3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是 (　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[当a≠2，b≠－1时，M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 33 4．已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　) A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 34 5．已知c＞1，且x＝，y＝，则(　　) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[用作商法比较，由题意x，y＞0， ∵＝＝＜1，∴x＜y．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 35 二、填空题 6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)______(a＋2)·(a－4)．(填“>”“<”或“＝”) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 <　[因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．] < 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 36 7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8(x＋19)>2 200　[因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．] 8(x＋19)>2 200 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 37 8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 m3>m2－m＋1　[∵m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1)． 又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0．] m3>m2－m＋1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 38 三、解答题 9．现有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 现在要在一天内至少运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．   轮船运输量/t 飞机运输量/t 粮食 300 150 石油 250 100 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 39 [解]　设需要安排x艘轮船和y架飞机． 则即 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 40 10．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵－(1－x)＝＝，当x＝0时，＝1－x； 当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，∴＜1－x； 当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，∴＞1－x． 综上可知：x＝0时，＝1－x；x<－1时，<1－x；x>－1且x≠0时，>1－x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 41 11．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M与N的大小关系无法确定 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 42 12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 43 A　[由题图可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 13．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2≤d≤2　[最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2．故2≤d≤2．] 2≤d≤2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 45 14．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10，11或12　[设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意， 解得<x<． ∵x∈N＋，∴x＝10，11或12．] 10，11或12 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 46 15．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　不等关系与不等式 47 [解]　设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a<b，且≥10%．由于＝>0，于是>．又≥10%，因此>≥10%．所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 $