精品解析：浙江省浙东北县域名校发展联盟(ZDB)2025-2026学年高三上学期11月诊断测试数学试题

2025学年第一学期浙东北县域名校发展联盟（ZDB）11月诊断测试 高三数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 4. 下列函数为奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与圆相切，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一副扑克牌共有13张红桃牌，其中J､Q､K称为花牌，其它称为数字牌，现将这13张红桃牌从左到右随机排成一排，则在红桃A的左侧没有数字牌的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，为与交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知定义在上的函数满足：①；②对，，，则（ ） A. B. C. D. ，使 10. 如图，在正四棱台中，，，，为棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 该正四棱台的体积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得平面 D. 的最小值为 11. 已知双曲线左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），且，，记的内切圆圆心为，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 双曲线的离心率为 C. 直线斜率为 D. 点的横坐标为 非选择题部分 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数满足，则________. 13. 已知实数，满足，则的最小值为________. 14. 若对，恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表： 第15题表 第天 1 2 3 4 5 肺炎链球菌值（个/） 66 57 50 41 36 并计算得： （1）计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）； （2）若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： 16. 如图，在四棱柱中，底面是边长为4的正方形，，平面平面，，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且. （1）若为锐角三角形，求的取值范围； （2）若，，求面积的最大值. 18. 已知椭圆的焦距为4，的三个顶点在椭圆E上，两点关于坐标原点O对称，，且直线与的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）当为椭圆右顶点时，求直线的方程； （3）若直线与轴交于点，与轴垂直，垂足为，证明：. 19. 已知函数的导函数为，为数列的前n项和，且，. （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙东北县域名校发展联盟（ZDB）11月诊断测试 高三数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算集合，根据交集运算求，最后利用补集运算即可求解. 【详解】由题意有：或或或， 所以， 故选：A. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知， 命题，的否定为. 故选：D. 3. 已知，若一组数据1，2，，，4的平均数为2，则该组数据的中位数为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数为2得，由得，最后计算中位数即可. 【详解】由题，得，因为， 所以或或， 所以当该组数据为：，中位数为2， 当该组数据为：，中位数为2，综上该组数据的中位数都为2， 故选：B. 4. 下列函数为奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断AB，利用导数研究单调性即可判断CD，进而求解. 【详解】易得为奇函数，但其在定义域上不是单调函数，故A错误； 为偶函数，故B错误； 的定义域为，易知为奇函数，由，等号仅在 等离散点处成立，所以在上单调递增，故C正确； 为奇函数，，当时，单调递减，故D错误， 故选：C. 5. 若直线与圆相切，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系求出直线的斜率即可. 【详解】由题，因为直线与圆相切， 所以，化简得，得， 当时，直线与圆相交，不符合题意； 当时，得，所以直线的斜率. 故选：D. 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 7. 一副扑克牌共有13张红桃牌，其中J､Q､K称为花牌，其它的称为数字牌，现将这13张红桃牌从左到右随机排成一排，则在红桃A的左侧没有数字牌的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用有限制条件的排列问题，结合古典概型列式求解. 【详解】将一副扑克中的13张红桃从左到右排成一排，共有种不同的排法， 红桃A的左侧没有数字牌共有种不同排法， 所以红桃A的左侧没有数字牌的概率. 故选：C 8. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知定义在上的函数满足：①；②对，，，则（ ） A. B. C. D. ，使 【答案】AC 【解析】 【分析】令代入，即可求，进而判断A，令代入求即可判断B，令，进而求得即可判断C，令得，进而得，即可判断D. 【详解】令有，所以，故A正确； 令有，故，故B错误； 令有，所以，C正确； 令，对， 故，对，即，D错误， 故选：AC. 10. 如图，在正四棱台中，，，，为棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 该正四棱台的体积为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得平面 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，结合勾股定理求出正四棱台的高，再结合体积公式判断A，利用线面平行的判定得到平面，进而求出点面距离是定值，再结合底面积也是定值判断B，先假定线面垂直，进而推出，发现与题意矛盾判断C，将立体图形转化为平面图形，再结合题意得到直线过点，将的最小值转化为的最小值，最后求出长度判断D即可. 【详解】对于A，由题意得上底面面积为，下底面面积为， 如图，连接，设，， 可得分别是上底面和下底面的中心， 连接，则平面，且是正四棱台的高， 在上取点，使得，由正四棱台性质得， 则四边形是平行四边形，故且，则平面， 由题意得，，则， 因为，所以由勾股定理得， 所以由棱台的体积公式得，故A正确， 对于B，如图，接，，， 由正四棱台性质得，且， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面，面，所以平面， 又，所以点到平面的距离即为到平面的距离且为定值， 由题意得为定值，则为定值，故B正确， 对于C，假设存在点，使得平面，而面，则， 因为，，面，所以平面， 而面，可得，与正四棱台的侧面为等腰梯形矛盾，故假设不成立， 即不存在点，使得平面，故C错误， 对于D，由正四棱台性质得，如图，作，， 由题意得四边形是矩形，则，， 则，而，得到， 如图，将侧面和沿棱展开， 由余弦定理得，解得， 且由题意得，，则，可得， 同理可得，，故， 即在展开图内直线过点，且，当且仅当共线时取等， 故当点与点重合时，的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），且，，记的内切圆圆心为，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 双曲线的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 点的横坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意作出符合条件的图形，利用二倍角公式和斜率的几何意义判断A，利用余弦定理建立齐次方程求解离心率判断B，对点位置分类讨论，结合双曲线的定义和切线长定理判断点与重合，最后利用直线的垂直关系求解斜率判断C，利用内切圆的半径相等并结合两点间距离公式建立方程，得到判断D即可. 【详解】如图，过点分别作的垂线，设垂足分别为， 对于A，因为，所以， 则 ， 设直线的倾斜角为，则， 由同角三角函数的基本关系得，所以的斜率，故A错误， 对于B，设双曲线的焦距为，则， 由双曲线的定义得，则， 由余弦定理得， 结合已知可得，解得， 则双曲线的离心率为，故B正确， 对于C，由切线长定理得，， 当点在线段上时， ， ， 联立两方程，可得，此时点与重合， 同理可得，当点在线段上时，，此时点与重合， 故，点与重合，即，可得，故C正确， 对于D，设的内切圆半径为，则， 又由勾股定理得， 则，解得， 而，可得，即点的横坐标为，故D正确. 故选：BCD 非选择题部分 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算及复数的模公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案：. 13. 已知实数，满足，则的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】由题，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 14. 若对，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意有，分和两种情况讨论，再利用导数研究单调性进而求解. 【详解】原式整理得，当时，在上恒成立， 令，则， 所以单调递增，故， 所以时，原不等式恒成立； 当时，易知函数在上单调递增，令得， 若原不等式在恒成立，则，解得， 此时，令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增；因为， 故当时，，所以当时，原不等式在恒成立， 综上实数的取值范围为 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 新型抗生素是近年来针对耐药菌感染研发的抗菌药物.通过创新机制或结构改良，对抗传统抗生素难以治疗的超级细菌.实验人员用感染肺炎的小白鼠对一种新型抗生素进行实验，并对使用该种抗生素后，小白鼠血液中的肺炎链球菌值（单位：个/）进行检验，并统计得到了下表： 第15题表 第天 1 2 3 4 5 肺炎链球菌值（个/） 66 57 50 41 36 并计算得： （1）计算变量和变量的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度（结果保留两位小数）； （2）若小白鼠血液中的肺炎链球菌值在区间内，则说明肺炎已治愈，用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该小白鼠至少需要服药多少天才能痊愈. 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为： 【答案】（1），两变量线性的相关程度很强 （2），8天 【解析】 【分析】（1）利用样本相关系数公式直接求解，然后根据相关系数的性质判断即可. （2）利用最小二乘法求得回归直线方程，令，解不等式即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又 所以， 因为非常接近1，所以两变量线性的相关程度很强. 【小问2详解】 由题，， ，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， 令，解得， 所以该小白鼠至少需要服药8天才能痊愈. 16. 如图，在四棱柱中，底面是边长为4正方形，，平面平面，，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据线线平行可证明线面平行，由线面平行可证明面面平行，进而由面面平行可推导出线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而由向量夹角的余弦公式求出余弦值即可. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 因为为中点，所以， 因为底面是正方形，为中点， 所以，所以平面， 同理平面， 又，所以平面平面， 又平面， 所以平面，得证. 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面平面，所以平面，故， 因为，所以平面，所以， 因为是正方形，所以为中点，与点重合， 因为，所以， 所以直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令得， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 所以面与平面夹角的余弦值为. 17. 如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且. （1）若为锐角三角形，求的取值范围； （2）若，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，又，进而得，即可求，由锐角三角形，即可求解； （2）设得，中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即，利用三角恒等变换即可得最大值，进而求解. 【小问1详解】 由，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以， 故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 18. 已知椭圆的焦距为4，的三个顶点在椭圆E上，两点关于坐标原点O对称，，且直线与的斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）当为椭圆的右顶点时，求直线的方程； （3）若直线与轴交于点，与轴垂直，垂足为，证明：. 【答案】（1） （2）或. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，然后根据两直线的斜率之积列出表达式，结合椭圆方程进行化简求得，进而可求出椭圆方程. （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，然后根据垂直关系列出等式，然后求出即可得到直线的方程. （3）方法一：设直线，与椭圆的方程联立方程组，结合韦达定理，根据垂直关系列出等式，化简得到以或，进而可证之；方法二：记直线的斜率分别为，设直线，然后求出，，从而证之. 【小问1详解】 由题，设， 则， 因为点在椭圆上，所以， 两式作差得， 即，所以①， 设椭圆的焦距为，则②， 又③， 综合①②③解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为为椭圆的右顶点，所以此时要满足，则直线的斜率存在且不等于0， 设，与椭圆的方程联立得 得，因为，所以， 又，所以，得， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 方法一： 证明：，则， 设直线，与椭圆的方程联立， 得， 则. 所以， 因为，所以， 化简得，所以或， 当时，与重合，不合题意，舍去； 所以，此时，易得， 可得，所以，得证 方法二： 证明：记直线的斜率分别为， 令，则， 因为，所以，又，故， 设直线， 令得， 所以，故， 又因为，所以， 所以，得证. 19. 已知函数的导函数为，为数列的前n项和，且，. （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：； （3）设，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求导，再求，利用导数的几何意义即可求切线方程； （2）由题意得，又，得，即，欲证，只需证得，即证，设，利用导数研究单调性即可得证； （3）由，即，由（2）知，得，最后利用裂项相消法即可得证. 【小问1详解】 由题，， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 证明：因为， 所以，所以当时，， 又，所以， 所以， 欲证，只需证得，即证， 设，则， 设，则， 因为，所以，故（即在单调递减， 而时，，，故，故在单调递减， 所以，所以得证. 【小问3详解】 证明：因为，即， 所以， 由（2）知，且， 所以，即， 所以， 所以. 所以.得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $