精品解析：浙江省L16联盟2024-2025学年高三上学期1月适应性测试数学试题

L16联盟2025年1月高考适应性测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合是空集，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 2. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义及复数除法运算计算得解. 详解】复数，则. 故选：C 3. 已知平行四边形满足，，则四边形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量求出的正弦，再借助三角形面积公式计算得解. 【详解】由，，得，则， 而，所以的面积. 故选：B 4. 已知是第一象限角，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用同角平方和的关系求解. 【详解】由可得， 由于是第一象限角，故，因此， 结合，故， 故选：C 5. 一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出四棱锥的高，再利用锥体的体积公式计算得解. 【详解】由四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，得该四棱锥为正四棱锥， 其高为，所以该四棱锥的体积是. 故选：D 6. 抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排列计数问题，结合对立事件求出古典概率. 【详解】记均匀的正四面体的4个面分别为， 抛掷3次的结果记为，所有不同结果有个，它们等可能， 抛掷3次，正四面体的每条棱都接触过地面，则互不相等，共有， 所以存在从未接触过地面的棱的概率是. 故选：D 7. 已知函数在上有定义，则的值不可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】考查和两种情况，结合正切函数的周期为，求出的值的范围即可判断. 【详解】依题意，函数在上有定义， 当时，，正切函数的最小正周期为， 当时，不妨令，则，， ，而， 因此，2可能； 当时，不妨令且，则，， ，都可能， 因此的值不可能是4. 故选：D 8. 在矩形中，，，，分别是，的中点，，分别是线段，上的动点，且，记和的交点为，则的轨迹的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的轨迹的方程，进而求出其离心率. 【详解】在矩形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，设， 由，得，由共线、共线，得， 整理得，即， 因此的轨迹方程为， 的轨迹是长半轴长，短半轴长的椭圆（除长轴端点外）， 所以的轨迹的离心率是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：建立适当平面直角坐标系，求出的轨迹方程是求解问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.有两个正确选项的仅选其中一个得3分；有三个正确选项的仅选其中一个得2分，仅选其中两个得4分. 9. 如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（ ） A. 自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B. 自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C. 自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D. 自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图中圆的大小以及高度，即可结合选项逐一求解. 【详解】由图可知：这些圆的圆心所在的高度呈现上升趋势，故自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势，A正确， 由于这些圆大小呈现变大的趋势，故半径呈现变大的趋势，因此城镇化率也呈现增长趋势，B正确， 由于我国人口总数大致呈增长趋势，且城镇化率也呈现增长趋势，因此自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关，D正确， 根据图，无法得知人口增长率的变化情况，故C错误， 故选：ABD 10. 已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（ ） A. B. C. 时，取最大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据即可判定A,根据作差，判断数列的单调性可知C，根据放缩，结合等差数列以及等比数列的求和即可判断BD. 【详解】由于，则，故A错误， ， ， 当，故， 当，故， 因此时，取最大值，C正确， 当时，，则，故D错误， 由于，故，故，B正确， 故选：BC 11. 直线与曲线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的解析式，结合各选项的图象特征，逐一分析判断. 【详解】对于A，直线过原点，则，此时曲线过点，则， 直线与曲线，符合要求，A可能； 对于B，直线过点，且，则，此时曲线， 又曲线过点，则，解得与矛盾，B不可能； 对于C，直线过点，且，则，此时曲线， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，符合要求，C可能； 对于D，直线过点，且，则，此时曲线， 求导得，当或时，；当时，， 函数上单调递减，在上单调递增，符合要求，D可能. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：由各选项中直线确定参数，由此得曲线方程，并分析其图象与对应选项图象一致即可能. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的所有项的系数之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】在中，令，故展开式中的所有项的系数之和为， 故答案为： 13. 在中，角，，所对的边分别是，，，，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角正弦公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则，即， 于是，即， 而，因此，当且仅当时取等号， 则，，所以的最大值是. 故答案为： 14. 设，为抛物线上不同象限内的两点，且直线的斜率为1．记为原点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量夹角公式求出范围. 【详解】设直线的方程为，， 由消去得：，， ，则，, ,， ， ，令，则， ，当时，， 当，即时，， 当，即时，， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用韦达定理及向量夹角公式求出的余弦的函数关系是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第15~18题为必考题，每个试题考生都必须作答.第19题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 15. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）求； （2）求角的最大值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理化角为边，化简得，利用正弦定理即得所求的值； （2）根据（1）的结论，利用余弦定理推得，由基本不等式求得，结合余弦函数的图象即得角的最大值. 【小问1详解】 由和余弦定理，可得， 化简得，由正弦定理，，即得. 【小问2详解】 由（1）已得，利用余弦定理， 可得， 因，当且仅当取等号，则得， 因，由余弦函数的图象可得：， 即当时，角取得最大值. 16. 已知函数的最小值是0． （1）求； （2）若实数，满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性，结合分类讨论即可求解最值， （2）根据指对运算可得，进而得，构造函数利用导数求解函数的单调性，即可求解最值得解. 【小问1详解】 若时，则均为单调递增函数，因此函数单调递增，此时函数没有最小值， 若时，此时，由于单调递增，故为单调递增函数，令，则， 故时，单调递增，时，单调递减， 因此在取到最小值，故， 进而， 令，则单调递减，且，故 【小问2详解】 由（1）知， 由于，故，则， 即， 故，所以， 令则， 当单调递减，单调递增， 故的最小值为， 因此的最小值为 17. 已知，，，，设统计量． （1）若，求的取值范围； （2）记，用表示； （3）判断与1的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），，； （3），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，解组合数不等式即可. （2）利用给定表达式，结合组合数的性质及二项式系数的性质求解. （3）由（2）的结论，构造数列并判断单调性即可. 【小问1详解】 依题意，，整理得，而，解得， 所以的取值范围是，. 【小问2详解】 依题意，，而， 则 ，，. 【小问3详解】 令，则，而，因此， 数列是递增数列，，，， 所以. 18. 已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体的上下底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长度的，下底面长轴记为，上底面长轴记为．点为上一点，过点在下底面内作的垂线分别交下底面椭圆于点，．记． （1）若平面平面，求及二面角的余弦值； （2）若随变量的变化而变化，且，．记二面角的大小为，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得，根据椭圆的几何性质可得椭圆方程为，将代入椭圆即可求解，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解， （2）求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 由于底面，底面，故,, 由于平面平面，故为两平面的夹角，因此, 以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 可设设椭圆方程为，由于，故，则 由于，根据椭圆的对称性可知，故， 设直线，则，故， 将代入椭圆中可得 化简得，解得或（舍去）， 故，则， 以为原点，以为轴的正方向，过作平行于的直线为轴正方向，平行于向上的直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则， 则，令，则， 设二面角的平面角为， 则， 由于， 则点到的距离为， 根据对称和全等可得，故， 所以， 【小问2详解】 由，则， 将代入椭圆可得, 故， 故， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则， 则，令，则， 设二面角的平面角为， 则， 由于故， ， 由于故， 由（1）知该二面角为钝角，故， 所以 故，得证. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. （二）选考题：共17分.请考生从给出的2道题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. A［选考题1］ 19. 现有公差为的项等差数列，若从中随机取出项后，对于剩余项始终有，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为的“间子列”． （1）写出数列，，，的所有间子列； （2）证明：存在数列的一个间子列，其也为数列的间子列； （3）从数列中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为的间子列的概率为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据间子列的定义即可直接求解， （2）考虑数列其剩下的项不含项情况，由，在剩下的项添加项，根据，结合间子列定义即可求解， （3）根据“抽取到间子列的概率”和“抽取到取完间子列后剩下数列”的概率相同，可得，进而可得，根据，即可求证. 【小问1详解】 数列，，，的所有间子列为 【小问2详解】 证明：考虑取出间子列后剩下的项，对于数列，考虑其剩下的项不含项的情况，则对于其剩下的项，必有， 若在剩下的项添加项，则必有，对于剩下的项，有，符合条件，则剩余的项在数列的情况下同样满足，故此时取出的数列既是的间子列，也是数列的间子列，得证. 【小问3详解】 考虑取出间子列后剩下的数列， 因为间子列和剩余数列互补成原数列，故它们一一对应，即有“抽取到间子列的概率”和“抽取到取完间子列后剩下数列”的概率相同， 记剩余的项按原顺序排成的数列为“剩余列”， 设为数列剩余列的数量，其中，记为不含有剩余列的数量，为含有剩余列的数量，则有， 另一方面，由（2）中的结论有：对于与不含的非双项剩余列，其数量与含的非双项剩余列数量相同， 并且对于的双项剩余列，其由前的每一项和的组合而成； 即， 由于，故， 故， 故，等价于； 故， 设， ， 故，则对任意的，均有； 所以有， 因为每个取出的新数列均按照从小到大的顺序排列，故取出的方法总数共有种， 则， 要证即证； 等价于， 当时，由上可知等价命题成立； 故时，必有即， ， 所以，得证. 【点睛】方法点睛：对于以数列为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好数列的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的数列的性质的一些因素. B［选考题2］ 20. 若正项数列的任意相邻四项，，，满足，则称数列是反数列．已知数列，均为反数列，． （1）证明：； （2）若，，且数列为反数列，求的前项和； （3）若，，且数列为反数列，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用反数列的定义，列式推理计算得证. （2）利用反数列的定义，结合迭代的方法证明数列是常数列，再求出其前项和. （3）利用反数列的定义，结合基本不等式及迭代的方法证明，再求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 令数列的前4项依次为，由数列为反数列，得， 则，即，于是，即， 当时，；当时，，则， 因此，所以得证. 【小问2详解】 对于反数列，由（1）知，而， 两式相加得，由数列均为反数列， 得， 则， 于是，即，则， 由，得；若，则由，得， 连续次操作，得；因此由，得，同理， 又，，于是，取遍， 得到，同理，即为常数， 所以数列是常数列，的前项和是. 【小问3详解】 显然， 于是， 即，即， 即， 当且仅当，即时取等号，由，知， 由，知当时，， 而，于是连续次操作，有，则， 由，知数列均为等差数列， 由，得， 则； ， 而，因此， 所以. 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ L16联盟2025年1月高考适应性测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合是空集，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形满足，，则四边形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知是第一象限角，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 5. 一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有定义，则的值不可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 在矩形中，，，，分别是，的中点，，分别是线段，上的动点，且，记和的交点为，则的轨迹的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.有两个正确选项的仅选其中一个得3分；有三个正确选项的仅选其中一个得2分，仅选其中两个得4分. 9. 如图，国家统计局发布了自1990年至2023年国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（ ） A. 自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B. 自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C. 自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D. 自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关 10. 已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（ ） A. B. C. 时，取最大值 D. 11. 直线与曲线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的所有项的系数之和是________． 13. 在中，角，，所对的边分别是，，，，则的最大值是________． 14. 设，为抛物线上不同象限内的两点，且直线的斜率为1．记为原点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第15~18题为必考题，每个试题考生都必须作答.第19题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 15. 在中，角所对的边分别是，已知． （1）求； （2）求角的最大值． 16. 已知函数最小值是0． （1）求； （2）若实数，满足，求的最小值． 17. 已知，，，，设统计量． （1）若，求取值范围； （2）记，用表示； （3）判断与1的大小关系，并说明理由． 18. 已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体的上下底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长度的，下底面长轴记为，上底面长轴记为．点为上一点，过点在下底面内作的垂线分别交下底面椭圆于点，．记． （1）若平面平面，求及二面角的余弦值； （2）若随变量的变化而变化，且，．记二面角的大小为，证明：． （二）选考题：共17分.请考生从给出的2道题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. A［选考题1］ 19. 现有公差为的项等差数列，若从中随机取出项后，对于剩余项始终有，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为的“间子列”． （1）写出数列，，，的所有间子列； （2）证明：存在数列的一个间子列，其也为数列的间子列； （3）从数列中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为的间子列的概率为，证明：． B［选考题2］ 20. 若正项数列任意相邻四项，，，满足，则称数列是反数列．已知数列，均为反数列，． （1）证明：； （2）若，，且数列为反数列，求的前项和； （3）若，，且数列反数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$