圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 考点目录 隐圆问题 切线证明问题 外接圆与内切圆问题 考点一 隐圆问题 例1.(24-25九年级上·江苏淮安期中)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,，P是ABC内部的一个 动点，且满足LPAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为() B A.3-2 B.2 C.√1-2 D.万-2 【答案】A 【详解】解：AB⊥BC, ∴∠ABC=90°， ∠ABP+∠PBC=90°， 又∠PAB=∠PBC, ∠ABP+∠PAB=90°， ∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P,此时PC最小， D 在Rt△BC0中，∠OBC=90°，BC=3, AB=4, 0B=2, ∴0C=V0B2+BC2=V22+32=√3， 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 ∴CP=0C-0P=V13-2, “CP最小值为√3-2， 故选：A. 例2.(24-25九年级上江苏南京·阶段练习)如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=8,点P是矩形ABCD内一动点， 且∠BPC=90°，连接AP,PD,则△APD面积的最小值为() D B A. √5 B.4 C.3 D.5 2 【答案】B 【详解】解：：∠BPC=90°，点P是矩形ABCD内一动点， :点P在BC为直径，在矩形内的半圆上运动， :矩形ABCD中，AB=5,BC=8, .BC=AD=8, 如图所示，取BC的中点E,则BE=BC=4 E :点P到AD的最短距离为5-{x8=1, △APD面积的最小值为2Dx1=2x8×1=4, 2 故选：B. 例3.(2425九年级上·北京海淀·阶段练习)Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是△ABC内部的一个动点， 满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为() 16 A.5 B.1 C.13-3 D.V13-2 【答案】D 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 【详解】解：∠ABC=90°， ∠ABP+∠PBC=90°， '∠PAB=∠PBC ∠BAP+∠ABP=90°， ∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P,此时PC最小， 在Rt△BCO中，~∠OBC=90°，BC=3,OB=2, .OC=OB2+BC2=22+32=13, .CP=OC-OP=13-2. CP最小值为√3-2 故选：D. B 例4.(24-25九年级上，浙江宁波期中)如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧BC上任意一点，过 点C作CE⊥AD于点E,连结BE,若AB=4,则BE的最小值为 C D B 【答案】√0-√2/-√2+0 【详解】解：如图所示，连接4C,BC,取4C的中点F,以F为圆心，4C为学径作医， C D 3 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 CE⊥BD LAEC=90°， ∴E是在以AC为直径的圆上，当E点在BF和圆F的交点时，BE最短 ~点C是以AB为直径的半圆的中点，AB=4, LACB=90°，AC=BC, ÷BC=AC-5AB=22, ∴CF=√2， 在R△CFB中，BF=VCF2+BC-V2+22=0 ·BE的最小值为√0-√2 故答案为：√0-√2. 例5.(25-26九年级上·福建福州阶段练习)如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线 段，垂足为点E,连接BE,若AB=I0,则BE的最小值是」 D 【答案】5√5-5 【详解】解：：CE⊥AD于点E,D为BC边上动点， :点E的轨迹为以4C的中点O为圆心，4C为半径的圆， :当点B,O,E共线时，BE最小， 等边三角形4BC,0C=4C=×10=5, BO⊥AC, ∴B0=VBC2-C02=V102-52=5V3, :BE OB-OE=53-5. 4 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 B 故答案为：5√3-5. 例6.(25-26九年级上·江苏阶段练习)如图，矩形ABCD的边AB=18,AD=12,M为BC的中点，P是矩形内部 一动点，且满足∠ADP=∠PAB,N为边CD上的一个动点，连接PN,MN,则PN+MN的最小值为一· B 【答案】6V13-6/-6+613 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°， ∠ADP=∠PAB, ∠ADP+∠PAD=∠PAB+∠PAD=∠BAD=90°， ∴点P的运动路线为以AD为直径的圆， 作以AD为直径的⊙O,作点M关于直线DC的对称点M',连接OM'交⊙O于点P,连接MN,OP, B M M 则OP=OP'=6,MN=MN, :.PN MN PN +M N PN M N OP-O P'2OM'-OP'=OM'-6, ∴PN+MN的最小值为OM'-6; 连接OM, ~四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点， 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 :0D=AD=BC=CM=6,0D∥CM,∠0DC=90°， 21 2 四边形OMCD是矩形， ∴0M=DC=AB=18, ~点M关于直线DC的对称点M', MM=2MC=12, 在RteMOM中，由勾股定理，得0M'=VOM?+MM2=V182+122=613, ∴PN+MN的最小值为0M'-6=63-6, 故答案为：6√13-6， 例7.(24-25九年级下·四川攀枝花阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点F在边AC上， 并且CF=2,点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则△ABP面积的最小值是」 E B 【答案】6 【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D,以F为圆心，CF为半径作⊙F,过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G ,当点P与点G重合时，点P的到AB的距离最小，最小值=FH-FG, 由翻折的性质可知，PF=CF=2, :点P在⊙F上， D B :AC=6,BC=8, AB=V62+82=10, 由△AHF∽△ACB, AF FH ABBC’ 6 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 4 FH 108’ FH=3.2, ·点P到AB的距离的最小值=FH-FG=3.2-2=1.2. △ABP面积的最小值为。×1.2×10=6； 2 故答案为：6 变式1.(24-25九年级下·安微芜湖阶段练习)在Rt△ABC中，斜边AC=10,点B为动点，以AC为边长作等边 △ACD,连接BD,则BD的最大值是() A.10 B.5V5 C.5W2+5 D.5V3+5 【答案】D 【详解】解：根据题意，画图如下，在⊙O中，连接DO并延长，交⊙O于点E和点B,连接AE,CE, ~ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴点B在⊙O上，且AC为圆的直径， 当点B、O、D三点共线时且BD⊥AC时，BD最长， ~等边aACD的边长为10，AC,BE为过圆心的直径， AC=BE=10,且AC⊥BE, ∴四边形ABCE是菱形， :.0B=OE=OA=OC=5,OD L AC, ∠A0D=90°， 在RtAAOD中，ACAD10, .0D=VAD2-0A2=V102-52=5√5， :.BD=OD+0B=53+5, .BD的最大值为5√3+5， 故选：D, 变式2.(2025山东泰安·一模)如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，E为BC边上的中点，P为直线BC上方 1 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 AE左侧的一个动点，且满足∠PAE=∠PEB,则线段CP长度的最大值是(、) D A.V7-5 B.4 C.√万+5 D.2V5+2 【答案】C 【详解】解：如图，连接AC, D B E 菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，E为BC边上的中点， .AB=BC=4,BE=CE=BC=2, 2 ·ABC是等边三角形， .AE⊥BC, AE=V√AB2-BE2=2V3, ∠AEP+∠PEB=90°， ∠PAE=∠PEB, ∠AEP+∠PAE=90°， LAPE=90°， “点P的运动轨迹是以AE为直径的一段圆弧， 如图，取AE的中点O,连接CO,并延长交⊙O于点Q,则线段CP长度的最大值是CQ, 0E=00=4E=5. ∴OC=VOE2+CE2=√7， ∴C0=0C+00=√万+5， 即线段CP长度的最大值是√万+√5， 故选：C. 8 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 变式3.(2025·安徽蚌埠三模)如图，动点P在正方形ABCD内部，E为边BC的中点，且PE=CE=1. A D (1)当∠PCB=25°时，∠PBC的度数为： (2)点D到点P的最小距离为一· 【答案】 65°65度 √5-1/-1+5 【详解】解：：E为边BC的中点，PE=CE=1, :BE PE CE =1, 动点P在以E为圆心、以1为半径的半圆（不包括点B,C)上，如图， D .∠BPC=90°， B 当∠PCB=25°时，∠PBC=90°-25°=65°， 连接DE,交半圆E于点Q,则当点P运动到点Q处时，点D到点P的距离最小为DQ的长度， :∠BCD=90°， 由勾股定理，得DE=VCE2+CD2=VP+22=√5， D0=V5-1 变式4.(25-26九年级上江苏阶段练习)如图，在⊙O中，半径0A=√61，弦BC=10,Q是AC上的一个动点， 连接BQ,作CP1BQ,垂足为P,则在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是 A 【答案】8 【详解】解：CP⊥BQ, ∴∠CPB=90°， 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 ~点Q是劣弧AC上的一个动点， ∴点P在以BC为直径的⊙D的圆弧上， 如图所示，连接AD交⊙D于P,此时线段AP最短. 弦BC=10,半径0A=√6I, ∴直径AB=2√61，CD=DP=5, 连接AC,则：∠ACB=90°， AC=VAB2-BC2=26-102=12, 在Rt△ACD中， AD=VAC2+CD2=V22+52=13, :AP AD-DP=8. 故答案为：8. 变式5.(2526九年级上·江苏盐城阶段练习)如图，点E是口ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4,BC=6.连 接CE,分别取CD、CE的中点MN,连接MN,若LBAD=120°，则线段MN长度的最小值为_ E B 【答案】√仍-1/-1+3 【详解】解：连接DE,如图， D E CD、CE的中点为M、N, MN -DE 10圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 圆：隐圆问题、切线证明问题、外接圆与内切圆问题专项训练 考点目录 隐圆问题 切线证明问题 外接圆与内切圆问题 考点一 隐圆问题 例1．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 例2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 例3．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P 是△ABC 内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 例4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是以为直径的半圆的中点，为弧上任意一点，过点作于点，连结，若，则的最小值为 ．      例5．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 例6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，矩形的边，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 例7．（24-25九年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则面积的最小值是 ．    变式1．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）在中，斜边，点为动点，以为边长作等边，连接，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 变式3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，动点 P 在正方形内部，E 为边的中点，且． （1）当 时，的度数为 ； （2）点D到点P的最小距离为 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 变式5．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 变式6．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 考点二 切线证明问题 例1．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 例2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，平分，交 于点，经过两点，且圆心恰好落在上 ． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，则 ． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若． (1)判断CD与的位置关系，并说明理由 (2)若，，求的长 例4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 变式1．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，为的直径， C是的中点， 交的延长线于点 D． (1)求证：是的切线 (2)若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交边于点（点不与点重合），交边于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若．求的半径． 变式3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是的直径，弦平分，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 变式4．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，是的直径，弦垂足为，半径上有两点和，，射线，射线分别交于点、，连接交于点，过点作的平行线． (1)证明：直线是的切线； (2)当时，若，，求的长． 考点三 外接圆与内切圆问题 例1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 例4．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 例5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为 ． 例6．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 变式1．（23-24九年级上·天津河西·期末）若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 变式2．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ． 变式5．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ． 变式6．（2025·青海西宁·模拟预测）边长为的等边的内切圆的半径为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $