专题04 圆（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期人教版

专题04 圆 5大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角、圆周角 考点03 切线的性质与判定 考点04 切线综合 考点05 正多边形和圆 地 城 考点01 垂径定理 一、单选题 1．(24-25九上·北京东城区·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．在平面上画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．购买1张彩票，中奖 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，为的直径， 弦于点 E，， 那么直径的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 4．(24-25九上·北京西城区·期末)已知，， 以B为圆心，长为半径画圆B， 若点C在圆B内， 则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京海淀区·期末)图1和图2分别为可移动休息舱及其截面示意图．已知截面底部宽为2.4米，该截面所在圆的半径为2米，则最高点到的距离为 米． 6．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为 ． 7．(24-25九上·北京朝阳区·期末)在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是 . 8．(24-25九上·北京西城区·期末)如图是一条水平铺设的直径为20米的通水管道横截面，其水面宽为16米，交圆与点D，垂足为点C，则这条管道中此时水深为 米．    地 城 考点02 圆心角、圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，是的直径，C，D是上两点，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（   ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 3．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么 ． 4．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，A，B，C是上的点，如果，那么的度数是 ． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，是弦，，则 °． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，为的直径，内接于．若，则 ． 三、解答题 7．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，是的内接三角形，延长至点，平分交于点，连接，求证： 8．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的外接圆，，直径，垂足是． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 9．(24-25九上·北京西城区·期末)下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．    已知： 如图1，． 求作： 直线，使得． 作法：如图2 分别作线段的垂直平分线 ，两直线交于点O； 以点O 为圆心，长为半径作圆； 以点 A 为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点 D； 作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明： 连接， 点A， B， C， D在上， ． （         ）（填推理的依据）． （                ）（填推理的依据）． ． 10．(24-25九上·北京西城区·期末)已知：如图1，点，在上，点在外． 求作：的切线，且切点在劣弧上． 作法：如图2， ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交劣弧于点； ④画直线．直线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴________（__________）（填推理的依据）． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线（____________）（填推理的依据）． 11．(24-25九上·北京东城区·期末)已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接． 求作：，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P； ②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E； ③连接，． 就是所求作的角． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（ ）（填推理的依据）． ∵点B，O，E，C在上， ∴ ． ∴． 地 城 考点03 切线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，分别与相切于A，B两点，，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ．    4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是 ． 5．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则 ． 三、解答题 6．(24-25九上·北京朝阳区·期末)北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算方案并画出了示意图. 直角曲尺的短边长为，在测量时，用直角曲尺的长边贴紧圆形石坛的边缘，并使短边与圆形石坛的边缘接触，此时长边与圆形石坛的接触点记为点D，量得的长为，示意图如图2所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径. 7．(24-25九上·北京丰台区·期末)下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点P在外． 求作：的切线，使它经过点． 作法：①作射线交于A、B两点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，； ③连接，分别交于点，； ④作直线，． 直线，为所作的切线． 根据小明设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （ ）（填推理依据）． ∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据）， 同理可证，直线是的切线． 地 城 考点04 切线综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点E，延长至点P，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 3．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，弦，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)已知：是的直径， 弦 垂足为E，半径上有两点 M 和N， 射线， 射线分别交于点 F、H， 连接交于点G， 过点 D作的平行线 ． (1)证明： 直线 是的切线； (2)当 时，求 的度数． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 地 城 考点05 正多边形和圆 一、单选题 1．(24-25九上·北京东城区·期末)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 3．(24-25九上·北京十一晋元中学·期末)如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是 （结果保留）． 5．(24-25九上·北京大兴区·期末)若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为扇形，则该圆锥的侧面面积为 6．(24-25九上·北京朝阳区·期末)埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为 7．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，从一张边长为的正方形纸片上剪出一个扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，此圆锥的底面圆的半径为 ． 8．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ． 9．(24-25九上·北京朝阳区·期末)请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的： . 10．(24-25九上·北京大兴区·期末)半径为4的正六边形的周长是 ． 11．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m． 三、解答题 12．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； (2)______； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 5大高频考点概览 考点01 垂径定理 考点02 圆心角、圆周角 考点03 切线的性质与判定 考点04 切线综合 考点05 正多边形和圆 地 城 考点01 垂径定理 一、单选题 1．(24-25九上·北京东城区·期末)下列事件为必然事件的是（   ） A．在平面上画一个三角形，其内角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．购买1张彩票，中奖 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意； C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意； D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，由勾股定理得出，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：是的弦，且于点， ，， ， 故选：B． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，为的直径， 弦于点 E，， 那么直径的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据直径等于半径的2倍即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，弦，垂足为点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)已知，， 以B为圆心，长为半径画圆B， 若点C在圆B内， 则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和垂径定理，根据点C在圆内的位置判断线段的取值范围即可． 【详解】解：当点C在圆上时，， ∴是等边三角形， ∴， 过点作，则 由勾股定理得，， 所以，点C在圆B内， 则线段的取值范围是， 故选：D． 二、填空题 5．(24-25九上·北京海淀区·期末)图1和图2分别为可移动休息舱及其截面示意图．已知截面底部宽为2.4米，该截面所在圆的半径为2米，则最高点到的距离为 米． 【答案】3.6 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理得米，由勾股定理得米，根据可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，且米， ∴米， 又米， ∴在中，， ∴米， ∴米， 故答案为：3.6． 6．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，进而得出的长，据此得出结论． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于点E，， ， 设的半径为r，则， 在中，，即， 解得， ， 故答案为： 7．(24-25九上·北京朝阳区·期末)在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．作辅助线如图，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，，所以点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上，然后求出两圆上两点之间的最小距离和最大距离即可． 【详解】解：过点O作于E，于F，连接，如图，，， 则，， 在中，， 在中，， 点E在以O点为圆心，4为半径的圆上；点F在以O点为圆心，3为半径的圆上， 两圆上两点之间的最小距离为；两圆上两点之间的最大距离为， 的取值范围为 故答案为： 8．(24-25九上·北京西城区·期末)如图是一条水平铺设的直径为20米的通水管道横截面，其水面宽为16米，交圆与点D，垂足为点C，则这条管道中此时水深为 米．    【答案】4 【分析】连接，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如下图所示，    ∵的直径为20米， ∴， 又∵交圆与点D，垂足为点C，为16米， ∴， 在中，， 则水深， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了垂径定理的运用、勾股定理；通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理是解决问题的关键． 地 城 考点02 圆心角、圆周角 一、单选题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，是的直径，C，D是上两点，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．先根据直角三角形的性质得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， 故选： 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（   ） ①垂直平分； ②四边形是平行四边形； ③． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形是菱形，即可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧上时，由圆周角定理可直接得出；当点A在劣弧上时，在优弧取点D，连接，，由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质得出，即说明原命题为假命题． 【详解】解：①题设：垂直平分；结论：． 如图，连接，， ∵垂直平分，， ∴， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ②题设：四边形是平行四边形；结论：． 如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴． ∵， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴，即此时为真命题； ③题设：；结论：． 分类讨论：当点A在优弧上时，如图， ∴； 当点A在劣弧上时，如图，在优弧取点D，连接，， ∴， ∴． 综上可知当时，或，故原命题为假命题． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，判断真假命题等知识．熟练掌握上述知识是解题关键． 二、填空题 3．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么 ． 【答案】55 【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 4．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，A，B，C是上的点，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，是弦，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正确理解定理，作出辅助线是关键．根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】∵ 是的直径， ， 又 ∵， ． 故答案为：． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，为的直径，内接于．若，则 ． 【答案】50 【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴． 故答案为：50． 三、解答题 7．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，是的内接三角形，延长至点，平分交于点，连接，求证： 【答案】见解析 【分析】首先根据圆周角定理可得：，根据圆内接四边形的对角互补可得：，根据邻补角定义可得：，根据同角的补角相等可得：，等量代换可证，根据等角对等边可证． 【详解】证明：平分， ， 根据圆周角定理得：， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 8．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的外接圆，，直径，垂足是． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得出，结合已知以及弧、弦的关系可得出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质和垂径定理、圆周角定理等可求出，，根据含的直角三角形的性质得出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵直径，垂足是， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形． （2）解：连接，如图． ∵是等边三角形， ∴，． ∵直径，垂足是， ∴，． ∵， ∴在中，． ∴． 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，圆周角定理，等边三角形的判定与性质以及勾股定理等，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 9．(24-25九上·北京西城区·期末)下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．    已知： 如图1，． 求作： 直线，使得． 作法：如图2 分别作线段的垂直平分线 ，两直线交于点O； 以点O 为圆心，长为半径作圆； 以点 A 为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点 D； 作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明： 连接， 点A， B， C， D在上， ． （         ）（填推理的依据）． （                ）（填推理的依据）． ． 【答案】(1)见解析 (2)；在同圆或等圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等；在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查尺规作图，圆的有关性质及平行线的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据圆的性质和平行线的判定证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；    （2）证明：连接， 点，，，在上，， （在同圆或等圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等）． （在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）． ． 故答案为：；在同圆或等圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等；在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等． 10．(24-25九上·北京西城区·期末)已知：如图1，点，在上，点在外． 求作：的切线，且切点在劣弧上． 作法：如图2， ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交劣弧于点； ④画直线．直线即为所求． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵是的直径， ∴________（__________）（填推理的依据）． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线（____________）（填推理的依据）． 【答案】(1)图见解析 (2)90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆周角定理、圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）根据题中的作法步骤：根据线段垂直平分线和圆的画法即可得； （2）先根据圆周角定理可得，再根据圆的切线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形如下： ． （2）证明：连接． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 11．(24-25九上·北京东城区·期末)已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接． 求作：，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P； ②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E； ③连接，． 就是所求作的角． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（ ）（填推理的依据）． ∵点B，O，E，C在上， ∴ ． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)圆周角定理； 【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即可； （2）根据圆周角定理补全证明过程即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（圆周角定理）． ∵点B，O，E，C在上， ∴． ∴． 故答案为：圆周角定理； 地 城 考点03 切线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内切圆半径求法，根据矩形面积不同的表示表示方法得出等式即可求解． 【详解】解：设由图可知：如图1所示的直角三角形面积为， 图2所示的矩形面积为：，而图2所示的矩形面积为如图1所示的面积的4倍 ∴， ∴ 故选：A． 2．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，分别与相切于A，B两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和为，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． 【详解】解：连接， 直线分别与相切于点， ，， ， ， 是上一点， 故选 二、填空题 3．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的性质，得出，，然后根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵，，是的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴直径， 故答案为：． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的应用．通过连接，利用切线性质得到垂直关系，证明，得到，再圆周角定理求出，最后在中应用勾股定理求得的长． 【详解】连接，, ，是的切线， ， 又， （定理）， ， 而（圆心角是圆周角的两倍）， ， 在中，， 是的直径，， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆内接四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25九上·北京朝阳区·期末)北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲尺，制定了测算方案并画出了示意图. 直角曲尺的短边长为，在测量时，用直角曲尺的长边贴紧圆形石坛的边缘，并使短边与圆形石坛的边缘接触，此时长边与圆形石坛的接触点记为点D，量得的长为，示意图如图2所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径. 【答案】 【分析】本题考查圆切线的实际应用．解题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆切线性质，勾股定理解解三角形． 如图，连接，过点C作于点，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点设 是的切线， ， ∵， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， 解得 所以圆形石坛的直径:（m）． 7．(24-25九上·北京丰台区·期末)下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点P在外． 求作：的切线，使它经过点． 作法：①作射线交于A、B两点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，； ③连接，分别交于点，； ④作直线，． 直线，为所作的切线． 根据小明设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （ ）（填推理依据）． ∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据）， 同理可证，直线是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形三线合一，关键是通过作图构造等腰三角形和三线合一． （1）根据要求即可画出图形即可； （2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）如图所示； （2）证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）． ∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线） 同理可证，直线是的切线． 故答案为：在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 地 城 考点04 切线综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点E，延长至点P，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角的性质可得，由等腰三角形的性质可证，可求，即可求解； （2）通过证明∽，可得，可求BD的长，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是直径， 是的切线； （2）解：，， ， ，， ∽， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质． （1）连接，由切线的性质得，再由四边形内角和得，由平角的性质得，进而得，再由垂径定理得，继而可得结论； （2）过点C作于点M，先由已知得四边形是矩形，进而得，，，结合（1）易得是等腰直角三角形，进而可得，，再由即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作于点M， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2，即， ∴， ∴，， ∴． 3．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论； （2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 为边的中点， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：连接， 与相切于点D，与相切， ， 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，是的直径，弦，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题关键． （1）作于点，连接，，先由平行的性质易得，再由切线的性质得，进而得，即可得，再由垂径定理和圆周角定理可得，，继而可得结论； （2）作于点，设的半径为，则，，由勾股定理列方程得，解方程得，进而可得、的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：作于点，连接，，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图2 ∵，于点， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)已知：是的直径， 弦 垂足为E，半径上有两点 M 和N， 射线， 射线分别交于点 F、H， 连接交于点G， 过点 D作的平行线 ． (1)证明： 直线 是的切线； (2)当 时，求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），根据线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质得，进而得出，然后根据，结合等腰三角形的性质得，即可得出，接下来答案可证； 对于（2），连接，先根据证明，可得是等边三角形，可知，再根据等腰三角形的性质得，然后根据切线的性质得，可求出，则结论可证． 【详解】（1）如图所示，标注两点，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线l是的切线； （2）连接， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴． ∵直线l是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，准确作出辅助线是解题的关键． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得，得到，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 在中，，， ， ， ， 与和都相切， ， 在中，， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 地 城 考点05 正多边形和圆 一、单选题 1．(24-25九上·北京东城区·期末)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：D． 2．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了扇形面积公式，即等于弧长与半径乘积的一半．设大圆半径为，小圆半径为，得到，则，即可得答案． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 则扇形的面积，扇形的面积， ∵扇形与扇形的面积相等， ∴， ∵ ∴， 即， 故选：B 3．(24-25九上·北京十一晋元中学·期末)如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 二、填空题 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算可得． 【详解】解：的长为：， 故答案为：． 5．(24-25九上·北京大兴区·期末)若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为扇形，则该圆锥的侧面面积为 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算．利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：， 该圆锥的侧面面积为． 故答案为：． 6．(24-25九上·北京朝阳区·期末)埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 7．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，从一张边长为的正方形纸片上剪出一个扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，此圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆锥的计算，先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径． 【详解】解：弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥的底面半径为， 则， ， 圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 8．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，弧长公式等着知识，先根据点A的坐标求出的长度，然后根据旋转的性质和弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点绕原点O顺时针旋转得到点， ∴点A运动到的轨迹的长度为， 故答案为：． 9．(24-25九上·北京朝阳区·期末)请举一个反例说明命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的： . 【答案】矩形 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据矩形的性质、正多边形的概念解答即可． 【详解】解：矩形的各角都是，即各角相等，但矩形不一定是正多边形， 则命题“各角相等的圆内接多边形是正多边形”是错误的， 故答案为：矩形． 10．(24-25九上·北京大兴区·期末)半径为4的正六边形的周长是 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，正六边形的半径与边长相等是需要熟记的内容．根据正六边形的半径可求出其边长为4，进而可求出它的周长． 【详解】解：正六边形的半径为4，则边长是4，因而周长是． 故答案为：． 11．(24-25九上·北京丰台区·期末)如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图， ∵，, ∴，即正六边形的边长为， ∴地基的周长为， 故答案为：. 三、解答题 12．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； (2)______； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3) 【分析】本题考查了作图旋转变换，求弧长． （1）线段和的中垂线的交点即为点O，再确定点的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所得到的图形； （2）由（1）中的图示可得； （3）点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，线段和的中垂线的交点即为点O， “L”形旋转后所得到的图形如图所示； （2）解：由（1）中的图示可得， 故答案为：90； （3）解：点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长， 由题意得， ∴点所经过的路径长， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $