3.2.2 基本不等式的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过养殖场围矩形牧场的情境导入，衔接基本不等式的形式，借助拆项、凑因子等变形技巧及例题解析，构建从知识到应用的学习支架，帮助学生掌握求最值、参数范围及实际应用题的方法。 其亮点在于情境化设计与分层训练结合，以牧场围栏、购物运费等实例培养数学建模素养，通过“1”的代换等多种解法提升数学运算能力。例题典型且步骤清晰，分层作业满足不同需求，助力学生深化理解，也为教师提供高效教学支持。

第3章　 不等式 3.2.2　基本不等式的应用 3.2　基本不等式(a，b≥0) 学习任务 核心素养 1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点) 2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点) 3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点) 1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 3.2.2　基本不等式的应用 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成总长为l的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？ 必备知识·情境导学探新知 3.2.2　基本不等式的应用 知识点　基本不等式的应用 1．基本不等式的变形 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． 常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 体验　1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　) A．　　　B．4　　　C．　　　D．5 C　[∵a＋b＝2，∴＝1． ∴＝＝＋2＝， 当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立． 故y＝的最小值为．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类) (1)合理选择自变量，建立函数关系； (2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)； (3)解题注意点： ①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； ②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； ③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 体验　2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________． 20 20　[总运费与总存储费用之和 y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160， 当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 类型1　利用基本不等式变形求最值 【例1】(1)已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值； (2)设a>b>0，求a2＋的最小值． 关键能力·合作探究释疑难 3.2.2　基本不等式的应用 [解]　(1)法一：因为x>0，y>0，＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当＝， 又＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16． 法二：由＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)． 由＝1可知x>1，y>9， 所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3， 即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16． (2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋＝(a2－ab)＋＋ab≥2 ＋2 ＝4， 当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号． 所以a2＋的最小值为4． [母题探究] 若将本例(1)中条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． [解]　法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x． ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18． 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0， 得＝1． ∴x＋y＝(x＋y)＝＋10≥2＋10＝18． 当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立． ∴x＋y的最小值是18． 反思领悟　1．基本不等式常见的变形技巧有配凑系数、变符号、拆补项．常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型． 2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围． 3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 [跟进训练] 1．(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为________． (2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________． 3＋2　 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 (1)3＋2　(2)3　[(1)∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1， ∴＝·1＝·(a＋2b) ＝1＋＋2＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当即时等号成立． ∴的最小值为3＋2． (2)由题意得y＝， ∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．] 类型2　利用基本不等式求参数取值范围 【例2】(1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　) A． B． C．1 D．2 (2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是________________． √ 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 (1)C　(2) 　[(1)由题意可得a＞0， ①当x＞0时，f (x)＝x＋＋2≥2＋2， 当且仅当x＝时取等号； ②当x＜0时，f (x)＝x＋＋2≤－2＋2， 当且仅当x＝－时取等号， 所以解得a＝1．故选C． (2) 对任意x∈N*，y≥3，即≥3恒成立， 即a≥－＋3．设z＝x＋，x∈N*， 则z＝x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝． 所以a≥－，故a的取值范围是．] 反思领悟　含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 [跟进训练] 2．(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． √ 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 (1)B　(2)2　[(1)对任意的正实数x，y，(x＋y)＝1＋a＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4．故选B． (2)依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．] 类型3　利用基本不等式解决实际问题 【例3】【链接教材P59例4】 某地政府准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 [解]　设该批产品的利润为y， 由题意知y＝·Q－2－x ＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x ＝20－－x＝21－，0≤x≤3． ∵21－≤21－2＝17， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17． 即当推广促销费投入1万元时，最大利润为17万元． 【教材原题·P59例4】 例4 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 解：设总造价为y元(y>0)，池底的一边长为x m(x>0)，则另一边长为 m，即 m．由题中条件可得 y＝150×＋2×120×3×＝150×1 600＋720． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 由题意知x>0，则由基本不等式得x＋≥2＝80(当且仅当x＝40时，等号成立)，所以 y≥150×1 600＋720×80＝297 600，且x＝40时，取得等号． 答：当水池设计成底面边长为40 m的正方形时，总造价最低，为 297 600元． 反思领悟　应用基本不等式解决实际问题时的思路和方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)利用基本不等式，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 [跟进训练] 3．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量为1吨时，总成本为142万元． (1)求k的值； (2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 [解]　(1)设除尘后的每日生产总成本为μ万元，由题意，除尘后μ＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8＋kx＝2x2＋(15－3k)x＋120k＋8， 当当日产量为1吨时，总成本为142万元，代入计算得k＝1． (2)由(1)μ＝2x2＋12x＋128， 总利润L＝48x－(2x2＋12x＋128)＝36x－2x2－128(x>0)， 每吨产品的利润为＝36－2≤36－4＝4， 当且仅当x＝，即x＝8时取等号， 所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元． 1．(教材P62习题3.2T4改编)设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3　　　 B．3－2 C．－1　　　 D．3－2 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2．故选D．] 3.2.2　基本不等式的应用 2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　) A．1＋ B．2 C．3 D．4 √ B　[＝＝x＋ ＝x－1＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2． 2　[设两段长分别为x cm，(12－x)cm，则S＝＋＝＝2．当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为 2 cm2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 4．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是_______m3，此时厢高与厢长之和为____m． 16　6　[设车厢的长为b m，高为a m． 由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝， ∴V＝a··2＝2·．设a＋1＝t， 则V＝2≤2＝16， 当且仅当t＝3， 即a＝2，b＝4时等号成立． 即Vmax＝16(m3)，此时a＋b＝6(m)．] 16 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎样理解的？ [提示]　和定积最大、积定和最小． 若x，y为正数，x＋y＝S(和为定值)， 则当x＝y时，积xy取最大值； 若x，y为正数，xy＝P(积为定值)， 则当x＝y时，x＋y取得最小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 2．求解应用题的方法与步骤是什么？ [提示]　①审题；②建模(列式)；③解模；④作答． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C． D．3 课时分层作业(十一)　基本不等式的应用 37 D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知f (x)＝x＋－2(x<0)，则f (x)有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 C　[∵x<0，∴f (x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 39 3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 40 √ 4．已知正数x，y满足＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 41 √ 5．(多选题)已知a>0，b>0，＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 42 CD　[由已知，可得6＝1， ∴2a＋b＝6×(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝， 即a＝b＝18时等号成立，∴9m≤54，即m≤6．故选CD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 43 二、填空题 6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 25　[(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25， 当且仅当1＋x＝1＋y， 即x＝y＝4时取等号， 所以(1＋x)(1＋y)取最大值25．] 25　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 44 7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 45 2　[C＝＝． 因为t>0，所以t＋≥2＝4， 当且仅当t＝，即t＝2时等号成立． 所以C＝＝5，当且仅当t＝， 即t＝2时，C取得最大值．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 47 56　[设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2． 由题意，得y＝(x＋4)－72 ＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)． 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 三、解答题 9．已知a>b>0，求a2＋的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　∵a>b>0， ∴b(a－b)≤＝， ∴a2＋≥a2＋≥16． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 49 当且仅当 即时取等号． 故a2＋的最小值为16． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款 5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 51 [解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－＝118－ ＝118－＝130－ ≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 √ 11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－的上确界为(　　) A．－ B． C． D．－4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 53 A　[因为a，b为正实数，且a＋b＝1， 所以＝(a＋b)＝＋2＝， 当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立， 因此有－≤－， 即－的上确界为－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 12．若a>0，b>0，3a＋b＝1，则的最小值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[∵a>0，b>0，3a＋b＝1， ∴＝＝3＋＋1≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， ∴的最小值为8．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 55 13．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则a＋b的最小值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1＋　[由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，可得＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝＝1＋， 当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立． 所以a＋b的最小值为1＋．] 1＋ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 56 14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大，最大为________万元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5　 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 57 5　2　[∵y＝－x2＋12x－25， ∴年平均利润为＝ ＝－＋12≤－2＋12＝2， 当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 15．某厂家在2025年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2025年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2025年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.2　基本不等式的应用 59 [解]　设2025年该产品利润为y， 由题意，可知当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k，解得k＝2， ∴x＝3－， 又每件产品的销售价格为1.5×元， ∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m ＝－＋29， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 ∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8， 当且仅当＝m＋1， 即m＝3时等号成立， ∴y≤－8＋29＝21， ∴ymax＝21． 故该厂家2025年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 $