3.2.2 基本不等式的应用 课件- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过问题引入回顾基本不等式，以矩形面积、贮水池造价等例题为支架，搭建从基础公式到实际最值问题的学习脉络，帮助学生逐步掌握应用方法。 其亮点在于结合生活实例培养数学眼光，通过“一正二定三相等”条件训练数学思维，课堂总结规范解题步骤强化数学语言。如贮水池造价问题引导学生建立模型，提升应用能力，也为教师提供结构化教学支持。

3.2.2 基本不等式的应用 作者编号：32100 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 学习目标 作者编号：32100 基本不等式：对，，都有 当且仅当 时，等号成立. ———— ≤ 你还记得什么是基本不等式吗？ 基本不等式常用于证明一些不等式以及求某些函数的最大值或最小值. 问题引入 作者编号：32100 例1：用长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大? 解： 设矩形长为 x (0＜x＜ 2a)，则宽为 2a－x， 矩形面积为 S＝x(2a－x)， 且 x＞0，2a－x＞0. 由基本不等式，得 ≤＝a. 上式当且仅当 x＝2a－x，即 x＝a 时，等号成立.由此可知， 当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值 a2. 答： 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为 a2. 提示：先设未知数，表示矩形面积，再借助基本不等式求解. 新课讲授 作者编号：32100 例2 ：某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m，深度为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元? 解：设总造价为 y 元 (y＞0，池底的一边长为 x m (a＞0)， 则另一边长为m，即 m. 由题中条件可得 y ＝150×＋2×120×3×(x＋)＝ 150×1600＋720 (x＋) 由题意知 x＞0，及x＋≥2＝80 (当且仅当 x ＝40时，等号成立)， 所以 y≥150×1600＋720×80＝ 297 600，且x＝40时，取得等号. 答 ：当水池设计成底面边长为 40 m 的正方形时，总造价最低为297 600 元. 新课讲授 作者编号：32100 (1) 和 a＋b 为定值时，积 ab 有最大值 (如例 3)； ab 为定值时，和 a＋b有最小值 (如例 4). (2) 取等号的条件 (当且仅当 a＝b时， ＝). 对于正数 a，b，在运用基本不等式时，应注意： 知识归纳 作者编号：32100 例3：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝b，BC＝a，且＋＝1. 当△ABC 的面积最小时，求 a，b 的值. 解：由题意知 a＞0，b＞0，由基本不等式，得 ＋ ≥2. 因为＋＝1，所以1≥2，故 ab＞8. 于是，S△ABC＝ ab ≥ 4， 当且仅当，即 a＝2，b＝4时，等号成立. 因此，当△ABC的面积最小时，a＝2， b＝4. 整体代换 新课讲授 作者编号：32100 解：因为x>0，y>0，且xy＝4， (1)设x>0，y>0，且xy＝4，则 的最小值是（ ） 练一练 A 作者编号：32100 8 18 法一（“1”的代换） 练一练 作者编号：32100 9 法二（代换消元） 作者编号：32100 例4：如图 ，一份印刷品的排版面积(矩形)为 A，它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少? 解：设纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别是 x，y (x＞0，y＞0)，则 xy＝A. S＝ (x＋2a)(y＋2b) ＝ xy＋2bx ＋2ay＋4ab ≥ xy＋2＋4ab＝ A＋4＋4ab ＝(＋2)2. 当且仅当 2bx＝2ay，即 x＝，y＝时，S 有最小值(＋2)2， 此时纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b. 答 ：当纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b时，纸张的用量最少. 新课讲授 作者编号：32100 针对以下问题，谈谈你的收获： 1.如何理解“和定积最大，积定和最小”？ 2.如何利用基本不等式求解实际问题中的最值问题? 课堂总结 作者编号：32100 1.解决实际问题中的最值问题─般步骤： （1）建立目标函数； （2）利用基本不等式，求函数的最值； （3）得出实际问题的解. 课堂总结 作者编号：32100 2.利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①一正——各项为正数； ②二定——和或积为定值； ③三相等——等号一定能取到. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. 课堂总结 作者编号：32100 1. 若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是( ). A. 4 B. 4 C. 9 D. 18 D 当堂练习 作者编号：32100 2.若直角三角形的面积为50，则两条直角边长的和的最小值是（ ） 解：设直角三角形的两直角边长为a，b，(a>0，b>0)， D 当堂练习 作者编号：32100 3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　) 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30， A 当堂练习 作者编号：32100 4.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　) C 解析： 当堂练习 作者编号：32100 20 5.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2. 当且仅当x＝20时，等号成立， 即当x＝20 m时，面积最大，最大值为400 m2. 400 解析： 当堂练习 作者编号：32100 当且仅当x＝y＝2时取等号.故选A. A.1 B.2 C.4 D.8 所以>0，>0，＋≥2＝2×＝1， 因为x>0，y>0，＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝10＋8＝18， 当且仅当＝， 即x＝12，y＝3时，等号成立，所以x＋2y的最小值为18. (2)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则x＋2y的最小值为________. 故x＋2y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝8＋10＝18， 当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立， 所以x＋2y的最小值为18. ∵x>0，y>0，＋＝1， ∴＝1－>0，x>8，y＝， ∴a＋b≥2＝20，当且仅当a＝b＝10时，等号成立，故选D. A.5 B.10 C.10 D.20 则ab＝50，即ab＝100. A.15 m， m B.15 m， m C.7 m， m D.7 m， m 当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq \f(15,2)时取等号. 所以S＝xy＝eq \f(1,2)x·(2y)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(225,2)， 2＋2eq \r(\f(3a,2b)·\f(b,2a))＝2＋eq \r(3)，当且仅当b＝eq \r(3)a时等号成立， 则a＋b的最小值为2＋. 解析　根据题意，3a＋b＝2ab⇒eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a)＝1， A.eq \r(3) B.2 C.2＋eq \r(3) D.3＋eq \r(3) 则a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))(a＋b)＝2＋eq \f(3a,2b)＋eq \f(b,2a)≥ 即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋40－x,2)))eq \s\up12(2)＝400， 解析　设矩形花园的宽为y，则eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)， $