第2章 常用逻辑用语 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学单元复习讲义以“常用逻辑用语”为核心，通过分类框架系统梳理知识体系，将充分/必要条件的判断与应用、全称/存在量词命题三大类型按“概念-方法-应用”递进组织，用例题解析呈现与集合、不等式等知识的内在联系，突出逻辑推理重难点。 讲义亮点在于“类型化例题+分层测评”设计，如例1结合绝对值不等式判断充分必要条件，例2用集合关系求参数范围，培养逻辑推理与数学抽象素养。章末测评覆盖选择、填空、解答题，基础题巩固定义法，综合题提升转化能力，助力分层教学，教师可精准把握学情，学生自主复习有明确路径。

类型1　充分条件与必要条件的判断 充分条件、必要条件是高考对逻辑部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据定义即可判断．有些题目与不等式集合等内容结合可借助数轴转化为集合间的关系解决．采用数形结合的方法，可使问题直观化、形象化． 【例1】(1)设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的________(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件． (1)A　(2)充要　[(1)当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以q⇏p． (2)当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为y＝x2，图象关于y 轴对称；二次函数y＝x2＋ax(x∈R)图象的对称轴为x＝－，其关于y 轴对称，则－＝0，解得a＝0． 综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件．] 类型2　充分、必要、充要条件的应用 充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类．一类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题．这部分内容也是考查的重点，常与不等式集合、方程交汇命题．对于第一类问题常转化为集合间的关系求解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明． 【例2】已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． [解]　(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以A⊆B，又A≠∅， 则 解得－1≤a≤1，所以a∈[－1，1]． (2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有 即 则方程组无解． 故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件． 类型3　全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的判定与否定．对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论．本知识点常与方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合应用能力． 【例3】(1)下列语句不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．存在一个四边形不是平行四边形 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x∈R，2x＋1是奇数 (2)判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． ①凸多边形的外角和等于360°； ②矩形的对角线不相等； ③若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； ⑤方程3x－2y＝10有整数解． (1)C　[因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．] (2)[解]　①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． ②可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． ③若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． ④含存在量词“有些”，故为存在量词命题． ⑤可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题． 章末综合测评(二)　常用逻辑用语 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是(　　) A．∃x>0，使得x2－x≤0 B．∃x>0，使得x2－x>0 C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0 B　[全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是∃x>0，使得x2－x>0．故选B．] 2．已知p：A＝∅，q：A∩B＝∅，则p是q的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　[由已知A＝∅⇒A∩B＝∅，反之不成立，得p是q的充分且不必要条件，故选A．] 3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　) A．对任意x∈R，都有x2<1 B．不存在x∈R，使得x2<1 C．存在x∈R，使得x2≥1 D．存在x∈R，使得x2<1 D　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1．] 4．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x3－x2＋1<0 B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0 C．∀x∈R，x3－x2＋1>0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0 C　[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C．] 5． “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点”的 (　　) A．充要条件 B．充分且不必要条件 C．必要且不充分条件 D．既不充分又不必要条件 B　[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点”的充分且不必要条件．] 6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分且不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 C　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C．] 7．已知非空集合M、P，则M⊈P的充要条件是(　　) A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈M C．∃x1∈M，x1∈P，且x2∈M，x2∈P D．∃x∈M，x∉P D　[由M⊈P，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M⊈P的充要条件是∃x∈M，x∉P．] 8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(　　) A　 　　　　B　　　　　C　　　　　　D C　[由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分且不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要且不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．a2＞b2的一个充分条件是(　　) A．a＞|b| B．a＜b C．a＝b D．a<b<0 AD　[A中，当a＞|b|时，能推出|a|＞|b|⇔a2＞b2，所以A正确；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a<b<0，能推出|a|＞|b|⇔a2＞b2，故选AD．] 10．下列命题中，是假命题的是(　　) A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1 B．∀x∈R，2x＞x2 C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．∃x∈R，x2＋2≤0 BCD　[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选BCD．] 11．若“x<a”是“x>3或x<－2”的充分且不必要条件，则实数a的值可能为(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 CD　[设A＝{x|x<a}，B＝{x|x>3或x<－2}．由题意知AB，所以a≤－2，结合选项知选CD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________． {a|a≤1}　[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，所以a≤1．] 13．若x>2m－3是－1<x<4的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是________． (－∞，1]　[∵x>2m－3是－1<x<4的必要且不充分条件， ∴(－1，4)(2m－3，＋∞)，∴2m－3≤－1． 解得m≤1．] 14．设p：实数x满足|x－2a|<a，q：实数x满足|x－3|<1．若a＝1，且p和q均为真命题，则实数x的取值范围是________；若a>0且¬p是¬q的充分且不必要条件，则实数a的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分) (2，3)　　[由|x－2a|<a，当a＝1时，|x－2|<1，－1<x－2<1，所以1<x<3．即p为真时，实数x的取值范围是(1，3)．由|x－3|<1得－1<x－3<1，解得2<x<4，即q为真时，实数x的取值范围是(2，4)，故当a＝1，p和q均为真命题时，实数x的取值范围是(2，3)． 由|x－2a|<a，又a>0，得－a<x－2a<a，所以a<x<3a． 若¬p是¬q的充分且不必要条件， 则¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，所以q⇒p，且p⇏q，即q是p的充分且不必要条件． 设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则BA， 又A＝{x|p}＝{x|a<x<3a}，B＝{x|q}＝{x|2<x<4}，所以3a≥4且a≤2，解得≤a≤2， 所以实数a的取值范围是．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立； (2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0． [解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题； 又由于“任意”的否定为“存在一个”， 因此，¬p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立， 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”． (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题； 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，¬p：对任意一个x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． 16．(15分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0； (2)p：所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (3)p：有的三角形是等边三角形； (4)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (5)p：有一个素数含三个正因数． [解]　(1)¬p：任意x∈R，x2－x＋1>0．真命题． (2)¬p：存在一个圆，它的圆心到其切线的距离不等于半径．假命题． (3)¬p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题． (4)¬p：存在x∈Z，使x2的个位数字等于3．假命题． (5)¬p：所有的素数都不含三个正因数．真命题． 17．(15分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件． (1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0； (2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B． [解]　(1)因为a，b∈R，a＋b＞0， 所以a，b至少有一个大于0，所以p⇏q． 反之，若ab＞0，可推出a，b同号， 但推不出a＋b＞0，即q⇏p． 综上所述，p是q的既不充分又不必要条件． (2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q． 而当A∪B＝B时，A⊆B，即q⇏p， 所以p为q的充分且不必要条件． 18．(17分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅． (1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围． [解]　(1)∵x∈A是x∈B的充分条件， ∴A⊆B，∴ 解得a的取值范围为≤a≤2． (2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，∴a＞0． 若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2， ∴a的取值范围为0＜a≤或a≥4． 19．(17分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解]　①当a＝0时显然符合题意． ②当a≠0时显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0． 若方程有两个负的实根，则必须有 解得0<a≤1． 综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1； 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件为a≤1． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $