7.3.1 三角函数的周期性-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦三角函数的周期性核心知识点，系统讲解周期函数定义、最小正周期概念，以及y=A sin(ωx+φ)、y=A cos(ωx+φ)、y=A tan(ωx+φ)的周期公式。承接三角函数定义与图象，为后续单调性等性质学习奠基，构建完整知识支架。 资料以单摆运动等生活实例引入周期性，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过定义辨析、公式推导等环节训练逻辑推理，提升数学思维能力。设置多样题型与分层作业，助力用数学语言表达问题，课中辅助教师系统授课，课后便于学生巩固查漏，如周期公式应用例题及跟进训练有效强化知识掌握。

7.3　三角函数的图象和性质 7.3.1　三角函数的周期性 学习任务 核心素养 1．理解周期函数的定义．(难点) 2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期．(重点) 通过学习本节内容，提升数学运算和逻辑推理核心素养． 观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？ 知识点1　周期函数的定义 (1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期) (3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π． 1．单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由． [提示]　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin (2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性． 2．所有的周期函数都有最小正周期吗？ [提示]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)周期函数都一定有最小正周期． (　　) (2)周期函数的周期只有唯一一个． (　　) (3)周期函数的周期可以有无数多个． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为． 3.6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？ [提示]　是． 2．函数y＝sin 的最小正周期是________． 2　[T＝＝2．] 类型1　求三角函数的周期 【例1】求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝2sin ； (2)f(x)＝2tan ； (3)y＝|sin x|； (4)f(x)＝－2cos (a≠0)． [解]　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π． (2)T＝＝，∴最小正周期为． (3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π． 验证：∵|sin (x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π． (4)T＝＝，∴最小正周期为． 　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝． [跟进训练] 1．求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝－2cos ； (2)f(x)＝tan ； (3)f(x)＝|cos x|； (4)f(x)＝3sin ． [解]　(1)T＝＝，∴函数f(x)＝－2cos 的最小正周期为． (2)T＝，∴函数f(x)＝tan 的最小正周期为． (3)T＝π，∴f(x)＝|cos x|的最小正周期为π． (4)T＝＝8π，∴f(x)＝3sin 的最小正周期为8π． 类型2　周期性的应用 【例2】【链接教材P195例1】 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． [解]　∵f(x)的最小正周期是π， ∴f＝f＝f． 又∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝f＝sin ＝，∴f＝． [母题探究] (变结论)本例条件不变，求f的值． [解]　∵f(x)的最小正周期为π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝f＝sin ＝． ∴f＝． 【教材原题·P195例1】 例1已知作周期性运动的钟摆的高度h(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图7-3-1所示． (1)求该函数的周期； (2)求t＝10 s时钟摆的高度． 解：(1)由图象可知，该函数的周期为1.5 s． (2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，可知 f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20． 所以t＝10 s时钟摆的高度为20 mm． 　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解． [跟进训练] 2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________． －6　[因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝6，则f(1)＝－6． 因为函数f(x)是以4为周期的奇函数， 所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)， 所以f(2)＝f(－2)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6．] 1．函数y＝3sin 的最小正周期为(　　) A． B． C．π　　　　 D．2π C　[T＝＝π．] 2．函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　) A．2π B．4π C． D．π A　[T＝＝2π．] 3．(教材P196练习T3改编)若函数y＝cos (ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________． 2　[T＝＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．] 4．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________． 2　[f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．] 5．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，则f的值为________． －1　[∵f(x)是以为周期的奇函数， ∴f＝－f＝－f＝－f ＝f＝f＝－f， 又∵f＝1，∴f＝－f＝－1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．求三角函数周期的方法是什么？ [提示]　(1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，T＝． (3)观察法，观察函数的图象． 2．若函数f(x＋a)＝(a≠0)，则函数的周期是多少？ [提示]　∵f((x＋a)＋a)＝＝f(x)， ∴f(x＋2a)＝f(x)． ∴函数的周期为2a． 课时分层作业(三十五)　三角函数的周期性 一、选择题 1．(多选题)下列函数中，周期为的是(　　) A．y＝sin 2x B．y＝cos 4x C．y＝tan 2x D．y＝|sin 2x| BCD　[A中周期为T＝＝π，B，C，D周期均为．] 2．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则f的值为(　　) A． B． C．－ D．－ D　[函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝π． 所以f＝sin ＝sin ＝－sin ＝－．] 3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 B　[∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， ∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1．] 4．函数y＝sin 的周期不大于4，则正整数k的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[由T＝得T＝＝． ∵T≤4，∴≤4，∴k≥π， ∴正整数k的最小值为4．] 5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝(　　) A．－ B． C． D．－ A　[∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x， ∴f＝f＝f＝cos ＝cos ＝－cos ＝－．] 二、填空题 6．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式________． f(x)＝tan x(答案不唯一)　[f(x)＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域为R，是奇函数，也是周期函数，周期T＝π，符合题意．] 7．若f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为，则g(x)＝tan (ω>0)的最小正周期为________． 　[由正弦型函数的周期公式可得＝，解得ω＝8． 所以g(x)的最小正周期为＝．] 8．若函数f(x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是________． 6　[T＝，又T∈(1，3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3，4，5，6，∴ω的最大值为6．] 三、解答题 9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数． (1)求f(4)的值； (2)若－2＜x≤－1时，f(x)＝sin ＋1，求2＜x≤3时，f(x)的解析式． [解]　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0． (2)设2＜x≤3，则－2＜－4＋x≤－1， ∴f(－4＋x)＝sin ＋1＝sin ＋1， ∴f(x)＝f(－4＋x)＝sin ＋1． 10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)当t＝11 s时，单摆中小球相对于静止位置的位移是多少？ [解]　(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0.4 s． (2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动． (3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm． 11．(多选题)下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是(　　) A　　　　　　　　 　　B C　　　　　　　　 　　D ABC　[根据周期函数图象特征可知A，B，C都是周期函数，D不是周期函数．] 12．已知函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝(　　) A．1 B．－1 C． － D． D　[f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0． 原式＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝．故选D．] 13．设函数f(x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sin α的值为________． ±　[∵f(x)的最小正周期为，ω>0， ∴ω＝＝4． ∴f(x)＝3sin ． 由f＝3sin ＝3cos α＝， ∴cos α＝．∴sin α＝±＝±．] 14．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且x∈时，f(x)＝sinx，则f＝________，方程f(x)＝0的解集为________． －　[定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，最小正周期是π， 且x∈时f(x)＝sin x， 故x∈时，f(x)＝sin x． 则f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－． ∵f＝f＝f＝－f， ∴f＝0， ∴f＝0，k∈Z． 故f(x)＝(k∈Z)， 如图， 故f(x)＝0的解集为．] 15．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)． (1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值． [解]　(1)证明：∵f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期， ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－＝－＝． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $