7.3.1 三角函数的周期性 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

　　　　　 7.3　三角函数的图象和性质 7.3.1　三角函数的周期性 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 三角函数是一类最典型的周期函数,函数的周期性在研究函数性质中占有主要地位,掌握求函数周期性的方法是本节的重点,利用函数的周期性求值是本节的难点. 1.周期函数的定义 设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么,这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2π. 4.正切函数的周期 正切函数是周期函数,最小正周期是π. 5.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期 一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=. |微|点|助|解| (1)周期函数的定义是对定义域内的每一个x来说的,只有个别的x的值满足f(x+T)=f(x)不能说T是f(x)的周期. (2)从等式“f(x+T)=f(x)”来看,应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期.例如,f(2x+T)=f(2x)恒成立时,T不是f(2x)的周期. (3)如果T是函数f(x)的周期,那么kT(k∈Z且k≠0)也一定是函数f(x)的周期. 基础落实训练 1.下列函数中,周期为的是 (　 ) A.y=sin　　　　　　　 B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos(-4x) 答案:D 2.若函数y=f(x)的周期是4,且f(2)=0,则f(22)=　　　　.  答案:0 3.由于sin=sin,那么是不是函数y=sin x的一个周期? 解:在函数周期性的定义中,要求对定义域中的每一个x值都有f(x+T)=f(x)成立.对于个别的x0,虽有f(x0+T)=f(x0),但不能说T是函数f(x)的周期.如当x=0时,sin=sin=1,而sin 0=0,故sin≠sin 0,所以不是函数y=sin x的一个周期. 题型(一)　求三角函数的周期 [例1]　求下列函数的最小正周期. (1)y=3cos(x∈R); (2)y=2sin(x∈R); (3)y=2sin(x∈R). [解]　(1)ω=,则T==8π. (2)ω=-2,则T==π. (3)ω=3,则T==. |思|维|建|模| 求三角函数最小正周期的常用方法 (1)公式法:将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T=求得. (2)定义法:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么非零常数T叫作这个函数的周期. [针对训练] 1.(多选)下列函数中,最小正周期为2π的是 (　 ) A.y=sin 2x B.y=cosx C.y= D.y=cos 解析:选CD　y=sin 2x的最小正周期T==π,A不正确;y=cosx的最小正周期T==4π,B不正确;y=的最小正周期T==2π,C正确;y=cos的最小正周期T==2π,D正确.故选C、D. 2.(多选)若函数f(x)=sin ωx的最小正周期为4π,则ω的值可能是 (　 ) A.2 B. C.- D.-2 解析:选BC　因为函数f(x)=sin ωx的最小正周期为4π,所以|ω|===,ω=±. 题型(二)　利用周期求函数值 [例2]　若f(x)是以为周期的奇函数,且f=1,求f的值. [解]　∵f(x)是以为周期的奇函数, ∴f=-f=-f =-f=f =f=-f. 又∵f=1,∴f=-f=-1. |思|维|建|模| (1)利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值. (2)利用函数性质,将所求转化为可求的x的函数值,从而可解决求值问题. 　　[针对训练] 3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,求f的值. 解:∵f(x)是周期函数,且最小正周期为π, ∴f=f=f. ∵f(x)是偶函数,∴f=f. ∵当x∈时,f(x)=sin x,∴f=sin=.∴f=f=f=. 4.若将第3题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何? 解:f=f=f=f =f=-f=-sin=-. 题型(三)　周期函数在实际问题中的应用 [例3]　 水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升? [解]　因为1小时=60分钟=(12×5)分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈,最多盛水16×10=160(升).所以水车1小时内最多盛水160×12=1 920(升). [针对训练] 5.造父变星是一类高光度周期性脉动变星,其亮度随时间呈周期性变化.如图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图,由图可知此造父变星亮度变化的周期是 (　 ) A.5.5天 B.7天 C.14天 D.20天 解析:选B　由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天等级相同,所以此造父变星亮度变化的周期是7天. 6.如图所示的弹簧振子在A,B之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M,N两点,经历的时间为t1=1 s,过N点后,再经过t2=1 s第一次反向通过N点,振子在这2 s内共通过了8 cm的路程,则振子的振动周期T=　　　　s.  解析:简谐运动的振子,先后以同样大小的速度通过M,N两点,则可判定这两点关于平衡位置O点对称,所以振子由M到O的时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5 s,因过N点后再经过t2=1 s振子以方向相反、大小相同的速度再次通过N点,所以振子从O点经过N点到最大位置,再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2 s,为半个周期.因此,振子振动的周期T=2×2=4 s. 答案:4 [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数f(x)=tan,x∈R的最小正周期为 (　 ) A. B.π C.2π D.4 解析:选C　∵ω=,∴T==2π. 2.已知函数y=f(x),其中f(x)=cos,则下列命题正确的是 (　 ) A.f(x)是最小正周期为1的函数 B.f(x)是最小正周期为2的函数 C.f(x)是最小正周期为的函数 D.f(x)是最小正周期为π的函数 解析:选B　因为f(x)=cos=sin πx,所以函数f(x)的最小正周期为=2. 3.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是 (　 ) A.- B. C. D.- 解析:选B　因为最小正周期为π,所以=π,即ω=2.所以f(x)=sin. 所以f=sin=sin=. 4.已知函数f(x)=sin,g(x)=sin的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)= (　 ) A.- B.- C. D. 解析:选B　因为f(x)=sin的最小正周期T1==,g(x)=sin的最小正周期T2=, 所以sin(T1+T2)=sin=cos=-. 5.“函数f(x)=sin ωx(x,ω∈R,且ω≠0)的最小正周期为2”是“ω=π”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　当函数f(x)=sin ωx(x,ω∈R,且ω≠0)的最小正周期为2时,T==2,则ω=±π,不能得出ω=π,故充分性不成立.当ω=π时,f(x)=sin ωx的最小正周期为T==2,故必要性成立. 综上,“函数f(x)=sin ωx(x,ω∈R,且ω≠0)的最小正周期为2”是“ω=π”的必要且不充分条件. 6.已知函数f(x)的周期为4π,且f(ωx)=sin(ω>0),则下列函数值与f相等的是 (　 ) A.f B.f C.f(π) D.f 解析:选C　设ωx=t,∴x=. ∴f(t)=sin,即f(x)=sin. 由题意,得4π=2πω,解得ω=2, 即f(x)=sin. ∴f=. ∵f=,f=sin≠,f(π)=, f=1,∴f=f(π). 7.(5分)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)和函数f(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期之和为π,则ω=　 　　.  解析:∵函数f(x)=sin ωx的周期T1=,函数f(x)=tan ωx的周期T2=, ∴T1+T2==π.∴ω=3. 答案:3 8.(5分)若函数y=sin的最小正周期不大于4,则正整数k的最小值为　　　　.  解析:由题意,得函数y=sin的最小正周期为T==.又函数y=sin的最小正周期不大于4,所以≤4,则k≥π. 所以正整数k的最小值为4. 答案:4 9.(5分)已知函数f(n)=sin(n∈N*),则f(1)+f(2)+…+f(2 022)=　　　　.  解析:∵f(n)=sin(n∈N*), ∴f(n+4)=sin=sin=f(n),即函数周期是4.∴f(1)+f(2)+…+f(2 022)=505×+sin+sin π=1. 答案:1 10.(5分)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)=　　　　.(注:f(x)不是常函数)  ①f(0)=;②f(x+2π)=f(x). 解析:由f(x+2π)=f(x)知函数的一个周期是2π,则f(x)=sin x+满足条件②. ∵f(0)=sin 0+=, ∴f(x)=sin x+满足条件①. 答案:sin x+(答案不唯一) 11.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则y=2cos的最小正周期是　　　　.  解析:∵函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,解得a=. 又f(x)=f(-x),即ax2+bx+3a+b=ax2-bx+3a+b在上恒成立,整理得bx=0,∴b=0. ∴y=2cos=2cos. ∴最小正周期T==6π. 答案:6π 12.(10分)求下列函数的周期: (1)y=sin;(3分) (2)y=cos(-4x);(3分) (3)y=3cos.(4分) 解:(1)因为正弦函数y=sin x的周期是2π,所以所求函数的周期是T==3π. (2)因为余弦函数y=cos x的周期是2π,所以所求函数的周期是T==. (3)因为余弦函数y=cos x的周期是2π,所以所求函数的周期是T==6π. 13.(10分)根据图中标出的尺度分别估算下列心电图的周期和心脏每分钟搏动的次数.(其中横轴的单位是2毫秒,1秒=1 000毫秒;纵轴的单位是1毫伏) 解:观察可知,标数在500和2 500之间的波峰,及在500和2 500之间的距离相近,则两个波峰差为2 500-500=2 000.由题图可知,期间共有5个周期.又因为横轴的单位是2毫秒,所以每个周期为T==800毫秒=0.8秒.故每分钟搏动的次数为=75. 14.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=a(a≠0,为常数)对称,证明:f(x)是周期函数. 证明:∵f(-x)=-f(x),且f(a+x)=f(a-x), ∴f(2a+x)=f[a+(a+x)]=f[a-(a+x)]=f(-x)=-f(x).从而f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x).∴f(x)是周期函数,且周期为4a. 15.(10分)设函数y=10tan,k∈N*.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少有两次失去意义,求k的最小正整数值. 解:由题意可得,当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少包含函数的2个周期,故函数的最小正周期T满足T≤,即≤, 解得k≥,k∈N*.故k的最小正整数值为17. 学科网（北京）股份有限公司 $$