7.2.3 第1课时 三角函数的诱导公式(一～四)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学三角函数诱导公式（一～四）核心知识点，通过单位圆中角的终边关系（终边相同、关于x轴/y轴/原点对称）推导公式，构建“定义理解-公式推导-应用实践”学习支架，涵盖给角求值、化简、给值求值等应用类型。 资料以问题链驱动探究（如“终边关系如何影响函数值”），结合例题（如例1求sin(-660°)、例2化简三角函数式）和母题变式，培养数学运算（多步角转化）与逻辑推理（公式变形）素养。课中辅助教师分层教学，课后通过跟进训练与作业帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

7.2.3　三角函数的诱导公式 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四) 学习任务 核心素养 1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？ 知识点1　诱导公式(一) 终边相同的角的诱导公式(公式一)： sin (α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)； cos (α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)； tan (α＋2kπ)＝tan α(k∈Z)． 1．终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？ [提示]　相等． 1．sin ＝________． 　[＝sin ＝sin ．] 知识点2　诱导公式(二) 终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)： sin (－α)＝－sin α； cos (－α)＝cos α； tan (－α)＝－tan α． 2．角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？ [提示]　关于x轴对称． 2．tan ＝________． 1　[＝－tan ＝－tan ＝＝tan ＝1．] 知识点3　诱导公式(三) 终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)： sin (π－α)＝sin α； cos (π－α)＝－cos α； tan (π－α)＝－tan α． 3．π－α与α的终边什么关系？ [提示]　关于y轴对称． 3．cos ＝________． －　[＝cos ＝－cos ．] 知识点4　诱导公式(四) 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)： sin (π＋α)＝－sin α； cos (π＋α)＝－cos α； tan (π＋α)＝tan α． 4．π＋α与α的终边有什么关系？ [提示]　终边在同一条直线上，且关于原点对称． 4．cos ＝________． －　[＝cos ＝－cos ．] 类型1　给角求值 【例1】【链接教材P189例9】 求下列各三角函数式的值： (1)sin (－660°)；(2)cos ； (3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin ． [解]　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°， 所以sin (－660°)＝sin 60°＝． (2)因为＝6π＋， 所以cos ＝cos ＝cos ＝－cos ． (3)原式＝2cos (720°－60°)＋sin (720°－90°) ＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0． (4)tan ·sin ＝tan ·sin ＝tan ·sin ． 【教材原题·P189例9】 例9求值： (1)sin ；(2)cos ； (3)tan (－1 560°)． 解：(1)sin ＝sin ＝－sin ． (2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ． (3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°) ＝－tan 120°＝－tan (180°－60°) ＝tan 60°＝． 　利用诱导公式求任意角的三角函数值 [跟进训练] 1．求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°；(2)cos ；(3)tan (－945°)． [解]　(1)sin 1 320°＝sin (4×360°－120°) ＝sin (－120°)＝－sin (180°－60°) ＝－sin 60°＝－． (2)cos ＝cos ＝cos ＝－cos ． (3)tan (－945°)＝－tan 945° ＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225° ＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1． 类型2　化简求值 【例2】化简下列各式． (1)； (2)． [解]　(1)原式＝＝1． (2)原式＝ ＝． 　三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝． [跟进训练] 2．化简：(1)； (2)． [解]　(1)＝1． (2)原式＝ ＝＝－1． 类型3　给值求值问题 【例3】求值． (1)已知sin ＝－，求sin 的值； (2)已知cos ＝，求cos 的值． [解]　(1)∵＝2π， ∴sin ＝sin ＝sin ＝－. (2)∵＝π， ∴cos ＝cos ＝－cos ＝－. [母题探究] 1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin ＝”，求sin 的值． [解]　∵＝6π， ∴sin ＝sin ＝sin ＝. 2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos 的值． [解]　∵＝－π， ∴cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 　解决给值求值问题的技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟进训练] 3．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　) A．　　　　　　 B． C． D．－ A　[∵sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m， ∴sin (180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝＝.故选A.] 4．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． [解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴sin (α－75°)＝－ ＝－ ＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝. 1．sin 的值为(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． A　[sin ＝－sin ＝－.] 2．已知sin (θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则角θ的终边落在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由sin (θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos (θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，由可知θ是第二象限角．] 3．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝______． 4　[原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos (0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4.] 4．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值为________． 　[∵sin (π＋α)＝，∴sin α＝－， 又α是第四象限角， ∴cos α＝＝＝， ∴cos(α－2π)＝cos α＝.] 5．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是______． －　[由题知，sin α＝，所以sin (4π－α)＝sin [2π＋(2π－α)]＝sin (2π－α)＝－sin α＝－.] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．诱导公式中角α只能是锐角吗？ [提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠π＋，∈Z. 2．诱导公式一～四改变函数的名称吗？作用分别是什么？ [提示]　诱导公式一～四不改变函数名称． 各诱导公式的作用分别为： 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将角转化为0～之间的角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 课时分层作业(三十三)　三角函数的诱导公式(一～四) 一、选择题 1．sin 600°＋tan 240°的值是(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． D　[sin 600°＋tan 240°＝sin (360°＋180°＋60°)＋tan (180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－＝.] 2．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan (π＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　[因为α为第二象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以tan (π＋α)＝tan α＝＝－.] 3．已知sin ＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ C　[sin ＝sin ＝sin ＝.] 4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　　) A． B．－ C． D．－ B　[由题意得tan 600°＝－，又因为tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝， 所以－＝，所以a＝－.] 5．(多选题)现有下列三角函数式，其中值与sin 的值相同的是(　　) A．sin (n∈Z) B．sin (n∈Z) C．sin (n∈Z) D．sin (n∈Z) BD　[对于A，sin ＝ 对于B，sin ＝sin ＝(n∈Z)， 对于C，sin ＝sin ＝(n∈Z)， 对于D，sin ＝sin ＝(n∈Z)． 又sin ＝，故BD中式子的值与sin 的值相同．] 二、填空题 6．＝________． sin 2－cos 2　[ ＝＝|sin 2－cos 2|， ∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0， ∴原式＝sin 2－cos 2．] 7．已知cos (508°－α)＝，则cos (212°＋α)＝________． 　[由于cos (508°－α)＝cos (360°＋148°－α)＝cos (148°－α)＝， 所以cos (212°＋α)＝cos (360°＋α－148°)＝cos (α－148°)＝cos (148°－α)＝．] 8．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，则tan α＝________，＝________． －　－　[因为sin (α＋π)＝－sin α＝且sin αcos α<0， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－， 所以．] 三、解答题 9．若cos (α－π)＝－， 求的值． [解]　原式＝ ＝－tan α． ∵cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时， cos α＝，sin α＝， ∴tanα＝，∴原式＝－． 当α为第四象限角时， cos α＝，sin α＝－， ∴tanα＝，∴原式＝． 综上，原式＝±． 10．已知，求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值． [解]　由， 得tan θ＝2＋2， 所以tan θ＝， 故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]· ＝(cos2θ＋sinθcos θ＋2sin2θ)· ＝1＋tan θ＋2tan2θ ＝1＋． 11．(多选题)在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是(　　) A．sin(A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C BC　[A中，sin (A＋B)＋sin C＝2sin C， B中，cos (A＋B)＋cos C＝cos (π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0， C中，sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0， D中，cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C＝cos [2(π－C)]＋cos 2C＝cos (2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．] 12．已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　) A．－1 B． C．－ D．1 D　[函数的定义域为{x|x≠－1且x≠a}． 因为f(x)＝为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1， 所以f(x)＝， 因为f(－x)＝＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，所以a＝1．] 13．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________． －1　[∵cos (π－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos (π－θ)＝0， 即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0． ∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1．] 14．已知α∈(0，π)，若cos (－α)－sin (－α)＝－，则sin αcos α＝________，tan α＝________． －　－　[∵cos (－α)－sin (－α)＝cos α＋sin α＝，① ∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－<0，∴sin αcos α＝－． 又∵sin α>0， ∴cos α<0， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∴sin α－cos α＝，② 由①②得sin α＝，cos α＝－， ∴tan α＝－．] 15．已知f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． [解]　(1)f(α)＝＝－cos α． (2)∵sin (α－π)＝－sin α＝， ∴sin α＝－． 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，∴f(α)＝． (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f＝－cos ＝－cos ＝－cos ． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $