7.2.3 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学三角函数诱导公式(五～六)，通过单位圆中角的终边对称关系推导公式五（终边关于y=x对称）和公式六（π/2+α型），承接诱导公式一～四，完善任意角到锐角的转化体系，为三角函数求值、化简、证明提供关键支架。 资料以数学眼光观察单位圆对称揭示公式本质，通过“思考辨析”“母题探究”培养逻辑推理，例题规范角关系转化的数学表达。课中助教师分层教学，课后分层作业与跟进训练帮学生巩固应用，有效查漏补缺。

第2课时　三角函数的诱导公式(五～六) 学习任务 核心素养 1．能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难点) 2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式的求值、化简、证明等问题．(重点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养． 2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 利用诱导公式一～四，将任意范围内的角转化到[0，2π)后，又如何将间的角转化到呢？ 知识点1　诱导公式(五) 终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)： sin ＝cos α； cos ＝sin α． 1．角与角的三角函数值有什么关系？ [提示]　sin ＝cos ＝，cos ＝sin ＝． 2．角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？ [提示]　关于直线y＝x对称． 1．若cos (α＋π)＝－，则sin ＝________． 　[由条件知，cos α＝，所以sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝cos α＝．] 知识点2　诱导公式(六) ＋α型诱导公式(公式六)： sin ＝cos α；cos ＝－sin α． 3．如何由公式三及公式五推导公式六？ [提示]　sin ＝sin ＝sin ＝cos α． cos ＝cos ＝－cos ＝－sin α． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角． (　　) (2)sin (90°＋α)＝－cos α． (　　) (3)cos ＝－sin α． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　利用诱导公式给值求值 【例1】【链接教材P191例12】 (1)已知sin ＝，则cos 的值是________． (2)已知sin ＝，则cos 的值是________． (3)已知sin (π＋A)＝－，则cos 的值是______． (1)　(2)－　(3)－　[(1)∵＝， ∴＋α＝， ∴cos ＝cos ＝sin ＝． (2)∵sin ＝， ∴sin ＝－． 又∵＝， ∴cos ＝cos ＝sin ＝－． (3)∵sin (π＋A)＝－sin A＝－， ∴cos ＝cos ＝－cos ＝－sin A＝－．] [母题探究] 1．(变条件)本例(1)中条件变为“sin ＝”，求cos 的值． [解]　∵＝， ∴cos ＝cos ＝－sin ＝－． 2．(变结论)本例(1)条件不变，求cos 的值． [解]　cos ＝cos ＝－sin ＝－． 【教材原题·P191例12】 例12已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，求cos (15°－α)的值． 分析：注意到(15°－α)＋(75°＋α)＝90°，因此，可将cos (15°－α)转化为sin (75°＋α)． 解：由－180°<α<－90°，得 －105°<75°＋α<－15°， 则sin (75°＋α)<0． 又cos (75°＋α)＝， 所以cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α) ＝－＝－＝－． 　1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值． 2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α，＋α；＋α，－α；＋α，－α等．常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，－θ等． [跟进训练] 1．已知cos＝，求sin 的值． [解]　∵α＋＝， ∴sin ＝sin ＝cos ＝． 类型2　利用诱导公式化简求值 【例2】已知α是第三象限角，且 f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若cos ＝，求f(α)． [解]　(1)f(α)＝ ＝＝－cos α． (2)因为cos ＝， 所以sin α＝－，又α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－， 所以f(α)＝－cos α＝． 　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于kπ±α(k∈Z)和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．即“奇变偶不变，符号看象限”． [跟进训练] 2．已知cos ＝，求的值． [解]　原式＝＝－sin α－sin α＝－2sin α． 又cos ＝，所以－sin α＝． 所以原式＝－2sin α＝． 类型3　诱导公式在三角形中的应用 【例3】在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状． [解]　∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B． 又∵sin ＝sin ， ∴sin ＝sin ， ∴sin ＝sin ，∴cos C＝cos B． 又B，C为△ABC的内角，∴C＝B， ∴△ABC为等腰三角形． 　1．涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解． 2．在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin ． [跟进训练] 3．已知f(α)＝． (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值． [解]　(1)f(α)＝＝cos α． (2)因为f(A)＝cos A＝， 又A为△ABC的内角， 所以得sin A＝＝， 所以tanA＝＝， 所以tan A－sin A＝＝． 1．若sin ＝，则cos α＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． C　[sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝．] 2．(教材P193习题7.2T15改编)已知tan θ＝2，则等于(　　) A．2　　　B．－2 C．0　　　D． B　[＝＝＝＝－2．] 3．若cos (π＋α)＝，则sin ＝________． －　[∵cos (π＋α)＝－cos α＝， ∴cos α＝－， ∴sin ＝cos α＝－．] 4．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos ＝________． 　[因为cos α＝，且α为第四象限角， 所以sin α＝－＝－， 所以cos＝－sin α＝．] 5．化简：sin (π－α)sin (π＋α)－sin sin ＝________． －1　[sin (π－α)sin (π＋α)－sin sin ＝－sin2α－cos2α＝－1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？ [提示]　P2(y，x)． 2．用诱导公式化简求值的方法是什么？ [提示]　一般遵循诱导公式先行的原则．即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，保证三角函数名最少． 3．你认为本节课常见的变化技巧有哪些？ [提示]　＋α＝⇔＝； ＋α＝⇔＝； ＝等． 课时分层作业(三十四)　三角函数的诱导公式(五～六) 一、选择题 1．若α∈，则＝(　　) A．sinα B．－sin α C．cos α D．－cos α B　[∵sin ＝－cos α， 又∵α∈，∴＝＝|sinα|＝－sin α．] 2．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为(　　) A．－ B．－ C． D． B　[由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，得sin α＝，cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－．] 3．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A． B． C．－ D．－ B　[sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°) ＝sin 31°＝＝．] 4．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　) A．89 B．90 C． D．45 C　[∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝．] 5．已知α∈，cos＝，则tan (2 025 π－α)＝(　　) A． B．－ C．或－ D．或－ B　[由cos ＝，得sin α＝－． 又0<α<，∴π<α<， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝， ∴tan (2 025π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－．] 二、填空题 6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________． 1　[∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°， ∴sin(45°－A)＝cos (45°＋A)， ∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)， ∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1．] 7．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________． －sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos (－α)＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α．] 8．在△ABC中，sin＝3sin (π－A)，且cos A＝－cos (π－B)，则C＝________． 　[由已知得cos A＝3sin A，∴tan A＝， 又∵A∈(0，π)，∴A＝． 又cos A＝－(－cos B)＝cos B， 由cos A＝知cos B＝，∴B＝， ∴C＝π－(A＋B)＝．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)化简 ． [解]　 原式 ＝ ＝ ＝－＝－tan α． 10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求： 的值． [解]　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，且sin α是方程5x2－7x－6＝0的根， 所以sin α＝－， 又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－． 所以tanα＝． 原式＝＝tan α＝． 11．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于(　　) A．2 B．－2 C．2－ D．－2 C　[由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos α，2sin α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－．故选C． ] 12．已知cos ＝－，α是第二象限角，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　[∵cos ＝－sin α＝－，∴sin α＝． 又α是第二象限角， ∴cos α＝－， ∴sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝－．] 13．已知＝2，则sin (θ－5π)·sin ＝________________，＝______． 　[∵＝2，sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3． ∴sin(θ－5π)·sin＝sin θcos θ＝ ＝， ＝．] 14．已知sin α＋cos α＝－，则tan 的值为________． －2　[因为sin α＋cos α＝－， 所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝． 所以tan ＝ ＝ ＝－ ＝－＝－2．] 15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin (3π－α)＝－cos 与cos (－α)＝－sin 同时成立？ [解]　存在．题干中的两个等式可化为 sin α＝sin β，cos α＝cos β， 两式两边分别平方相加得： sin2α＋3cos2α＝2， 得2cos2α＝1， 所以cos2α＝． 又因为α∈， 所以α＝或－． 当α＝时，由cosα＝cos β，得cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝； 当α＝－时，由sin α＝sin β，得sin β＝－， 而β∈(0，π)，所以无解． 综上得，存在α＝，β＝使两等式同时成立． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $