7.2.3三角函数的诱导公式（第1课时 诱导公式一～四）（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

7.2.3三角函数的诱导公式 第1课时诱导公式一~四 苏教版2019高一数学（必修一）第七章 三角函数 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 4.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 情景导入 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有 sin(α +2kπ) = sin α (k∈Z), cos(α +2kπ) = cos α (k∈Z),(公式一） tan(α +2kπ) = tan α (k∈Z). 除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角,它们的终边具有另外的某种特殊关系,如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等.那么它们的三角函数值有何关系呢? 如果角α的终边与角β的终边关于x轴对称,那么α与β的三角函数值之间有什么关系? 新知探究 设角α ，β的终边分别与单位圆交于点P，则点P和点关于x轴对称(图7-2-16) 又根据三角函数的定义,点P的坐标是(cos α ，sin α),点P的坐标是(cos β ，sinβ),则有 sinβ=- sin α,cosβ= cos a. 由同角三角函数关系得 tanβ ===-tan α. 特别地,角- α与角α的终边关于x轴对称,则有 sin(- α)=- sin α ， cos(- α)=cos α ， (公式二) tan(- α)=-tan α. 在平面直角坐标系内，点()与点()关于 x轴对称的充要条件是 ， . 由公式二，你可得到三角函数的什么性质? 若角α的终边与角β的终边关于y轴对称(图7-2-17). 同理可得 sin β = sin α,cosβ=-cos α ，tanβ=- tan α.特别地,角π- α与角α的终边关于y轴对称,则有 sin(π- α) =sin α, cos(π- α) =-cos α, (公式三) tan(π- α)=-tan α. 在平面直角坐标系内，点()与点()关于 x轴对称的充要条件是 ， . 若角α的终边与角β的终边关于原点O对称(图7-2-18).同理可得 sinβ=- sin α ，cosβ=-cos α, tanβ = tan α 特别地,角π+ α与角α的终边关于原点0对称,则有 sin(π+ α) =-sin α ， cos(π+ α) =-cos α, (公式四) tan(π+ α ) = tan α. 在平面直角坐标系内，点()与点()关于 x轴对称的充要条件是 ， . 思考 由公式二、三,你能推导出公式四吗?根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗? 公式二、三推导公式四, 例如，sin(π+α)=sin[π-(-α)]=sin(-α)=-Sinα. 公式二、四推导公式三, 例如，sin(π-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-(-sinα)=sinα. 公式三、四推导公式二, 例如，sin(-α)=sin[π-(π+α)]=sin(π+α)=-sinα. 课本例题 例9 求值: (1) sin; (2)cos (3)tan(-1560°) 解：（1）sin =sin（Π+ ）=-sin （2）cos （2Π+ ）=cos （Π - ）=-cos (3)tan(-1560°) =-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°) = - tan 120°=-tan(180°-60°)= tan 60°=. 例9表明,利用上面四个公式可将关于任意角的三角函数转化为区间[0, ]内的角的三角函数. 例10 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) = 1-cosx; (2) g(x) = x- sinx. 解 (1) 因为函数f(x)的定义域是R,且 f(-x)=1-cos(-x)=1-cosr = f(x)， 所以 f(x) 是偶函数. (2)因为函数g(x)的定义域是R,且 g(-x)=-x-sin(-x)=-x-(-sinx)=-(x-sinx)=-g(x), 所以g(x)是奇函数. 课本练习 解：（1）； （2）； （3）； （4） 1．求值： （1）；（2）；（3）；（4）. 2．求值： （1）；（2）；（3）；（4）. 解：（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. 3．化简： （1）； （2）. 解：（1）； （2） 4．判断下列函数的奇偶性： （1）；        （2）. 解：（1），其定义域为R 则， 故是定义在R上偶函数； （2），其定义域为R 则， 故是定义在R上奇函数. 题型分类讲解 题型一　利用诱导公式求三角函数值 1 cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°) 2.求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°； 解　法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) 法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 题型二　利用诱导公式化简三角函数式 (2)原式＝－sin αcos α＋sin(－α)(－cos α)＋sin α(－cos α)(－tan α) ＝－sin αcos α＋sin αcos α＋sin αcos αtan α 题型三　给值(或式)求值问题 6.(变换条件)将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 课堂小结 1.掌握4组公式 公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”. 2.会用3个步骤 负化正→大化小→化成锐角是终了. 1.(1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________； (2)计算：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,3)))＝________. － 解析　(1)sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)； (2)原式＝－sineq \f(31π,6)－coseq \f(10π,3)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋π＋\f(π,6)))－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋π＋\f(π,3))) ＝sin＋cos＝＋＝1. ＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). ＝cos＝－cos＝－. 法二　cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (2)cos；(3)tan(－945°). 解　(2)法一　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq \f(31π,6)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6))) ＝eq \f(－sin α（－sin α）cos α,cos α（－cos α）sin α)＝－eq \f(sin α,cos α)＝－tan α. 解　原式＝eq \f(－tan α·sin（－α）cos（－α）,cos（π－α）sin（π－α）) 3.化简下列各式： (1)eq \f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）,cos（α－π）sin（5π－α）)； ＝eq \f(\r(1－2sin 70°cos 70°),－sin 70°＋cos 70°)＝eq \f(|cos 70°－sin 70°|,cos 70°－sin 70°) ＝＝－1. 解 原式＝eq \f(\r(1＋2sin（360°－70°）cos（360°＋70°）),sin（180°＋70°）＋cos（720°＋70°）) (2). ＝sin αcos α＝sin2α. 解　(1)原式＝eq \f(（－cos α）（－cos α）tan α,（－sin α）（－cos α）)＝eq \f(sin αcos α,sin αcos α)＝1. 4.化简下列各式： (1)eq \f(cos（π＋α）cos（3π－α）tan（π＋α）,sin（π＋α）cos（－α－π）)； (2)sin(π＋α)cos(－α)＋sin(2π－α)cos(π－α)＋sin αcos(π＋α)tan(－π－α). 解　因为cos＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2＝sin2 ＝1－cos2＝1－＝， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3). 5.已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值. 求cos＋sin2的值. 因为cos＝cos ＝－cos＝－， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(2－\r(3),3). sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,3)， 解　由题意知cos＝， 解　cos－sin2 ＝cos－sin2 ＝－－＝－. ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))) 7.(变换结论)例3题中的条件不变，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(13π,6)))的值. 解　由＝3＋2， 得＝3＋2， ∴tan θ＝. ∴原式＝ ＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋eq \f(\r(2),2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＝2＋eq \f(\r(2),2). 8.已知eq \f(1＋tan（θ＋720°）,1－tan（θ－360°）)＝3＋2eq \r(2)， 求eq \f(cos2（π－θ）＋sin（π＋θ）·cos（π－θ）＋2sin2（θ－π）,cos2（－θ－2π）)的值. $