7.1.2 弧度制-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“弧度制”核心知识点，衔接初中角度制，系统讲解弧度制概念、角度与弧度互化及扇形弧长面积公式，通过知识点解析、思考辨析、例题及分层作业构建完整学习支架。 资料以问题链引导思考，如从初中扇形弧长公式中角的度量单位切入，培养数学抽象素养，结合辨析题和互化例题提升数学运算能力。课中助力教师落实核心素养，课后分层作业帮助学生巩固，有效查漏补缺。

7.1.2　弧度制 学习任务 核心素养 1．了解弧度制的含义和引入弧度制的意义． 2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点) 3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点) 1．通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养． 在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角α是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫作什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？ 知识点1　弧度制的概念 (1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 1．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示]　“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 2．比值与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． (　　) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． (　　) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 知识点2　角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝度≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 角度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 π 2π (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0． 3．角度制与弧度制之间如何进行换算？ [提示]　利用1°＝rad≈0.017 45 rad和1 rad＝°≈57.30°进行弧度与角度的换算． 2．将下列弧度与角度互化． (1)化为角度为________； (2)105°化为弧度为________． (1)252°　(2)　[(1)π＝°＝252°． (2)105°＝105× rad＝ rad．] 知识点3　扇形的弧长公式及面积公式 (1)弧度制下的弧长公式： 如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r．特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|． (2)扇形面积公式： 在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr． (3)引入弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角． 3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为________，面积为________． 　[∵α＝，r＝1，∴弧长l＝αr＝， 面积S＝lr＝×1＝．] 类型1　角度制与弧度制的互化 【例1】【链接教材P173例3、例4】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′． [解]　(1)－450°＝－450× rad＝－ rad． (2) rad＝＝18°． (3)－ rad＝－＝－240°． (4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad． 【教材原题·P173例3】 例3把下列各角从弧度化为度： (1)；(2)3.5． 解：(1)rad＝＝108°． (2)3.5 rad＝3.5×≈200.54°． 【教材原题·P173例4】 例4把下列各角从度化为弧度： (1)252°；(2)11°15′． 解：(1)252°＝252× rad＝ rad． (2)11°15′＝11.25°＝11.25× rad＝ rad． 　角度制与弧度制换算的要点 提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度． [跟进训练] 1．将下列角度与弧度进行互化． (1)π；(2)；(3)－1 440°；(4)67°30′． [解]　(1)π rad＝π×＝108°． (2) rad＝＝15°． (3)－1 440°＝－1 440×rad＝－8π rad． (4)67°30′＝67.5°＝67.5×rad＝π rad． 类型2　用弧度制表示角的集合 【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． [解]　(1)． (2)． (3)． 　1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用． [跟进训练] 2．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 024°是不是这个集合的元素． [解]　因为150°＝， 所以终边在阴影区域内角的集合为 S＝． 因为2 024°＝224°＋5×360°＝ rad， 又<<，所以2 024°＝∈S． 类型3　扇形的弧长及面积问题 【例3】【链接教材P174例5】 已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10． (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S． [解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝． (2)由(1)可知α＝，r＝10， ∴弧长l＝|α|·r＝×10＝， ∴S扇形＝lr＝×10＝， 而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25， ∴S＝S扇形－S△AOB＝25． 【教材原题·P174例5】 例5已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积． 解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有 解得 故扇形的面积为S＝rl＝4(cm2)． 　弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点 (1)解题策略： ①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)． ②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． (2)注意点： ①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负． ②看清角的度量制，选用相应的公式． ③扇形的周长等于弧长加两个半径长． [跟进训练] 3．已知扇形OAB的周长是10 cm，面积为4 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数． [解]　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r．依题意有 由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0， 解得r1＝1，r2＝4． 当r1＝1时，l＝8(cm)，此时θ＝8 rad>2π(舍去)， 当r2＝4时，l＝2(cm)，此时θ＝＝ rad． 所以扇形OAB的圆心角的弧度数为 rad． 1．(多选题)下列转化结果正确的是(　　) A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－600° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° ABD　[对于A，60°＝60×rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°．故ABD正确．] 2．已知α＝－2 rad，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[α＝－2 rad≈－2×57.30°＝－114.6°，在第三象限．] 3．(教材P176习题7.1T8改编)半径为1，圆心角为的扇形的面积是(　　) A． B．π C． D． D　[S＝lr＝r2α＝×12×＝．] 4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，则α＝________． 　[－570°＝－＝－4π＋．] 5．若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的半径为________cm，圆心角的弧度数为________． 1　2　[设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm． 由题意得 解得所以α＝＝2． 因此扇形的圆心角的弧度数是2，半径为1 cm．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．弧度制与角度制互化公式是什么？ [提示]　1 rad＝°，1°＝ rad． 2．角度制与弧度制互化的关键与方法是什么？ [提示]　关键：抓住互化公式π rad＝180°， 方法：度数×＝弧度数， 弧度数×°＝度数． 3．若角度中含有分、秒该如何化为弧度？ [提示]　应先将分、秒化成度，再化成弧度． 4．在表示终边相同的角时应注意什么问题？ [提示]　角度与弧度不能混用．在表示角时要么全部用弧度制，要么全部用角度制． 课时分层作业(三十)　弧度制 一、选择题 1．1 920°转化为弧度数为(　　) A． B． C． D． D　[1 920°＝5×360°＋120°＝ rad＝ rad．] 2．下列各角中与－终边相同的是(　　) A．－ B． C． D． C　[∵－＝－6π＋，∴－与终边相同．] 3．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．1或4 C　[因为扇形的弧长为4，面积为2， 所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1， 则扇形的圆心角的弧度数为＝4．故选C．] 4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) A　　　　B　　　 　C　　　　　D C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C．] 5．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则该月牙形的面积为(　　) A． B． C． D． A　[由已知可得AB＝，△ABC的外接圆半径为1， 由题意，内侧圆弧为△ABC的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为， 则弓形ABC的面积为×12×＝， 外侧的圆弧以AB为直径， 所以半圆AB的面积为×π×＝， 则月牙形的面积为＝．] 二、填空题 6．已知角α的终边与的终边相同，在[0，2π)内终边与角的终边相同的角为________． π，π　[由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)， 故＝(k∈Z)， 又因为0≤<2π，所以当k＝0，1，2时， 有＝π，π满足题意．] 7．已知角2α的终边在第一象限，则角α的取值集合用弧度制表示为________． 　[因为角2α的终边在第一象限， 所以2kπ<2α<2kπ＋，k∈Z， 所以kπ<α<kπ＋，k∈Z， 所以角α的取值集合为．] 8．已知扇形OAB的圆心角为π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________． 　[设扇形的半径为r，圆心角为π， ∴弧长l＝πr， ∵扇形的周长为5π＋14， ∴πr＋2r＝5π＋14， 解得r＝7，由扇形的面积公式得扇形OAB的面积为π×r2＝π×49＝．] 三、解答题 9．已知角α＝2 010°． (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解]　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋， 又π<<， ∴α与终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ<0， ∴当k＝－3时，γ＝－π； 当k＝－2时，γ＝－π； 当k＝－1时，γ＝－π． 故在[－5π，0)内与α终边相同的角有－，－，－． 10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合． [解]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为 ． (2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为． (3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为． (4)将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为 ． 11．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D．π B　[设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以＝×θ，解得θ＝，故选B．] 12．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为(　　) A． B．π C． D． A　[如图，连接AO，OB． 因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为·r＝． ] 13．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．现有一幅扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2． 704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得解得r＝， 所以S＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64××24×＝704 cm2．] 14．已知一扇形的圆心角为 rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________． 2∶3　[设扇形内切圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为，半径为R， ∴S扇形＝R2＝R2． ∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝． ∵S内切圆＝πr2＝R2， ∴S内切圆∶S扇形＝R2∶R2＝2∶3．] 15．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积． [解]　所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＝(dm)． 三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋×1＋＝(dm2)． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $